Observable - Observable

En physique , un observable est une grandeur physique qui peut être mesurée. Les exemples incluent la position et l' élan . Dans les systèmes régis par la mécanique classique , c'est une "fonction" à valeur réelle sur l'ensemble de tous les états possibles du système. En physique quantique , c'est un opérateur , ou jauge , où la propriété de l' état quantique peut être déterminée par une séquence d' opérations . Par exemple, ces opérations peuvent impliquer de soumettre le système à divers champs électromagnétiques et éventuellement de lire une valeur.

Les observables physiquement significatifs doivent également satisfaire aux lois de transformation qui relient les observations effectuées par différents observateurs dans différents cadres de référence . Ces lois de transformation sont des automorphismes de l'espace d'état, c'est-à-dire des transformations bijectives qui préservent certaines propriétés mathématiques de l'espace en question.

Mécanique quantique

En physique quantique , les observables se manifestent sous la forme d'opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert représentant l' espace d'état des états quantiques. Les valeurs propres des observables sont des nombres réels qui correspondent aux valeurs possibles que la variable dynamique représentée par l'observable peut être mesurée comme ayant. C'est-à-dire que les observables en mécanique quantique attribuent des nombres réels aux résultats de mesures particulières , correspondant à la valeur propre de l'opérateur par rapport à l' état quantique mesuré du système . En conséquence, seules certaines mesures peuvent déterminer la valeur d'un observable pour un état d'un système quantique. En mécanique classique, toute mesure peut être effectuée pour déterminer la valeur d'un observable.

La relation entre l'état d'un système quantique et la valeur d'un observable nécessite une certaine algèbre linéaire pour sa description. Dans la formulation mathématique de la mécanique quantique , les états sont donnés par des vecteurs non nuls dans un espace de Hilbert V . Deux vecteurs v et w sont considérés comme spécifiant le même état si et seulement si pour certains non nuls . Les observables sont donnés par des opérateurs auto-adjoints sur V . Cependant, comme indiqué ci-dessous, tous les opérateurs auto-adjoints ne correspondent pas à un observable physiquement significatif. Pour le cas d'un système de particules , l'espace V est constitué de fonctions appelées fonctions d'onde ou vecteurs d'état . $\mathbf {w} =c\mathbf {v}$ $c\in \mathbb {C}$

Dans le cas des lois de transformation en mécanique quantique, les automorphismes requis sont des transformations linéaires unitaires (ou antiunitaires ) de l'espace de Hilbert V . Sous la relativité galiléenne ou relativité restreinte, les mathématiques des cadres de référence sont particulièrement simples, restreignant considérablement l'ensemble des observables physiquement significatifs.

En mécanique quantique, la mesure des observables présente des propriétés apparemment peu intuitives. Plus précisément, si un système est dans un état décrit par un vecteur dans un espace de Hilbert , le processus de mesure affecte l'état d'une manière non déterministe mais statistiquement prévisible. En particulier, après application d'une mesure, la description d'état par un seul vecteur peut être détruite, remplacée par un ensemble statistique . La nature irréversible des opérations de mesure en physique quantique est parfois appelée problème de mesure et est décrite mathématiquement par les opérations quantiques . Par la structure des opérations quantiques, cette description est mathématiquement équivalente à celle offerte par l'interprétation d'états relatifs où le système original est considéré comme un sous-système d'un système plus vaste et l'état du système original est donné par la trace partielle de l'état du plus grand système.

Dans la mécanique quantique, variables dynamiques telles que la position, de translation (linéaire) dynamique , le moment cinétique orbital , de spin et moment cinétique total sont associés chacun à un opérateur hermitien qui agit sur l' état du système quantique. Les valeurs propres de l'opérateur correspondent aux valeurs possibles que la variable dynamique peut être observée comme ayant. Par exemple, supposons que est un eigenket ( propre vecteur ) de l'observable , avec une valeur propre , et existe dans un espace de Hilbert . Puis ${\style d'affichage A}$ ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ $|\psi _{a}\rangle$ ${\hat {A}}$ ${\style d'affichage a}$

{\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .

Cette équation propre dit que si une mesure de l'observable est effectuée alors que le système d'intérêt est dans l'état , alors la valeur observée de cette mesure particulière doit renvoyer la valeur propre avec certitude. Cependant, si le système d'intérêt est dans l'état général , alors la valeur propre est renvoyée avec probabilité , par la règle de Born . ${\hat {A}}$ $|\psi _{a}\rangle$ ${\style d'affichage a}$ $|\phi \rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\style d'affichage a}$ $|\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}$

La définition ci-dessus dépend quelque peu de notre convention de choisir des nombres réels pour représenter des quantités physiques réelles . En effet, ce n'est pas parce que les variables dynamiques sont « réelles » et non « irréelles » au sens métaphysique qu'elles doivent correspondre à des nombres réels au sens mathématique.

Pour être plus précis, la variable dynamique/observable est un opérateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert.

Opérateurs sur les espaces de Hilbert de dimension finie et infinie

Les observables peuvent être représentés par une matrice hermitienne si l'espace de Hilbert est de dimension finie. Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, l'observable est représenté par un opérateur symétrique , qui peut ne pas être défini partout . La raison d'un tel changement est que dans un espace de Hilbert de dimension infinie, l'opérateur observable peut devenir non borné , ce qui signifie qu'il n'a plus la plus grande valeur propre. Ce n'est pas le cas dans un espace de Hilbert de dimension finie : un opérateur ne peut pas avoir plus de valeurs propres que la dimension de l'état sur lequel il agit, et par la propriété de bon ordre , tout ensemble fini de nombres réels a un plus grand élément. Par exemple, la position d'une particule ponctuelle se déplaçant le long d'une ligne peut prendre n'importe quel nombre réel comme valeur, et l'ensemble des nombres réels est infiniment infini . Puisque la valeur propre d'un observable représente une quantité physique possible que sa variable dynamique correspondante peut prendre, nous devons conclure qu'il n'y a pas de plus grande valeur propre pour la position observable dans cet espace de Hilbert de dimension infinie.

Incompatibilité des observables en mécanique quantique

Une différence cruciale entre les quantités classiques et les observables de la mécanique quantique est que ces dernières peuvent ne pas être simultanément mesurables, une propriété appelée complémentarité . Ceci s'exprime mathématiquement par la non commutativité des opérateurs correspondants, à l'effet que le commutateur

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right] :={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\ chapeau {A}}\neq {\ chapeau {0}}.

Cette inégalité exprime une dépendance des résultats de mesure sur l'ordre dans lequel les mesures des observables et sont effectuées. Les observables correspondant aux opérateurs non commutants sont appelés observables incompatibles . Les observables incompatibles ne peuvent pas avoir un ensemble complet de fonctions propres communes . Notez qu'il peut y avoir des vecteurs propres simultanés de et , mais pas en nombre suffisant pour constituer une base complète . ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$ ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$

Voir également

Lectures complémentaires

Auyang, Sunny Y. (1995). Comment la théorie quantique des champs est-elle possible ? . New York, NY : Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
Ballentine, Leslie E. (2014). La mécanique quantique : un développement moderne (Repr. ed.). World Scientific Publishing Co. ISBN 9789814578608.
von Neumann, John (1996). Fondements mathématiques de la mécanique quantique . Traduit par Robert T. Beyer (12. tirage., 1. tirage de poche. éd.). Princeton, New Jersey : Université de Princeton. Presse. ISBN 978-0691028934.
Varadarajan, VS (2007). Géométrie de la théorie quantique (2e éd.). New York : Springer. ISBN 9780387493862.
Weyl, Hermann (2009). "Appendice C: Physique quantique et causalité". Philosophie des mathématiques et des sciences naturelles . Édition anglaise révisée et augmentée d'après une traduction d'Olaf Helmer. Princeton, New Jersey : Princeton University Press. p. 253-265. ISBN 9780691141206.
Claude Cohen-Tannoudji ; Bernard Diu ; Franck Laloé (4 décembre 2019). Mécanique quantique, Volume 1 : Concepts de base, outils et applications . Wiley. ISBN 978-3-527-34553-3.
David J. Griffiths (2017). Introduction à la mécanique quantique . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-1-107-17986-8.

^ Griffiths, David J. (2017). Introduction à la mécanique quantique . La presse de l'Universite de Cambridge. p. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
^ Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloé, Franck (2019-12-04). Mécanique quantique, Volume 1 : Concepts de base, outils et applications . Wiley. p. 232. ISBN 978-3-527-34553-3.

[1] Griffiths, David J. (2017). Introduction à la mécanique quantique . La presse de l'Universite de Cambridge. p. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.

[2] Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloé, Franck (2019-12-04). Mécanique quantique, Volume 1 : Concepts de base, outils et applications . Wiley. p. 232. ISBN 978-3-527-34553-3.

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