La valeur décimale du logarithme népérien de 2 (séquence A002162 dans l' OEIS ) est d'environ
dans
??
2
??
0,693
147
180
559
945
309
417
232
121
458.
{\style d'affichage \ln 2\environ 0,693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}
Le logarithme de 2 dans d'autres bases est obtenu avec la formule
Journal
b
??
2
=
dans
??
2
dans
??
b
.
{\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}
Le logarithme commun en particulier est ( OEIS : A007524 )
Journal
dix
??
2
??
0,301
029
995
663
981
195.
{\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}
L'inverse de ce nombre est le logarithme binaire de 10 :
Journal
2
??
dix
=
1
Journal
dix
??
2
??
3.321
928
095
{\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}
( OEIS : A020862 ).
Par le théorème de Lindemann-Weierstrass , le logarithme népérien de tout nombre naturel autre que 0 et 1 (plus généralement, de tout nombre algébrique positif autre que 1) est un nombre transcendant .
Représentations en série
Factorielle alternative croissante
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
??
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots . }
C'est la fameuse « série harmonique alternée ».
dans
??
2
=
1
2
+
1
2
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n+1}}{n(n+1)}}.}
dans
??
2
=
5
8
+
1
2
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}
dans
??
2
=
2
3
+
3
4
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
dans
??
2
=
131
192
+
3
2
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
(
m
+
4
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
dans
??
2
=
661
960
+
15
4
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
(
m
+
4
)
(
m
+
5
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
Factorielle constante croissante binaire
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
1
2
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
dans
??
2
=
1
−
??
m
=
1
??
1
2
m
m
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}
dans
??
2
=
1
2
+
2
??
m
=
1
??
1
2
m
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1) (n+2)}}.}
dans
??
2
=
5
6
−
6
??
m
=
1
??
1
2
m
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1) (n+2)(n+3)}}.}
dans
??
2
=
7
12
+
24
??
m
=
1
??
1
2
m
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
(
m
+
4
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1) (n+2)(n+3)(n+4)}}.}
dans
??
2
=
47
60
−
120
??
m
=
1
??
1
2
m
m
(
m
+
1
)
(
m
+
2
)
(
m
+
3
)
(
m
+
4
)
(
m
+
5
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1) (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
Autres représentations de séries
??
m
=
0
??
1
(
2
m
+
1
)
(
2
m
+
2
)
=
dans
??
2.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}
??
m
=
1
??
1
m
(
4
m
2
−
1
)
=
2
dans
??
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
m
(
4
m
2
−
1
)
=
dans
??
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
m
(
9
m
2
−
1
)
=
2
dans
??
2
−
3
2
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\ frac {3}{2}}.}
??
m
=
1
??
1
4
m
2
−
2
m
=
dans
??
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}
??
m
=
1
??
2
(
−
1
)
m
+
1
(
2
m
−
1
)
+
1
8
m
2
−
4
m
=
dans
??
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}= \ln 2.}
??
m
=
0
??
(
−
1
)
m
3
m
+
1
=
dans
??
2
3
+
??
3
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{ \frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
??
m
=
0
??
(
−
1
)
m
3
m
+
2
=
−
dans
??
2
3
+
??
3
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+ {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
??
m
=
0
??
(
−
1
)
m
(
3
m
+
1
)
(
3
m
+
2
)
=
2
dans
??
2
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}
??
m
=
1
??
1
??
k
=
1
m
k
2
=
18
−
24
dans
??
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}
à l'aide de
limite
N
→
??
??
m
=
N
2
N
1
m
=
dans
??
2
{\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}
??
m
=
1
??
1
4
m
2
−
3
m
=
dans
??
2
+
??
6
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}
(sommes des réciproques des nombres décagonaux )
Impliquant la fonction Riemann Zeta
??
m
=
2
??
1
2
m
[
??
(
m
)
−
1
]
=
dans
??
2
−
1
2
.
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1} {2}}.}
??
m
=
2
??
1
2
m
+
1
[
??
(
m
)
−
1
]
=
1
−
??
−
dans
??
2
2
.
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 }{2}}.}
??
m
=
1
??
1
2
2
m
−
1
(
2
m
+
1
)
??
(
2
m
)
=
1
−
dans
??
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}
( γ est la constante d'Euler–Mascheroni et ζ la fonction zêta de Riemann .)
Représentations de type BBP
dans
??
2
=
2
3
+
1
2
??
k
=
1
??
(
1
2
k
+
1
4
k
+
1
+
1
8
k
+
4
+
1
16
k
+
12
)
1
16
k
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1} {2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac { 1}{16^{k}}}.}
(En savoir plus sur les représentations de type Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) .)
L'application des trois séries générales du logarithme népérien à 2 donne directement :
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
m
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
1
2
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
dans
??
