Théorème de Nielsen-Schreier - Nielsen–Schreier theorem

En théorie des groupes , une branche des mathématiques, le théorème de Nielsen-Schreier stipule que chaque sous - groupe d'un groupe libre est lui-même libre. Il porte le nom de Jakob Nielsen et Otto Schreier .

Énoncé du théorème

Un groupe libre peut être défini à partir d'une présentation de groupe constituée d'un ensemble de générateurs sans relations. C'est-à-dire que chaque élément est le produit d'une séquence de générateurs et de leurs inverses, mais ces éléments n'obéissent à aucune équation sauf celles qui suivent trivialement de gg −1 = 1. Les éléments d'un groupe libre peuvent être décrits comme tous les mots réduits possibles , ces chaînes de générateurs et leurs inverses dans lesquels aucun générateur n'est adjacent à son propre inverse. Deux mots réduits peuvent être multipliés en les concaténant puis en supprimant les paires générateur-inverse qui résultent de la concaténation.

Le théorème de Nielsen-Schreier stipule que si H est un sous-groupe d'un groupe libre G , alors H est lui-même isomorphe à un groupe libre. C'est-à-dire qu'il existe un ensemble S d'éléments qui génèrent H , sans relations non triviales entre les éléments de S .

La formule de Nielsen-Schreier , ou formule d'indice de Schreier , quantifie le résultat dans le cas où le sous-groupe est d'indice fini : si G est un groupe libre de rang n (libre sur n générateurs), et H est un sous-groupe d' indice fini [ G  : H ] = e , alors H est libre de rang .

Exemple

Soit G le groupe libre à deux générateurs , et soit H le sous-groupe constitué de tous les mots réduits de longueur paire (produits d'un nombre pair de lettres ). Alors H est généré par ses six éléments. Une factorisation de tout mot réduit de H dans ces générateurs et leurs inverses peuvent être construits simplement en prenant des paires de lettres consécutives dans le mot réduit. Cependant, ce n'est pas une présentation libre de H car les trois derniers générateurs peuvent être écrits en fonction des trois premiers comme . Au contraire, H est généré en tant que groupe libre par les trois éléments qui n'ont aucune relation entre eux ; ou bien par plusieurs autres triplets des six générateurs. De plus, G est libre sur n = 2 générateurs, H a l'indice e = [ G  : H ] = 2 dans G , et H est libre sur 1 + e ( n –1) = 3 générateurs. Le théorème de Nielsen-Schreier stipule que, comme H , chaque sous-groupe d'un groupe libre peut être généré en tant que groupe libre, et si l'indice de H est fini, son rang est donné par la formule de l'indice.

Preuve

Le groupe libre G = 1 ( X ) a n = 2 générateurs correspondant aux boucles a , b à partir du point de base P dans X . Le sous-groupe H de mots de longueur paire, d'indice e = [ G  : H ] = 2, correspond au graphe de recouvrement Y à deux sommets correspondant aux cosets H et H' = aH = bH = a −1 H = b 1 H , et deux bords relevés pour chacun des bords de boucle d'origine a , b . La contraction d'une des arêtes de Y donne une équivalence d'homotopie à un bouquet de trois cercles, de sorte que H = π 1 ( Y ) est un groupe libre sur trois génératrices, par exemple aa , ab , ba .

Une courte démonstration du théorème Nielsen-Schreier utilise la topologie algébrique des groupes fondamentaux et des espaces couvrant . Un groupe libre G sur un ensemble de générateurs est le groupe fondamental d'un bouquet de cercles , un graphe topologique X avec un seul sommet et avec une arête de boucle pour chaque générateur. Tout sous-groupe H du groupe fondamental est lui-même le groupe fondamental d'un espace de couverture connexe YX. L'espace Y est un graphe topologique (éventuellement infini), le graphe coset de Schreier ayant un sommet pour chaque coset dans G/H . Dans tout graphe topologique connexe, il est possible de réduire les arêtes d'un arbre couvrant du graphe, produisant un bouquet de cercles ayant le même groupe fondamental H . Puisque H est le groupe fondamental d'un bouquet de cercles, il est lui-même libre.

L'homologie simpliste permet de calculer le rang de H , qui est égal à h 1 ( Y ), le premier nombre de Betti de l'espace couvrant, le nombre de cycles indépendants. Pour G libre de rang n , le graphe X a n arêtes et 1 sommet ; en supposant que H a un indice fini [ G  : H ] = e , le graphe couvrant Y a en arêtes et e sommets. Le premier nombre de Betti d'un graphe est égal au nombre d'arêtes, moins le nombre de sommets, plus le nombre de composants connectés ; donc le rang de H est :

Cette preuve est due à Reinhold Baer et Friedrich Levi  ( 1936 ) ; la preuve originale de Schreier forme le graphe de Schreier d'une manière différente en tant que quotient du graphe de Cayley de G modulo l'action de H .

Selon le lemme du sous-groupe de Schreier , un ensemble de générateurs pour une présentation libre de H peut être construit à partir de cycles dans le graphe de couverture formé en concaténant un chemin d'arbre couvrant d'un point de base (le co-ensemble de l'identité) à l'un des co-ensembles, un une seule arête non arborescente et un chemin d'arbre couvrant inverse de l'autre extrémité de l'arête jusqu'au point de base.

Fondations axiomatiques

Bien que plusieurs preuves différentes du théorème de Nielsen-Schreier soient connues, elles dépendent toutes de l' axiome de choix . Dans la preuve basée sur des groupes fondamentaux de bouquets, par exemple, l'axiome du choix apparaît sous la forme de l'affirmation que chaque graphe connecté a un arbre couvrant. L'utilisation de cet axiome est nécessaire, car il existe des modèles de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel dans lesquels l'axiome du choix et le théorème de Nielsen-Schreier sont tous deux faux. Le théorème de Nielsen-Schreier implique à son tour une version plus faible de l'axiome du choix, pour les ensembles finis.

Histoire

Le théorème de Nielsen-Schreier est un analogue non abélien d'un résultat plus ancien de Richard Dedekind , selon lequel chaque sous-groupe d'un groupe abélien libre est abélien libre .

Jakob Nielsen ( 1921 ) a prouvé à l'origine une forme restreinte du théorème, déclarant que tout sous-groupe de génération finie d'un groupe libre est libre. Sa preuve consiste à effectuer une séquence de transformations de Nielsen sur le groupe électrogène du sous-groupe qui réduisent leur longueur (comme des mots réduits dans le groupe libre dont ils sont tirés). Otto Schreier a prouvé le théorème de Nielsen-Schreier dans toute sa généralité dans sa thèse d' habilitation de 1926 , Die Untergruppen der freien Gruppe , également publiée en 1927 dans Abh. math. Sem. Hambourg. Univ.

La preuve topologique basée sur des groupes fondamentaux de bouquets de cercles est due à Reinhold Baer et Friedrich Levi  ( 1936 ). Une autre preuve topologique, basée sur la théorie de Bass-Serre des actions de groupe sur les arbres , a été publiée par Jean-Pierre Serre  ( 1970 ).

Voir également

Remarques

Les références