Berceau de Newton - Newton's cradle
Le berceau de Newton est un appareil qui démontre la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie avec des sphères oscillantes. Lorsqu'une sphère à la fin est soulevée et relâchée, elle frappe les sphères stationnaires , transmettant une force à travers les sphères stationnaires qui pousse la dernière sphère vers le haut. La dernière sphère recule et frappe les sphères presque stationnaires, répétant l'effet dans la direction opposée. L'appareil porte le nom du scientifique anglais du XVIIe siècle Sir Isaac Newton et conçu par le scientifique français Edme Mariotte . Il est également connu comme le pendule de Newton , les boules de Newton , rocker Newton ou balle exécutif clicker (depuis l'appareil fait un clic à chaque fois que les balles entrent en collision, ce qu'ils font à plusieurs reprises dans un constant rythme ).
Opération
Lorsque l'une des boules d'extrémité ("la première") est tirée latéralement, la ficelle attachée lui fait suivre un arc ascendant. Lorsqu'il est lâché, il frappe la deuxième balle et s'arrête presque complètement. La balle du côté opposé acquiert la plus grande partie de la vitesse de la première balle et se balance dans un arc presque aussi haut que la hauteur de libération de la première balle. Cela montre que la dernière balle reçoit la majeure partie de l'énergie et de l' élan de la première balle. L'impact produit une onde de compression qui se propage à travers les billes intermédiaires. Tout matériau efficacement élastique tel que l'acier le fait, tant que l' énergie cinétique est temporairement stockée sous forme d' énergie potentielle lors de la compression du matériau plutôt que d'être perdue sous forme de chaleur. Il y a de légers mouvements dans toutes les balles après la frappe initiale, mais la dernière balle reçoit la majeure partie de l'énergie initiale de l'impact de la première balle. Lorsque deux (ou trois) balles tombent, les deux (ou trois) balles du côté opposé se balancent. Certains disent que ce comportement démontre la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique dans les collisions élastiques. Cependant, si les billes en collision se comportent comme décrit ci-dessus avec la même masse possédant la même vitesse avant et après les collisions, alors toute fonction de masse et de vitesse est conservée dans un tel événement.
Explication de la physique
Le berceau de Newton peut être modélisé assez précisément avec des équations mathématiques simples en supposant que les balles entrent toujours en collision par paires. Si une balle frappe quatre balles fixes qui se touchent déjà, ces équations simples ne peuvent pas expliquer les mouvements résultants dans les cinq balles, qui ne sont pas dus à des pertes par friction . Par exemple, dans un vrai berceau de Newton, la quatrième a un certain mouvement et la première balle a un léger mouvement inverse. Toutes les animations de cet article montrent une action idéalisée (solution simple) qui ne se produit que si les balles ne se touchent pas initialement et ne se heurtent que par paires.
Solution simple
La conservation de la quantité de mouvement (masse × vitesse) et de l'énergie cinétique ( 1 / 2 × masse × vitesse 2 ) peut être utilisée pour trouver les vitesses résultantes pour deux objets parfaitement élastiques en collision . Ces deux équations sont utilisées pour déterminer les vitesses résultantes des deux objets. Pour le cas de deux balles contraintes à une trajectoire rectiligne par les cordes dans le berceau, les vitesses sont un nombre unique au lieu d'un vecteur 3D pour l'espace 3D, de sorte que le calcul ne nécessite que deux équations pour résoudre deux inconnues. Lorsque les deux objets pèsent le même poids, la solution est simple : l'objet mobile s'arrête par rapport à l'objet fixe et l'objet fixe reprend toute la vitesse initiale de l'autre. Cela suppose des objets parfaitement élastiques, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte des pertes d'énergie thermique et sonore.
L'acier ne se comprime pas beaucoup, mais son élasticité est très efficace, il ne provoque donc pas beaucoup de chaleur perdue . Le simple effet de deux objets de même poids en collision efficacement élastiques contraints à une trajectoire rectiligne est à la base de l'effet observé dans le berceau et donne une solution approximative à toutes ses activités.