2
=
2
3
??
k
=
0
??
1
9
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}. }
Leur application donne :
2
=
3
2
??
4
3
{\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
2
m
m
+
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
3
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}
dans
??
2
=
??
m
=
1
??
1
3
m
m
+
??
m
=
1
??
1
4
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {1}{4^{n}n}}.}
dans
??
2
=
2
5
??
k
=
0
??
1
25
k
(
2
k
+
1
)
+
2
7
??
k
=
0
??
1
49
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+ {\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}
Leur application donne :
2
=
(
2
)
2
{\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}
dans
??
2
=
2
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
(
2
+
1
)
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{ n}n}}.}
dans
??
2
=
2
??
m
=
1
??
1
(
2
+
2
)
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}
dans
??
2
=
4
3
+
2
2
??
k
=
0
??
1
(
17
+
12
2
)
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12 {\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}
Leur application donne :
2
=
(
16
15
)
7
??
(
81
80
)
3
??
(
25
24
)
5
{\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^ {3}\cdot {\gauche({\frac {25}{24}}\droit)}^{5}}
dans
??
2
=
7
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
15
m
m
+
3
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
80
m
m
+
5
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
−
1
24
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _ {n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}
dans
??
2
=
7
??
m
=
1
??
1
16
m
m
+
3
??
m
=
1
??
1
81
m
m
+
5
??
m
=
1
??
1
25
m
m
.
{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}
dans
??
2
=
14
31
??
k
=
0
??
1
961
k
(
2
k
+
1
)
+
6
161
??
k
=
0
??
1
25921
k
(
2
k
+
1
)
+
dix
49
??
k
=
0
??
1
2401
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+ {\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}}+{\frac {10}{ 49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}
Représentation sous forme d'intégrales
Le logarithme népérien de 2 apparaît fréquemment comme résultat de l'intégration. Certaines formules explicites pour cela incluent:
??
0
1
ré
X
1
+
X
=
??
1
2
ré
X
X
=
dans
??
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2 }
??
0
??
e
−
X
1
−
e
−
X
X
ré
X
=
dans
??
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}
??
0
??
3
bronzer
??
X
ré
X
=
2
??
0
??
4
bronzer
??
X
ré
X
=
dans
??
2
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x \,dx=\ln 2}
−
1
??
je
??
0
??
dans
??
X
dans
??
dans
??
X
(
X
+
1
)
2
ré
X
=
dans
??
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2} }}\,dx=\ln 2}
Autres représentations
L'extension Pierce est OEIS : A091846
dans
??
2
=
1
−
1
1
??
3
+
1
1
??
3
??
12
−
??
.
{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}
L' extension Engel est OEIS : A059180
dans
??
2
=
1
2
+
1
2
??
3
+
1
2
??
3
??
7
+
1
2
??
3
??
7
??
9
+
??
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}
L'expansion cotangente est OEIS : A081785
dans
??
2
=
lit bébé
??
(
arccot
??
(
0
)
−
arccot
??
(
1
)
+
arccot
??
(
5
)
−
arccot
??
(
55
)
+
arccot
??
(
14187
)
−
??
)
.
{\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname { arccot}(14187)-\cdots }).}
Le simple développement en fraction continue est OEIS : A016730
dans
??
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
6
,
3
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
dix
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
2
,
3
,
1
,
.
.
.
]
{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1,...\droit]}
,
ce qui donne des approximations rationnelles, dont les premières sont 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 et 61/88.
Cette fraction continue généralisée :
dans
??
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
5
,
2
3
,
7
,
1
2
,
9
,
2
5
,
.
.
.
,
2
k
−
1
,
2
k
,
.
.
.
]
{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\ tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}
,
aussi exprimable comme
dans
??
2
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
2
2
+
2
5
+
3
2
+
3
7
+
4
2
+
??
=
2
3
−
1
2
9
−
2
2
15
−
3
2
21
−
??
{\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }} }}}}}}}
Amorçage d'autres logarithmes
Étant donné une valeur de ln 2 , un schéma de calcul des logarithmes d'autres entiers consiste à tabuler les logarithmes des nombres premiers et dans la couche suivante les logarithmes des nombres composés c en fonction de leurs factorisations
c
=
2
je
3
j
5
k
7
je
??
→
dans
??
(
c
)
=
je
dans
??
(
2
)
+
j
dans
??
(
3
)
+
k
dans
??
(
5
)
+
je
dans
??
(
7
)
+
??
