Théorie des ensembles naïfs (livre) - Naive Set Theory (book)

Voir aussi la théorie des ensembles naïve pour le sujet mathématique.

Première édition

Naive Set Theory est unmanuel de mathématiques de Paul Halmos fournissant une introduction de premier cycle à la théorie des ensembles . Publié à l'origine par Van Nostrand en 1960, il a été réimprimé dans la série Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics en 1974.

Alors que le titre indique qu'il est naïf, ce qui signifie généralement sans axiomes , le livre présente tous les axiomes de la théorie des ensembles ZFC (à l'exception de l' Axiome de la Fondation ) et donne des définitions correctes et rigoureuses pour les objets de base. Là où il diffère d'un « vrai » livre de théorie des ensembles axiomatiques, c'est son caractère : il n'y a pas de discussions sur les minuties axiomatiques, et il n'y a presque rien sur des sujets avancés comme les grands cardinaux . Au lieu de cela, il essaie d'être intelligible pour quelqu'un qui n'a jamais pensé à la théorie des ensembles auparavant.

Halmos a déclaré plus tard que c'était le livre le plus rapide qu'il ait écrit, prenant environ six mois, et que le livre « s'est écrit tout seul ».

Absence de l'Axiome de Fondation

Comme indiqué ci-dessus, le livre omet l' Axiome de la Fondation . Halmos danse à plusieurs reprises autour de la question de savoir si un ensemble peut ou non se contenir.

• p. 1 : "un ensemble peut aussi être un élément d'un autre ensemble" (c'est nous qui soulignons)
• p. 3: "est-ce que ∈ est toujours vrai? Ce n'est certainement pas vrai de tout ensemble raisonnable que quiconque ait jamais vu."${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$
• p. 6: " ∈ ... peu probable, mais pas évidemment impossible"${\style d'affichage B}$${\style d'affichage B}$

Mais Halmos nous permet de prouver qu'il y a certains ensembles qui ne peuvent pas se contenir.

• p. 44 : Halmos nous permet de prouver que ∉ . Car si ∈ , alors − { } serait toujours un ensemble successeur, car ≠ ∅ et n'est le successeur d'aucun nombre naturel. Mais n'est pas un sous-ensemble de − { }, ce qui contredit la définition de en tant que sous-ensemble de chaque ensemble successeur.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$
• p. 47 : Halmos prouve le lemme selon lequel « aucun nombre naturel n'est un sous-ensemble de l'un de ses éléments ». Cela nous permet de prouver qu'aucun nombre naturel ne peut se contenir. Car si ∈ , où est un nombre naturel, alors ⊂ ∈ , ce qui contredit le lemme.${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$
• p. 75 : "Un nombre ordinal est défini comme un ensemble bien ordonné tel que pour tout dans ; voici , comme précédemment, le segment initial ∈ < }." L'ordre des puits est défini comme suit : si et sont des éléments d'un nombre ordinal , alors < signifie ∈ (p. 75-76). Par son choix du symbole < au lieu de ≤, Halmos implique que le bon ordre < est strict (pp. 55-56). Cette définition de < rend impossible d'avoir ∈ , où est un élément d'un nombre ordinal. C'est parce que ∈ signifie < , ce qui implique ≠ (car < est strict), ce qui est impossible.${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage s(\xi )=\xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage s(\xi )}$${\style d'affichage \{\eta }$${\style d'affichage \alpha :}$ ${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage \xi }$
• p. 75 : la définition ci-dessus d'un nombre ordinal rend également impossible d'avoir ∈ , où est un nombre ordinal. C'est parce que ∈ implique = s( ). Cela nous donne ∈ = s( ) = ∈ < }, ce qui implique < , ce qui implique ≠ (car < est strict), ce qui est impossible.${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \{\eta }$${\style d'affichage \alpha :}$ ${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$

Errata

• p. 4, ligne 18 : « Caïn et Abel » devrait être « Seth, Caïn et Abel ».
• p. 30, ligne 10 : « x sur y » devrait être « x sur y ».
• p. 73, ligne 19 : "pour chaque z dans X" devrait être "pour chaque a dans X".
• p. 75, ligne 3 : "si et seulement si x F(n)" devrait être "si et seulement si x = {b: S(n, b)}".

Voir également

• Liste des publications en mathématiques

Bibliographie

• Halmos, Paul , Théorie des ensembles naïfs . Princeton, NJ : D. Van Nostrand Company, 1960. Réimprimé par Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (édition Springer-Verlag). Réimprimé par Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (édition de poche).

Les références

Liens externes

• Une liste de manuels sur la théorie des ensembles compilée par les participants de l'échange de pile de mathématiques
• Critiques : Théorie des ensembles naïf de Goodreads .