Fonction multivaluée - Multivalued function

Ce diagramme représente un multi-valeurs, mais pas une bonne (valeur unique) fonction , car l'élément 3 en X est associé à deux éléments, b et c , en Y .

En mathématiques , une fonction à valeurs multiples , aussi appelé multifonction , de valeurs multiples fonctions , la fonction de réglage d'une valeur , est semblable à une fonction , mais peut associer plusieurs valeurs à chaque entrée. Plus précisément, une fonction multivaluée d'un domaine X à un codomaine Y associe chaque x de X à une ou plusieurs valeurs y de Y ; c'est donc une relation binaire série . Certains auteurs autorisent une fonction à plusieurs valeurs à n'avoir aucune valeur pour certaines entrées (dans ce cas, une fonction à plusieurs valeurs est simplement une relation binaire).

Cependant, dans certains contextes tels que l' analyse complexe ( X = Y = C ), les auteurs préfèrent imiter la théorie des fonctions car ils étendent les concepts des fonctions ordinaires (à valeur unique). Dans ce contexte, une fonction ordinaire est souvent appelée fonction à valeur unique pour éviter toute confusion.

Le terme fonction multivaluée est issu de l'analyse complexe, de la continuation analytique . Il arrive souvent que l'on connaisse la valeur d'une fonction analytique complexe au voisinage d'un point . C'est le cas des fonctions définies par le théorème des fonctions implicites ou par une série de Taylor autour de . Dans une telle situation, on peut étendre le domaine de la fonction à valeur unique le long de courbes dans le plan complexe à partir de . Ce faisant, on constate que la valeur de la fonction étendue en un point dépend de la courbe choisie de à ; comme aucune des nouvelles valeurs n'est plus naturelle que les autres, elles sont toutes incorporées dans une fonction multivaluée. ${\style d'affichage f(z)}$${\style d'affichage z=a}$${\style d'affichage z=a}$${\style d'affichage f(z)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage z=b}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$

Par exemple, soit la fonction racine carrée habituelle sur les nombres réels positifs. On peut étendre son domaine jusqu'à un voisinage de dans le plan complexe, puis plus loin le long de courbes commençant à , de sorte que les valeurs le long d'une courbe donnée varient continûment de . En étendant aux nombres réels négatifs, on obtient deux valeurs opposées pour la racine carrée - par exemple ± i pour –1 - selon que le domaine a été étendu par la moitié supérieure ou inférieure du plan complexe. Ce phénomène est très fréquent, se produisant pour les racines n ièmes , les logarithmes et les fonctions trigonométriques inverses . ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$${\style d'affichage z=1}$${\style d'affichage z=1}$${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$

Pour définir une fonction à valeur unique à partir d'une fonction à valeurs multiples complexe, on peut distinguer l'une des valeurs multiples comme valeur principale , produisant une fonction à valeur unique sur tout le plan qui est discontinue le long de certaines courbes limites. Alternativement, traiter la fonction multivaluée permet d'avoir quelque chose de continu partout, au prix de possibles changements de valeur lorsque l'on suit un chemin fermé ( monodromie ). Ces problèmes sont résolus dans la théorie des surfaces de Riemann : pour considérer une fonction multivaluée comme une fonction ordinaire sans écarter aucune valeur, on multiplie le domaine en un espace couvrant plusieurs couches , une variété qui est la surface de Riemann associée à . ${\style d'affichage f(z)}$${\style d'affichage f(z)}$

Exemples

• Chaque nombre réel supérieur à zéro a deux racines carrées réelles , de sorte que la racine carrée peut être considérée comme une fonction à plusieurs valeurs. Par exemple, nous pouvons écrire ; bien que zéro n'ait qu'une racine carrée, .${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$
• Chaque nombre complexe non nul a deux racines carrées, trois racines cubiques et en général n n ième racines . La seule racine n ième de 0 est 0.
• La fonction logarithme complexe est à valeurs multiples. Les valeurs prises par pour les nombres réels et sont pour tous les entiers .${\displaystyle \log(a+bi)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$ ${\style d'affichage n}$
• Les fonctions trigonométriques inverses sont à valeurs multiples car les fonctions trigonométriques sont périodiques. Nous avons
  $${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({ \tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$

  
  Par conséquent, arctan(1) est intuitivement lié à plusieurs valeurs : π /4, 5 π /4, −3 π /4, et ainsi de suite. Nous pouvons traiter arctan en fonction à valeur unique en limitant le domaine de tan x à - π / 2 < x < π / 2 - un domaine sur lequel tan x augmente de façon monotone. Ainsi, la plage d'arctan( x ) devient − π /2 < y < π /2 . Ces valeurs d'un domaine restreint sont appelées valeurs principales .
• La primitive peut être considérée comme une fonction multivaluée. La primitive d'une fonction est l'ensemble des fonctions dont la dérivée est cette fonction. La constante d'intégration découle du fait que la dérivée d'une fonction constante est 0.
• Les fonctions hyperboliques inverses sur le domaine complexe sont à valeurs multiples car les fonctions hyperboliques sont périodiques le long de l'axe imaginaire. Sur les réels, ils sont à valeur unique, sauf pour arcosh et arsech.
• L' argmax est multivalué, par exemple${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

Ce sont tous des exemples de fonctions multivaluées issues de fonctions non injectives . Comme les fonctions d'origine ne conservent pas toutes les informations de leurs entrées, elles ne sont pas réversibles. Souvent, la restriction d'une fonction à plusieurs valeurs est un inverse partiel de la fonction d'origine.