{\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k \ln(5)+l\ln(7)+\cdots }
Cela emploie
premier
logarithme naturel approximatif
OEIS
2
0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458
A002162
3
1,098 612 288 668 109 691 395 245 236 92
A002391
5
1,609 437 912 434 100 374 600 759 333 23
A016628
7
1.945 910 149 055 313 305 105 352 743 44
A016630
11
2.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97
A016634
13
2.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57
A016636
17
2.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87
A016640
19
2.944 438 979 166 440 460 009 027 431 89
A016642
23
3.135 494 215 929 149 690 806 752 831 81
A016646
29
3.367 295 829 986 474 027 183 272 032 36
A016652
31
3.433 987 204 485 146 245 929 164 324 54
A016654
37
3.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03
A016660
41
3.713 572 066 704 307 803 866 763 373 04
A016664
43
3.761 200 115 693 562 423 472 842 513 35
A016666
47
3.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77
A016670
53
3,970 291 913 552 121 834 144 469 139 03
A016676
59
4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72
A016682
61
4.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43
A016684
67
4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36
A016690
71
4.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51
A016694
73
4.290 459 441 148 391 129 092 108 857 44
A016696
79
4.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48
A016702
83
4,418 840 607 796 597 923 475 472 223 29
A016706
89
4,488 636 369 732 139 838 317 815 540 67
A016712
97
4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70
A016720
Dans une troisième couche, les logarithmes des nombres rationnels r =
une / b sont calculés avec ln( r ) = ln( a ) − ln( b ) , et les logarithmes des racines via ln n √ c =1 / m ln( c ) .
Le logarithme de 2 est utile dans le sens où les puissances de 2 sont plutôt densément distribuées ; trouver des puissances 2 i proches des puissances b j d'autres nombres b est relativement facile, et les représentations en série de ln( b ) sont trouvées en couplant 2 à b avec des conversions logarithmiques .
Exemple
Si p s = q t + d avec un petit d , alorsp s / q t = 1 + ré / q t et donc
s
dans
??
p
−
t
dans
??
q
=
dans
??
(
1
+
ré
q
t
)
=
??
m
=
1
??
(
−
1
)
m
+
1
(
ré
q
t
)
m
m
=
??
m
=
0
??
2
2
m
+
1
(
ré
2
q
t
+
ré
)
2
m
+
1
.
{\displaystyle s\ln pt\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }( -1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\ infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}
La sélection de q = 2 représente ln p par ln 2 et une série d'un paramètreré / q t que l'on souhaite garder petite pour une convergence rapide. Prendre 3 2 = 2 3 + 1 , par exemple, génère
2
dans
??
3
=
3
dans
??
2
−
??
k
??
1
(
−
1
)
k
8
k
k
=
3
dans
??
2
+
??
m
=
0
??
2
2
m
+
1
(
1
2
??
8
+
1
)
2
m
+
1
.
{\displaystyle 2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{ 2n+1}.}
Il s'agit en fait de la troisième ligne du tableau suivant d'extensions de ce type :
s
p
t
q
ré / q t
1
3
1
2
1 / 2 = − 0,500 000 00 …
1
3
2
2
−1 / 4 = - 0,250 000 00 …
2
3
3
2
1 / 8 = − 0,125 000 00 …
5
3
8
2
−13 / 256 = - 0,050 781 25 …
12
3
19
2
7153 / 524 288 = − 0,013 643 26 …
1
5
2
2
1 / 4 = − 0,250 000 00 …
3
5
7
2
−3 / 128 = - 0,023 437 50 …
1
7
2
2
3 / 4 = − 0,750 000 00 …
1
7
3
2
−1 / 8 = - 0,125 000 00 …
5
7
14
2
423 / 16 384 = − 0,025 817 87 …
1
11
3
2
3 / 8 = − 0,375 000 00 …
2
11
7
2
−7 / 128 = - 0,054 687 50 …
11
11
38
2
10 433 763 667 / 274 877 906 944 = − 0,037 957 81 …
1
13
3
2
5 / 8 = − 0,625 000 00 …
1
13
4
2
−3 / 16 = - 0,187 500 00 …
3
13
11
2
149 / 2048 = − 0,072 753 91 …
7
13
26
2
− 4 360 347 / 67 108 864 = - 0,064 974 23 …
dix
13
37
2