Pour une séquence d'objets élastiques de même poids contraints à une trajectoire rectiligne, l'effet continue à chaque objet successif. Par exemple, lorsque deux balles sont lâchées pour frapper trois balles stationnaires dans un berceau, il y a une petite distance inaperçue mais cruciale entre les deux balles lâchées, et l'action est la suivante : la première balle en mouvement qui frappe la première balle stationnaire (le deuxième balle frappant la troisième balle) transfère toute sa vitesse à la troisième balle et s'arrête. La troisième balle transfère ensuite la vitesse à la quatrième balle et s'arrête, puis la quatrième à la cinquième balle. Juste derrière cette séquence se trouve la deuxième balle en mouvement transférant sa vitesse à la première balle en mouvement qui vient de s'arrêter, et la séquence se répète immédiatement et imperceptiblement derrière la première séquence, éjectant la quatrième balle juste derrière la cinquième balle avec la même petite séparation qui était entre les deux balles de frappe initiales. S'ils se touchent simplement lorsqu'ils frappent la troisième balle, la précision nécessite la solution plus complète ci-dessous.
D'autres exemples de cet effet
L'effet de l'éjection de la dernière balle avec une vitesse presque égale à la première balle peut être vu en faisant glisser une pièce sur une table dans une ligne de pièces identiques, tant que la pièce frappante et ses cibles jumelles sont en ligne droite. L'effet peut également être vu dans les boules de billard. L'effet peut également être observé lorsqu'une onde de pression forte et forte frappe un matériau homogène dense immergé dans un milieu moins dense . Si les atomes , molécules ou sous-volumes à plus grande échelle du matériau homogène dense sont au moins partiellement liés élastiquement les uns aux autres par des forces électrostatiques, ils peuvent agir comme une séquence de billes élastiques identiques en collision. Les atomes, molécules ou sous-volumes environnants qui subissent l'onde de pression agissent pour se contraindre les uns les autres de la même manière que la corde contraint les boules du berceau à une ligne droite. Par exemple, les ondes de choc de lithotritie peuvent être envoyées à travers la peau et les tissus sans nuire à l'éclatement des calculs rénaux . Le côté des pierres opposé à l'onde de pression entrante éclate, pas le côté recevant la frappe initiale.
Quand la solution simple s'applique
Pour que la solution simple permette de prédire avec précision l'action, aucune paire au milieu d'une collision ne peut toucher la troisième balle, car la présence de la troisième balle rend effectivement la balle frappée plus lourde. L'application des deux équations de conservation pour résoudre les vitesses finales de trois balles ou plus dans une seule collision donne lieu à de nombreuses solutions possibles, de sorte que ces deux principes ne suffisent pas pour déterminer l'action résultante.
Même lorsqu'il y a une petite séparation initiale, une troisième balle peut être impliquée dans la collision si la séparation initiale n'est pas assez grande. Lorsque cela se produit, la méthode de solution complète décrite ci-dessous doit être utilisée.
Les petites billes d'acier fonctionnent bien car elles restent efficacement élastiques avec peu de pertes de chaleur sous des coups forts et ne se compriment pas beaucoup (jusqu'à environ 30 m dans un petit berceau de Newton). Les petites compressions rigides signifient qu'elles se produisent rapidement, en moins de 200 microsecondes, de sorte que les billes d'acier sont plus susceptibles de terminer une collision avant de toucher une troisième bille à proximité. Les balles élastiques plus molles nécessitent une séparation plus grande pour maximiser l'effet des collisions par paires.
Solution plus complète
Un berceau qui suit le mieux la solution simple doit avoir une séparation initiale entre les balles qui mesure au moins le double de la quantité compressée par une balle, mais la plupart ne le font pas. Cette section décrit l'action lorsque la séparation initiale n'est pas suffisante et dans les collisions ultérieures impliquant plus de deux balles, même lorsqu'il y a une séparation initiale. Cette solution se simplifie à la solution simple lorsque seulement deux balles se touchent lors d'une collision. Elle s'applique à toutes les balles identiques parfaitement élastiques qui n'ont pas de pertes d'énergie dues au frottement et peuvent être approximées par des matériaux tels que l'acier, le verre, le plastique et le caoutchouc.
