Groupe multiplicatif - Multiplicative group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotient Produit (semi) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie de groupe
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Théorème de Cauchy Théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow Théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe Quaternion Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle Linéaire général GL ( n ) SL linéaire spécial ( n ) Orthogonal O ( n ) Euclidienne E ( n ) SO orthogonal spécial ( n ) Unitaire U ( n ) Unitaire spécial SU ( n ) Symplectique Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie dimensionnel infini O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques et en théorie des groupes , le terme groupe multiplicatif fait référence à l'un des concepts suivants:

• le groupe sous multiplication des éléments inversibles d'un champ , d'un anneau ou d'une autre structure pour lequel l'une de ses opérations est appelée multiplication. Dans le cas d'un champ F , le groupe est ( F ∖ {0}, •) , où 0 fait référence à l' élément nul de F et l' opération binaire • est la multiplication du champ ,
• le tore algébrique GL (1) ..

Exemples

• Le groupe multiplicatif d'entiers modulo n est le groupe sous multiplication des éléments inversibles de . Lorsque n n'est pas premier, il existe des éléments autres que zéro qui ne sont pas inversibles.${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$
• Le groupe multiplicatif de nombres réels positifs est un groupe abélien avec 1 son élément d'identité . Le logarithme est un isomorphisme de groupe de ce groupe pour le groupe additif des nombres réels, .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Le groupe multiplicatif d'un champ est l'ensemble de tous les éléments différents de zéro:, sous l'opération de multiplication. Si est finie d'ordre q (par exemple q = p un nombre premier, et ), le groupe multiplicatif est cyclique: .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F ^ {\ times} = F - \ {0 \}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F = \ mathbb {F} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle F ^ {\ times} \ cong C_ {q-1}}$

Schéma de groupe des racines de l'unité

Le schéma de groupe de n ièmes racines de l' unité est par définition le noyau du n carte -puissance sur le groupe multiplicatif GL (1), considéré comme un système de groupe . Autrement dit, pour tout entier n > 1, nous pouvons considérer le morphisme sur le groupe multiplicatif qui prend des puissances n- ièmes, et prendre un produit fibreux approprié de schémas , avec le morphisme e qui sert d'identité.

Le schéma de groupe résultant s'écrit μ _n (ou ). Il donne lieu à un schéma réduit , quand on le prend sur un corps K , si et seulement si la caractéristique de K ne divise pas n . Cela en fait une source de quelques exemples clés de schémas non réduits (schémas avec des éléments nilpotents dans leurs gerbes de structure ); par exemple μ _p sur un corps fini avec p éléments pour tout nombre premier p . ${\ Displaystyle \ mu \! \! \ mu _ {n}}$

Ce phénomène ne s'exprime pas facilement dans le langage classique de la géométrie algébrique. Par exemple, il s'avère être d'une importance majeure dans l'expression de la théorie de la dualité des variétés abéliennes en caractéristique p (théorie de Pierre Cartier ). La cohomologie galoisienne de ce schéma de groupe est une manière d'exprimer la théorie de Kummer .

Remarques

Les références

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algèbres, anneaux et modules . Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0

Voir également

• Groupe multiplicatif d'entiers modulo n
• Groupe additif