Inverse multiplicative - Multiplicative inverse

Graphique montrant la représentation schématique des limites approchant l'infini
La fonction réciproque : y = 1/ x . Pour tout x sauf 0, y représente son inverse multiplicatif. Le graphique forme une hyperbole rectangulaire .

En mathématiques , un inverse multiplicatif ou réciproque pour un nombre x , noté 1/ x ou x −1 , est un nombre qui, multiplié par x donne l' identité multiplicative , 1. L'inverse multiplicatif d'une fraction a / b est b / un . Pour l'inverse multiplicatif d'un nombre réel, divisez 1 par le nombre. Par exemple, l'inverse de 5 est un cinquième (1/5 ou 0,2), et l'inverse de 0,25 est 1 divisé par 0,25, ou 4. La fonction réciproque , la fonction f ( x ) qui fait correspondre x à 1/ x , est l'un des exemples les plus simples d'une fonction qui est son propre inverse (une involution ).

Multiplier par un nombre revient à diviser par son réciproque et vice versa. Par exemple, la multiplication par 4/5 (ou 0,8) donnera le même résultat qu'une division par 5/4 (ou 1,25). Par conséquent, la multiplication par un nombre suivi d'une multiplication par sa réciproque donne le nombre d'origine (puisque le produit du nombre et de sa réciproque est 1).

Le terme réciproque était d'usage courant au moins aussi loin que la troisième édition de l' Encyclopædia Britannica (1797) pour décrire deux nombres dont le produit est 1 ; grandeurs géométriques en proportion inverse sont décrits comme reciprocall en 1570 Traduction du Euclid de Elements .

Dans l'expression inverse multiplicatif , le qualificatif multiplicatif est souvent omis puis compris tacitement (contrairement à l' inverse additif ). Les inverses multiplicatifs peuvent être définis sur de nombreux domaines mathématiques ainsi que sur des nombres. Dans ces cas , il peut arriver que ab de ba ; alors "inverse" implique généralement qu'un élément est à la fois un inverse gauche et droit .

La notation f -1 est parfois aussi utilisée pour la fonction inverse de la fonction f , qui n'est en général pas égale à l'inverse multiplicatif. Par exemple, l'inverse multiplicatif 1/(sin x ) = (sin x ) -1 est la cosécante de x, et non l' inverse du sinus de x noté sin -1 x ou arcsin x . Ce n'est que pour les cartes linéaires qu'elles sont fortement liées (voir ci-dessous). La différence terminologique réciproque versus inverse n'est pas suffisante pour faire cette distinction, puisque de nombreux auteurs préfèrent la convention de dénomination inverse, probablement pour des raisons historiques (par exemple en français , la fonction inverse est de préférence appelée la bijection réciproque ).

Exemples et contre-exemples

Dans les nombres réels, zéro n'a pas de réciproque car aucun nombre réel multiplié par 0 ne produit 1 (le produit de tout nombre avec zéro est zéro). À l'exception de zéro, les réciproques de chaque nombre réel sont réels, les réciproques de chaque nombre rationnel sont rationnels et les réciproques de chaque nombre complexe sont complexes. La propriété que chaque élément autre que zéro a un inverse multiplicatif fait partie de la définition d'un champ , dont ce sont tous des exemples. D'autre part, aucun entier autre que 1 et -1 n'a d'entier réciproque, et donc les entiers ne sont pas un corps.

En arithmétique modulaire , l' inverse multiplicatif modulaire de a est également défini : c'est le nombre x tel que ax 1 (mod n ) . Cet inverse multiplicatif existe si et seulement si a et n sont premiers entre eux . Par exemple, l'inverse de 3 modulo 11 est 4 car 4 3 ≡ 1 (mod 11) . L' algorithme euclidien étendu peut être utilisé pour le calculer.

Les sédenions sont une algèbre dans laquelle tout élément non nul a un inverse multiplicatif, mais qui a néanmoins des diviseurs nuls, c'est-à-dire des éléments non nuls x , y tels que xy  = 0.

Une matrice carrée a un inverse si et seulement si son déterminant a un inverse dans l' anneau des coefficients . L'application linéaire qui a la matrice A -1 par rapport à une base est alors la fonction réciproque de l'application ayant A comme matrice dans la même base. Ainsi, les deux notions distinctes de l'inverse d'une fonction sont fortement liées dans ce cas, alors qu'elles doivent être soigneusement distinguées dans le cas général (comme indiqué ci-dessus).

Les fonctions trigonométriques sont liées par l'identité réciproque : la cotangente est l'inverse de la tangente ; la sécante est l'inverse du cosinus ; la cosécante est l'inverse du sinus.

Un anneau dans lequel chaque élément non nul a un inverse multiplicatif est un anneau de division ; de même une algèbre dans laquelle cela tient est une algèbre de division .

Nombres complexes

Comme mentionné ci-dessus, l'inverse de tout nombre complexe non nul z = a + bi est complexe. Il peut être trouvé en multipliant à la fois le haut et le bas de 1/ z par son conjugué complexe et en utilisant la propriété que , la valeur absolue de z au carré, qui est le nombre réel a 2 + b 2 :

L'intuition est que

nous donne le conjugué complexe avec une magnitude réduite à une valeur de , donc en divisant à nouveau par assure que la magnitude est maintenant égale à l'inverse de la magnitude d'origine, d'où :

En particulier, si || z ||=1 ( z a une grandeur unitaire), alors . Par conséquent, les unités imaginaires , ± i , ont un inverse additif égal à un inverse multiplicatif, et sont les seuls nombres complexes avec cette propriété. Par exemple, les inverses additifs et multiplicatifs de i sont respectivement −( i ) = − i et 1/ i = − i .