Pour deux balles entrant en collision, seules les deux équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie sont nécessaires pour résoudre les deux vitesses résultantes inconnues. Pour trois balles élastiques ou plus entrant en collision simultanément, les compressibilités relatives des surfaces de collision sont les variables supplémentaires qui déterminent le résultat. Par exemple, cinq balles ont quatre points de collision et la mise à l'échelle (en divisant) trois d'entre elles par le quatrième donne les trois variables supplémentaires nécessaires pour résoudre les cinq vitesses post-collision.
L'action newtonienne, lagrangienne, hamiltonienne et stationnaire sont les différentes manières d'exprimer mathématiquement la mécanique classique . Ils décrivent la même physique mais doivent être résolus par des méthodes différentes. Tous imposent la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. La loi de Newton a été utilisée dans des articles de recherche. Il est appliqué à chaque boule et la somme des forces est rendue égale à zéro. Il y a donc cinq équations, une pour chaque balle, et cinq inconnues, une pour chaque vitesse. Si les billes sont identiques, la compressibilité absolue des surfaces devient sans importance, car elle peut être divisée des deux côtés des cinq équations, produisant zéro.
La détermination des vitesses pour le cas d'une balle frappant quatre balles en contact initial est trouvée en modélisant les balles comme des poids avec des ressorts non traditionnels sur leurs surfaces de collision. La plupart des matériaux, comme l'acier, qui sont efficacement élastiques suivent approximativement la loi de force de Hooke pour les ressorts, , mais comme la zone de contact d'une sphère augmente à mesure que la force augmente, les billes élastiques en collision suivent l'ajustement de Hertz à la loi de Hooke, . Ceci et la loi de Newton pour le mouvement ( ) sont appliqués à chaque boule, donnant cinq équations différentielles simples mais interdépendantes qui sont résolues numériquement. Lorsque la cinquième balle commence à accélérer , elle reçoit de l'élan et de l'énergie des troisième et quatrième balles grâce à l'action du ressort de leurs surfaces comprimées. Pour des balles élastiques identiques de tout type avec des balles initialement en contact, l'action est la même pour la première frappe, sauf que le temps pour terminer une collision augmente dans les matériaux plus mous. 40 % à 50 % de l'énergie cinétique de la balle initiale provenant d'une frappe à une seule balle est stockée dans les surfaces de la balle en tant qu'énergie potentielle pour la majeure partie du processus de collision. Treize pour cent de la vitesse initiale est transmise à la quatrième balle (qui peut être considérée comme un mouvement de 3,3 degrés si la cinquième balle sort de 25 degrés) et il y a une légère vitesse inverse dans les trois premières balles, la première balle ayant le le plus grand à -7 % de la vitesse initiale. Cela sépare les balles, mais elles se réunissent juste avant le retour de la cinquième balle. Ceci est dû au phénomène de pendule de différentes perturbations aux petits angles ayant approximativement le même temps pour revenir au centre. Lorsque les balles se "touchent" dans les collisions ultérieures, c'est complexe, mais toujours déterminable par cette méthode, surtout si les pertes par friction sont incluses et que le timing du pendule est calculé exactement au lieu de se fier à l'approximation du petit angle.
Les équations différentielles avec les séparations initiales sont nécessaires si la séparation est inférieure à 10 µm lors de l'utilisation de billes d'acier de 100 grammes avec une vitesse de frappe initiale de 1 m/s.
Les équations différentielles hertziennes prédisent que si deux balles en frappent trois, les cinquième et quatrième balles partiront avec des vitesses de 1,14 et 0,80 fois la vitesse initiale. C'est 2,03 fois plus d'énergie cinétique dans la cinquième boule que dans la quatrième boule, ce qui signifie que la cinquième boule oscillerait deux fois plus haut dans le sens vertical que la quatrième boule. Mais dans un vrai berceau de Newton, la quatrième balle s'élance jusqu'à la cinquième balle. Pour expliquer la différence entre théorie et expérience, les deux boules de frappe doivent avoir une séparation d'au moins ≈ 10 m (étant donné l'acier, 100 g et 1 m/s). Cela montre que dans le cas courant des billes d'acier, les séparations inaperçues peuvent être importantes et doivent être incluses dans les équations différentielles hertziennes, ou la solution simple donne un résultat plus précis.
