Espace topologique noethérien - Noetherian topological space

En mathématiques, un espace topologique noetherien , nommé d'après Emmy Noether , est un espace topologique dans lequel des sous-ensembles fermés satisfont à la condition de chaîne descendante . De manière équivalente, on pourrait dire que les sous-ensembles ouverts satisfont à la condition de chaîne ascendante , puisqu'ils sont les compléments des sous-ensembles fermés. La propriété noethérienne d'un espace topologique peut également être considérée comme une condition de compacité forte , à savoir que chaque sous-ensemble ouvert d'un tel espace est compact, et en fait, cela équivaut à l'affirmation apparemment plus forte que chaque sous-ensemble est compact.

Définition

Un espace topologique est dit noetherien s'il satisfait la condition de chaîne descendante pour les sous - ensembles fermés : pour toute suite${\style d'affichage X}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots }$

de sous-ensembles fermés de , il existe un entier tel que ${\displaystyle Y_{i}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage m}$${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots .}$

Propriétés

• Un espace topologique est noethérien si et seulement si chaque sous - espace de est compact (c'est-à-dire, est héréditairement compact), et si et seulement si chaque sous-ensemble ouvert de est compact.${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$
• Tout sous-espace d'un espace noetherien est noetherien.
• L'image continue d'un espace noetherien est noetherienne.
• Une union finie de sous-espaces noetheriens d'un espace topologique est noetherienne.
• Tout espace noethérien de Hausdorff est fini avec la topologie discrète .

Preuve : Tout sous-ensemble de X est compact dans un espace de Hausdorff, donc fermé. Donc X a la topologie discrète, et étant compact, il doit être fini.

• Tout espace noethérien X a un nombre fini de composantes irréductibles . Si les composantes irréductibles sont , alors , et aucune des composantes n'est contenue dans l'union des autres composantes.${\style d'affichage X_{1},...,X_{n}}$${\displaystyle X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$${\style d'affichage X_{i}}$

De la géométrie algébrique

De nombreux exemples d'espaces topologiques noethériens proviennent de la géométrie algébrique , où pour la topologie de Zariski, un ensemble irréductible a la propriété intuitive que tout sous-ensemble propre fermé a une dimension plus petite. Puisque la dimension ne peut « sauter » qu'un nombre fini de fois et que les ensembles algébriques sont constitués d'unions finies d'ensembles irréductibles, les chaînes descendantes d'ensembles fermés de Zariski doivent finalement être constantes.

Une façon plus algébrique de voir cela est que les idéaux associés définissant les ensembles algébriques doivent satisfaire la condition de chaîne ascendante . Cela s'ensuit parce que les anneaux de la géométrie algébrique, au sens classique, sont des anneaux noethériens . Cette classe d'exemples explique donc aussi le nom.

Si R est un anneau noetherien commutatif, alors Spec( R ), le spectre premier de R , est un espace topologique noetherien. Plus généralement, un schéma noethérien est un espace topologique noethérien. L'inverse n'est pas vrai, puisque Spec( R ) d'un domaine d'évaluation unidimensionnel R se compose d'exactement deux points et est donc noethérien, mais il existe des exemples de tels anneaux qui ne sont pas noethériens.

Exemple

L'espace (affine -espace sur un champ ) sous la topologie de Zariski est un exemple d'espace topologique noethérien. Par propriétés de l' idéal d'un sous-ensemble de , nous savons que si ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

est une chaîne descendante de sous-ensembles fermés de Zariski, alors

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

est une chaîne ascendante d'idéaux de Puisque est un anneau noethérien, il existe un entier tel que ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\style d'affichage m}$

${\displaystyle I(A_{m})=I(A_{m+1})=I(A_{m+2})=\cdots .}$

Puisque est la fermeture de Y pour tout Y , pour tout D'où ${\style d'affichage V(I(Y))}$${\style d'affichage V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$${\style d'affichage i.}$

${\displaystyle A_{m}=A_{m+1}=A_{m+2}=\cdots }$ comme demandé.

Remarques

Les références

• Hartshorne, Robin (1977), Géométrie algébrique , Textes d'études supérieures en mathématiques , 52 , New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

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