Pour un nombre complexe sous forme polaire z = r (cos φ + i  sin φ) , l'inverse prend simplement l'inverse de la grandeur et le négatif de l'angle :

Intuition géométrique pour l'intégrale de 1/ x . Les trois intégrales de 1 à 2, de 2 à 4 et de 4 à 8 sont toutes égales. Chaque région est la région précédente réduite de moitié verticalement et doublée horizontalement. En prolongeant cela, l'intégrale de 1 à 2 k est k fois l'intégrale de 1 à 2, tout comme ln 2 k = k ln 2.

Calcul

En calcul réel , la dérivée de 1/ x = x −1 est donnée par la règle de puissance avec la puissance −1 :

La règle de puissance pour les intégrales ( formule de quadrature de Cavalieri ) ne peut pas être utilisée pour calculer l'intégrale de 1/ x , car cela entraînerait une division par 0 :

Au lieu de cela, l'intégrale est donnée par :
où ln est le logarithme népérien . Pour montrer cela, notez que , donc si et , nous avons :

Algorithmes

L'inverse peut être calculé à la main avec l'utilisation de la division longue .

Le calcul de la réciproque est important dans de nombreux algorithmes de division , puisque le quotient a / b peut être calculé en calculant d'abord 1/ b puis en le multipliant par a . En notant que a un zéro à x = 1/ b , la méthode de Newton peut trouver ce zéro, en commençant par une supposition et en itérant en utilisant la règle :

Cela continue jusqu'à ce que la précision souhaitée soit atteinte. Par exemple, supposons que nous souhaitions calculer 1/17 0,0588 avec 3 chiffres de précision. En prenant x 0 = 0,1, la séquence suivante est produite :

x 1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x 2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x 4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x 5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Une estimation initiale typique peut être trouvée en arrondissant b à une puissance proche de 2, puis en utilisant des décalages de bits pour calculer sa réciproque.

En mathématiques constructives , pour qu'un nombre réel x ait une réciproque, il ne suffit pas que x 0. Il faut plutôt donner un nombre rationnel r tel que 0 <  r  < | x |. En termes d' algorithme d' approximation décrit ci-dessus, cela est nécessaire pour prouver que le changement de y deviendra finalement arbitrairement petit.

Graphique de f( x ) = x x montrant le minimum à (1/ e , e −1/ e ).

Cette itération peut également être généralisée à une sorte plus large d'inverses ; par exemple, les inverses matriciels .

Réciproques de nombres irrationnels

Chaque nombre réel ou complexe à l'exclusion de zéro a une réciproque, et les réciproques de certains nombres irrationnels peuvent avoir des propriétés spéciales importantes. Les exemples incluent l'inverse de e (≈ 0,367879) et l'inverse du nombre d' or (≈ 0,618034). La première réciproque est spéciale car aucun autre nombre positif ne peut produire un nombre inférieur lorsqu'il est mis à la puissance de lui-même ; est le minimum global de . Le deuxième nombre est le seul nombre positif qui est égal à son inverse plus un : . Son inverse additif est le seul nombre négatif qui soit égal à son inverse moins un : .

La fonction donne un nombre infini de nombres irrationnels qui diffèrent avec leur réciproque par un entier. Par exemple, est l'irrationnel . Sa réciproque est , exactement moins. De tels nombres irrationnels partagent une propriété évidente : ils ont la même partie fractionnaire que leur réciproque, puisque ces nombres diffèrent par un entier.

Remarques supplémentaires

Si la multiplication est associative, un élément x avec un inverse multiplicatif ne peut pas être un diviseur nul ( x est un diviseur nul si un y différent de zéro , xy = 0 ). Pour le voir, il suffit de multiplier l'équation xy = 0 par l'inverse de x (à gauche), puis de simplifier en utilisant l'associativité. En l'absence d'associativité, les sédenions fournissent un contre-exemple.

L'inverse n'est pas vrai : un élément qui n'est pas un diviseur nul n'est pas assuré d'avoir un inverse multiplicatif. Dans Z , tous les entiers sauf -1, 0, 1 fournissent des exemples ; ce ne sont pas des diviseurs nuls et ils n'ont pas d'inverses dans Z . Si l'anneau ou l'algèbre est fini , cependant, alors tous les éléments a qui ne sont pas des diviseurs nuls ont un inverse (gauche et droite). Car, remarquons d'abord que l'application f ( x ) = ax doit être injective : f ( x ) = f ( y ) implique x = y :

Des éléments distincts correspondent à des éléments distincts, de sorte que l'image se compose du même nombre fini d'éléments, et la carte est nécessairement surjective . Plus précisément, ƒ (à savoir la multiplication par a ) doit faire correspondre un élément x à 1, ax = 1 , de sorte que x soit l'inverse de a .

Applications

L'expansion de la réciproque 1/ q dans n'importe quelle base peut également agir comme une source de nombres pseudo-aléatoires , si q est un nombre premier sûr "approprié" , un nombre premier de la forme 2 p  + 1 où p est également un nombre premier. Une séquence de nombres pseudo-aléatoires de longueur q  − 1 sera produite par le développement.

Voir également

Remarques

  1. ^ "En parallélépipèdes égaux, les bases sont réciproques à leurs altitudes". OED "Réciproque" §3a. Sir Henry Billingsley traduction des éléments XI, 34.
  2. ^ Anthony, Dr "Preuve que INT(1/x)dx = lnx" . Demandez au Dr Math . Université Drexel . Consulté le 22 mars 2013 .
  3. ^ Mitchell, Douglas W., "Un générateur de nombres aléatoires non linéaires avec une longue durée de cycle connue," Cryptologia 17, janvier 1993, 55-62.

Les références

  • Maximally Periodic Reciprocals, Matthews RAJ Bulletin de l'Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147-148 1992