Effet des ondes de pression
Les forces de la solution hertzienne ci-dessus étaient supposées se propager immédiatement dans les boules, ce qui n'est pas le cas. Des changements soudains de la force entre les atomes du matériau s'accumulent pour former une onde de pression. Les ondes de pression (sonores) dans l'acier parcourent environ 5 cm en 10 microsecondes, ce qui est environ 10 fois plus rapide que le temps entre la frappe de la première balle et l'éjection de la dernière balle. Les ondes de pression se réfléchissent une dizaine de fois à travers les cinq balles, bien qu'elles se dispersent sur un front d'onde moins important avec plus de réflexions. Ceci est suffisamment rapide pour que la solution hertzienne ne nécessite pas de modification substantielle pour ajuster le retard de propagation de la force à travers les billes. Dans des balles moins rigides mais toujours très élastiques comme le caoutchouc, la vitesse de propagation est plus lente, mais la durée des collisions est plus longue, donc la solution hertzienne s'applique toujours. L'erreur introduite par la vitesse limitée de propagation de la force biaise la solution hertzienne vers la solution simple car les collisions sont moins affectées par l'inertie des billes plus éloignées.
Des billes de forme identique aident les ondes de pression à converger vers le point de contact de la dernière bille : au point de frappe initial, une onde de pression avance vers les autres billes tandis qu'une autre recule pour se refléter sur le côté opposé de la première bille, puis elle suit la première vague, étant exactement 1 boule de diamètre derrière. Les deux vagues se rejoignent au dernier point de contact car la première vague se réfléchit sur le côté opposé de la dernière balle et elle se rencontre au dernier point de contact avec la deuxième vague. Ensuite, ils se réverbèrent comme ceci environ 10 fois jusqu'à ce que la première balle cesse de se connecter avec la deuxième balle. Ensuite, les réverbérations se réfléchissent sur le point de contact entre les deuxième et troisième balles, mais convergent toujours au dernier point de contact, jusqu'à ce que la dernière balle soit éjectée, mais il y a moins de front d'onde à chaque réflexion.
Effet de différents types de balles
L'utilisation de différents types de matériaux ne change pas l'action tant que le matériau est efficacement élastique. La taille des sphères ne change pas les résultats à moins que le poids accru dépasse la limite élastique du matériau. Si les billes solides sont trop grosses, de l'énergie est perdue sous forme de chaleur, car la limite élastique augmente avec le rayon élevé à la puissance 1,5, mais l'énergie qui a dû être absorbée et libérée augmente comme le cube du rayon. Rendre les surfaces de contact plus plates peut résoudre ce problème dans une certaine mesure en répartissant la compression sur une plus grande quantité de matériau, mais cela peut introduire un problème d'alignement. L'acier est meilleur que la plupart des matériaux car il permet à la solution simple de s'appliquer plus souvent dans les collisions après la première frappe, sa plage élastique pour stocker l'énergie reste bonne malgré l'énergie plus élevée causée par son poids, et le poids plus élevé diminue l'effet de la résistance de l'air .
Les usages
L'application la plus courante est celle d'un jouet exécutif de bureau . Une autre utilisation est comme démonstration de physique pédagogique, comme exemple de conservation de la quantité de mouvement et de conservation de l'énergie . Un principe similaire, la propagation des ondes dans les solides, a été utilisé dans le système d' engrenage de synchronisation Constantinesco pour les synchroniseurs hélice/canon des premiers avions de combat.
Histoire
Christiaan Huygens a utilisé des pendules pour étudier les collisions. Son ouvrage, De Motu Corporum ex Percussione (Sur le mouvement des corps par collision) publié à titre posthume en 1703, contient une version de la première loi de Newton et traite de la collision de corps suspendus comprenant deux corps de masse égale avec le mouvement du corps en mouvement étant transféré à celui au repos.
Le principe démontré par l'appareil, la loi des impacts entre les corps, a été démontré pour la première fois par le physicien français Abbé Mariotte au 17ème siècle. Newton a reconnu le travail de Mariotte, entre autres, dans ses Principia .
