Logique NAND - NAND logic

La fonction booléenne NAND a la propriété d' exhaustivité fonctionnelle . Cela signifie que toute expression booléenne peut être réexprimée par une expression équivalente en utilisant uniquement des opérations NAND . Par exemple, la fonction NOT(x) peut être exprimée de manière équivalente par NAND(x,x). Dans le domaine des circuits électroniques numériques , cela implique qu'il est possible de mettre en œuvre n'importe quelle fonction booléenne en utilisant uniquement des portes NAND .

La preuve mathématique de cela a été publiée par Henry M. Sheffer en 1913 dans les Transactions de l'American Mathematical Society (Sheffer 1913). Un cas similaire s'applique à la fonction NOR , et c'est ce qu'on appelle la logique NOR .

NAND

Une porte NAND est une porte ET inversée . Il a la table de vérité suivante :

Q = A ET B Table de vérité Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Faire d'autres portes en utilisant des portes NAND

Une porte NAND est une porte universelle, ce qui signifie que toute autre porte peut être représentée comme une combinaison de portes NAND.

NE PAS

Une porte NON est créée en joignant les entrées d'une porte NAND entre elles. Puisqu'une porte NAND est équivalente à une porte ET suivie d'une porte NON, la jonction des entrées d'une porte NAND ne laisse que la porte NON.

Porte NON souhaitée	Construction NAND
Q = PAS ( A )	= A NAND A
Table de vérité Entrée A Sortie Q 0 1 1 0

ET

Une porte ET est réalisée en inversant la sortie d'une porte NAND comme indiqué ci-dessous.

Porte ET souhaitée	Construction NAND
Q = A ET B	= ( A NAND B ) NAND ( A NAND B )
Table de vérité Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

OU

Si la table de vérité pour une porte NAND est examinée ou en appliquant les lois de De Morgan , on peut voir que si l'une des entrées est 0, alors la sortie sera 1. Pour être une porte OU, cependant, la sortie doit être 1 si une entrée est 1. Par conséquent, si les entrées sont inversées, toute entrée haute déclenchera une sortie haute.

Porte OU souhaitée	Construction NAND
Q = A OU B	= ( A NAND A ) NAND ( B NAND B )
Table de vérité Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

NI

Une porte NOR est une porte OU avec une sortie inversée. La sortie est haute lorsque ni l'entrée A ni l'entrée B ne sont hautes.

Porte NOR souhaitée	Construction NAND
Q = A NI B	= [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ] NAND [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ]
Table de vérité Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

OU exclusif

Une porte XOR est réalisée en connectant quatre portes NAND comme indiqué ci-dessous. Cette construction implique un délai de propagation trois fois supérieur à celui d'une seule porte NAND.

Porte XOR souhaitée	Construction NAND
Q = A XOR B	= [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ]
Table de vérité Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Alternativement, une porte XOR est réalisée en considérant la forme normale disjonctive , en notant à partir de la loi de de Morgan qu'une porte NAND est une porte OU à entrée inversée. Cette construction utilise cinq portes au lieu de quatre. ${\displaystyle A\cdot {\overline {B}}+{\overline {A}}\cdot B}$

Portail souhaité	Construction NAND
Q = A XOR B	= [ B NAND ( A NAND A ) ] NAND [ A NAND ( B NAND B ) ]

XNOR

Une porte XNOR est réalisée en considérant la forme normale disjonctive , en notant à partir de la loi de de Morgan qu'une porte NAND est une porte OU à entrée inversée. Cette construction implique un délai de propagation trois fois supérieur à celui d'une seule porte NAND et utilise cinq portes. ${\displaystyle A\cdot B+{\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$

Porte XNOR souhaitée	Construction NAND
Q = A XNOR B	= [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ] NAND ( A NAND B )
Entrée A Entrée B Sortie Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Alternativement, la version à 4 portes de la porte XOR peut être utilisée avec un inverseur. Cette construction a un délai de propagation quatre fois (au lieu de trois fois) celui d'une seule porte NAND.

Portail souhaité	Construction NAND
Q = A XNOR B	= { [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ] } NAND { [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ] }

MUX

Un multiplexeur ou une porte MUX est une porte à trois entrées qui utilise l'une des entrées, appelée bit de sélection , pour sélectionner l'une des deux autres entrées, appelées bits de données , et ne sort que le bit de données sélectionné.

DEMUX

Un démultiplexeur remplit la fonction inverse d'un multiplexeur : il prend une seule entrée et la canalise vers l'une des deux sorties possibles selon un bit de sélection qui spécifie quelle sortie choisir.

Voir également

• AVC Sheffer - autre nom
• logique NI . Comme les portes NAND, les portes NOR sont également des portes universelles.
• Complétude fonctionnelle

Liens externes

• Portes TTL NAND et AND - Tout sur les circuits
• Étapes pour dériver XOR de la porte NAND.
• NandGame - un jeu sur la construction d'un ordinateur en utilisant uniquement des portes NAND

Les références

• Lancaster, Don (1974). Livre de recettes TTL (1ère éd.). Indianapolis, IN : Howard W Sams. p.  126–135 . ISBN 0-672-21035-5.
• Sheffer, HM (1913), "Un ensemble de cinq postulats indépendants pour les algèbres booléennes, avec application aux constantes logiques", Transactions of the American Mathematical Society , 14 : 481-488, doi : 10.2307/1988701 , JSTOR  1988701