Les fonctions multivaluées d'une variable complexe ont des points de branchement . Par exemple, pour les fonctions racine et logarithme n ième, 0 est un point de branchement ; pour la fonction arctangente, les unités imaginaires i et − i sont des points de branchement. En utilisant les points de branchement, ces fonctions peuvent être redéfinies pour être des fonctions à valeur unique, en restreignant la plage. Un intervalle approprié peut être trouvé grâce à l'utilisation d'une coupe de branche , une sorte de courbe qui relie des paires de points de branche, réduisant ainsi la surface de Riemann multicouche de la fonction à une seule couche. Comme dans le cas des fonctions réelles, la plage restreinte peut être appelée la branche principale de la fonction.

Analyse à valeurs définies

L'analyse à valeurs d'ensemble est l'étude des ensembles dans l'esprit de l'analyse mathématique et de la topologie générale .

Au lieu de considérer des collections de points uniquement, l'analyse à valeur d'ensemble considère des collections d'ensembles. Si une collection d'ensembles est dotée d'une topologie, ou hérite d'une topologie appropriée d'un espace topologique sous-jacent, alors la convergence des ensembles peut être étudiée.

Une grande partie de l'analyse à valeurs définies est née de l'étude de l'économie mathématique et du contrôle optimal , en partie comme une généralisation de l'analyse convexe ; le terme " analyse variationnelle " est utilisé par des auteurs tels que R. Tyrrell Rockafellar et Roger JB Wets , Jonathan Borwein et Adrian Lewis , et Boris Mordukhovich . Dans la théorie de l' optimisation, la convergence d'approximation sous - différentiels à un sous - différentiel est important dans la compréhension des conditions nécessaires ou suffisantes pour un point de réduction au minimum.

Il existe des extensions à valeurs d'ensemble des concepts suivants à partir de l'analyse à valeurs ponctuelles : continuité , différenciation , intégration , théorème des fonctions implicites , applications de contraction , théorie de la mesure , théorèmes du point fixe , optimisation et théorie des degrés topologiques .

Les équations sont généralisées aux inclusions .

Types de fonctions à valeurs multiples

On peut distinguer plusieurs concepts généralisant la continuité , tels que la propriété de graphe fermé et l'hémicontinuité supérieure et inférieure . Il existe également diverses généralisations de la mesure aux multifonctions.

Applications

Les multifonctions apparaissent dans la théorie du contrôle optimal , en particulier les inclusions différentielles et les sujets connexes comme la théorie des jeux , où le théorème du point fixe de Kakutani pour les multifonctions a été appliqué pour prouver l'existence des équilibres de Nash (dans le contexte de la théorie des jeux, une fonction multivaluée est généralement appelée comme correspondance ). Ceci, parmi de nombreuses autres propriétés vaguement associées à l'approximation des multifonctions hémicontinues supérieures via des fonctions continues, explique pourquoi l'hémicontinuité supérieure est plus préférée que l'hémicontinuité inférieure.

Néanmoins, les multifonctions semi-continues inférieures possèdent généralement des sélections continues comme indiqué dans le théorème de sélection de Michael , qui fournit une autre caractérisation des espaces paracompacts . D'autres théorèmes de sélection, comme la sélection continue directionnelle de Bressan-Colombo , le théorème de sélection mesurable de Kuratowski et Ryll-Nardzewski , la sélection mesurable d'Aumann et la sélection de Fryszkowski pour les cartes décomposables sont importants dans le contrôle optimal et la théorie des inclusions différentielles .

En physique, les fonctions multivaluées jouent un rôle de plus en plus important. Ils constituent la base mathématique de Dirac de monopôles magnétiques , pour la théorie de défauts dans les cristaux et la résultante plasticité des matériaux, de tourbillons dans les superfluides et les supraconducteurs , et pour les transitions de phase dans ces systèmes, par exemple la fusion et le confinement du quark . Ils sont à l'origine des structures de champ de jauge dans de nombreuses branches de la physique.

Contraste avec

• Bijection
• Fonction d'injection
• Fonction subjective

Voir également

• Fat link , un hyperlien un-à-plusieurs
• Élément fini d'intervalle
• Fonction partielle

Les références

Remarques

Lectures complémentaires

• CD Aliprantis et KC Border, Analyse dimensionnelle infinie. Guide de l'auto-stoppeur , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
• J. Andres et L. Górniewicz, Principes de point fixe topologique pour les problèmes de valeur aux limites , Kluwer Academic Publishers, 2003
• J.-P. Aubin et A. Cellina, Inclusions différentielles, cartes à valeurs définies et théorie de la viabilité , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer-Verlag, Berlin, 1984
• J.-P. Aubin et H. Frankowska , Set-Valueed Analysis , Birkhäuser, Bâle, 1990
• K. Deimling, Equations différentielles multivaluées , Walter de Gruyter, 1992
• Geletu, A. (2006). « Introduction aux espaces topologiques et aux cartes à valeur définie » (PDF) . Notes de cours . Technische Universität Ilmenau .
• H. Kleinert , Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation , World Scientific (Singapour, 2008) (également disponible en ligne )
• H. Kleinert , Champs de jauge dans la matière condensée , vol. I : Lignes Superflow et Vortex, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapour, 1989 (également disponible en ligne : Vol. I et Vol. II )
• D. Repovš et PV Semenov, Sélections continues de cartographies multivaluées , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
• EU Tarafdar et MSR Chowdhury, Méthodes topologiques pour l'analyse non linéaire à valeurs définies , World Scientific, Singapour, 2008
• Mitroi, F.-C. ; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). « Inégalités d'Hermite-Hadamard pour les fonctions convexes à valeurs définies » . Demonstratio Mathematica . 46 (4) : 655-662. doi : 10.1515/dema-2013-0483 .