Il y a beaucoup de confusion sur les origines du berceau de Newton moderne. Marius J. Morin a été crédité comme étant le premier à nommer et à fabriquer ce jouet exécutif populaire . Cependant, au début de 1967, un acteur anglais, Simon Prebble , a inventé le nom "Newton's cradle" (maintenant utilisé de manière générique) pour la version en bois fabriquée par sa société, Scientific Demonstrations Ltd. Après une certaine résistance initiale des détaillants, ils ont d'abord été vendus par Harrods of London, créant ainsi le début d'un marché durable pour les jouets de direction. Plus tard, un design chromé très réussi pour le magasin Gear de Carnaby Street a été créé par le sculpteur et futur réalisateur Richard Loncraine .
Le plus grand dispositif de berceau au monde a été conçu par MythBusters et consistait en cinq bouées d'une tonne remplies de béton et de barres d'armature suspendues à une poutre en acier. Les bouées avaient également une plaque d'acier insérée entre leurs deux moitiés pour servir de « point de contact » pour le transfert d'énergie ; ce dispositif de berceau n'a pas bien fonctionné parce que le béton n'est pas élastique, donc la majeure partie de l'énergie a été perdue à cause d'une accumulation de chaleur dans le béton. Une version à plus petite échelle construite par eux se compose de cinq roulements à billes en acier chromé de 15 centimètres (6 pouces), pesant chacun 15 kilogrammes (33 lb), et est presque aussi efficace qu'un modèle de bureau.
Le dispositif de berceau avec les boules de collision de plus grand diamètre exposé au public était visible pendant plus d'un an à Milwaukee , dans le Wisconsin, dans le magasin de détail American Science and Surplus (voir photo). Chaque ballon était un ballon d'exercice gonflable de 66 cm (26 po) de diamètre (enfermé dans des anneaux en acier) et était soutenu par le plafond à l'aide d'aimants extrêmement puissants. Il a été démantelé début août 2010 en raison de problèmes de maintenance.
Dans la culture populaire
Le berceau de Newton a été utilisé plus de 20 fois dans des films, souvent comme trope sur le bureau d'un méchant principal tel que le rôle de Paul Newman dans The Hudsucker Proxy , Magneto dans X-Men et les Kryptoniens dans Superman II . Il a été utilisé pour représenter la position inflexible de la NFL envers les blessures à la tête dans les commotions cérébrales . Il a également été utilisé comme diversion relaxante sur le bureau de personnages principaux intelligents/anxieux/sensibles tels que le rôle de Henry Winkler dans Night Shift , le rôle de Dustin Hoffman dans Straw Dogs et le rôle de Gwyneth Paltrow dans Iron Man 2 . Il a été présenté plus en évidence comme une série de pots en argile dans Rosencrantz et Guildenstern Are Dead , et comme une rangée de chaises à bulles Eero Aarnio de 1968 avec des femmes légèrement vêtues dans Gamer . Dans Storks , Hunter, le PDG de Cornerstore, en a un non pas avec des balles, mais avec des petits oiseaux. Le berceau de Newton est un élément de Nintendo's Animal Crossing où il est appelé "jouet exécutif". En 2017, un épisode du podcast Omnibus , mettant en vedette Jeopardy! le champion Ken Jennings et le musicien John Roderick , se sont concentrés sur l'histoire de Newton's Cradle. Le berceau de Newton figure également sur le bureau du directeur adjoint des communications de la Maison Blanche, Sam Seaborn, dans The West Wing .
Le groupe de rock Jefferson Airplane a utilisé le berceau de l'album Crown of Creation de 1968 comme dispositif rythmique pour créer des polyrythmies sur une piste instrumentale.
Voir également
Les références
Littérature
- Herrmann, F. (1981). « Explication simple d'une expérience de collision bien connue ». Journal américain de physique . 49 (8): 761. bibcode : 1981AmJPh..49..761H . doi : 10.1119/1.12407 .
- B. Brogliato : Mécanique non lisse. Modèles, dynamique et contrôle , Springer, 2e édition, 1999.