419 538 377 / 137 438 953 472 = − 0,003 052 54 …
1
17
4
2
1 / 16 = − 0,062 500 00 …
1
19
4
2
3 / 16 = − 0,187 500 00 …
4
19
17
2
−751 / 131 072 = - 0,005 729 68 …
1
23
4
2
7 / 16 = − 0,437 500 00 …
1
23
5
2
−9 / 32 = - 0,281 250 00 …
2
23
9
2
17 / 512 = − 0,033 203 12 …
1
29
4
2
13 / 16 = − 0,812 500 00 …
1
29
5
2
−3 / 32 = - 0,093 750 00 …
7
29
34
2
70 007 125 / 17 179 869 184 = − 0,004 074 95 …
1
31
5
2
−1 / 32 = - 0,031 250 00 …
1
37
5
2
5 / 32 = − 0,156 250 00 …
4
37
21
2
− 222 991 / 2 097 152 = - 0,106 330 39 …
5
37
26
2
2 235 093 / 67 108 864 = − 0,033 305 48 …
1
41
5
2
9 / 32 = − 0,281 250 00 …
2
41
11
2
−367 / 2048 = - 0,179 199 22 …
3
41
16
2
3385 / 65 536 = − 0,051 651 00 …
1
43
5
2
11 / 32 = − 0,343 750 00 …
2
43
11
2
−199 / 2048 = - 0,097 167 97 …
5
43
27
2
12 790 715 / 134 217 728 = − 0,095 298 25 …
7
43
38
2
− 3 059 295 837 / 274 877 906 944 = - 0,011 129 65 …
En partant du logarithme népérien de q = 10, on pourrait utiliser ces paramètres :
s
p
t
q
ré / q t
dix
2
3
dix
3 / 125 = − 0,024 000 00 …
21
3
dix
dix
460 353 203 / 10 000 000 000 = − 0,046 035 32 …
3
5
2
dix
1 / 4 = − 0,250 000 00 …
dix
5
7
dix
−3 / 128 = - 0,023 437 50 …
6
7
5
dix
17 649 / 100 000 = − 0,176 490 00 …
13
7
11
dix
− 3 110 989 593 / 100 000 000 000 = - 0,031 109 90 …
1
11
1
dix
1 / dix = − 0,100 000 00 …
1
13
1
dix
3 / dix = − 0,300 000 00 …
8
13
9
dix
− 184 269 279 / 1 000 000 000 = - 0,184 269 28 …
9
13
dix
dix
604 499 373 / 10 000 000 000 = − 0,060 449 94 …
1
17
1
dix
7 / dix = − 0,700 000 00 …
4
17
5
dix
− 16 479 / 100 000 = - 0,164 790 00 …
9
17
11
dix
18 587 876 497 / 100 000 000 000 = − 0,185 878 76 …
3
19
4
dix
−3141 / 10 000 = - 0,314 100 00 …
4
19
5
dix
30 321 / 100 000 = − 0,303 210 00 …
7
19
9
dix
− 106 128 261 / 1 000 000 000 = - 0,106 128 26 …
2
23
3
dix
−471 / 1000 = - 0,471 000 00 …
3
23
4
dix
2167 / 10 000 = − 0,216 700 00 …
2
29
3
dix
−159 / 1000 = - 0,159 000 00 …
2
31
3
dix
−39 / 1000 = - 0,039 000 00 …
Chiffres connus
Il s'agit d'un tableau des enregistrements récents dans le calcul des chiffres de ln 2 . En décembre 2018, il a été calculé à plus de chiffres que tout autre logarithme népérien d'un nombre naturel, à l'exception de celui de 1.
Date
Nom
Nombre de chiffres
7 janvier 2009
A.Yee & R.Chan
15 500 000 000
4 février 2009
A.Yee & R.Chan
31 026 000 000
21 février 2011
Alexandre Yee
50 000 000 050
14 mai 2011
Shigeru Kondo
100 000 000 000
28 février 2014
Shigeru Kondo
200 000 000 050
12 juillet 2015
Ron Watkins
250 000 000 000
30 janvier 2016
Ron Watkins
350 000 000 000
18 avril 2016
Ron Watkins
500 000 000 000
10 décembre 2018
Michael Kwok
600 000 000 000
26 avril 2019
Jacob Riffee
1 000 000 000 000
19 août 2020
Seungmin Kim
1 200 000 000 100
Voir également
Les références
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Sweeney, Dura W. (1963). "Sur le calcul de la constante d'Euler" . Mathématiques du calcul . 17 (82) : 170-178. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR 0160308 .
Chamberland, Marc (2003). "Formules BBP binaires pour les logarithmes et les nombres premiers gaussiens-mersennes généralisés" (PDF) . Journal des séquences entières . 6 : 03.3.7. MR 2046407 . Archivé de l'original (PDF) le 06-06-2011 . Récupéré le 29/04/2010 .
Gourévitch, Boris ; Guillera Goyanes, Jesús (2007). « Construction de sommes binomiales pour π et constantes polylogarithmiques inspirées des formules BBP » (PDF) . Mathématiques appliquées. E-Notes . 7 : 237-246. MR 2346048 .
Wu, Qiang (2003). "Sur la mesure d'indépendance linéaire des logarithmes des nombres rationnels" . Mathématiques du calcul . 72 (242) : 901–911. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .
Liens externes
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