Isomorphisme d'ordre - Order isomorphism

Dans le domaine mathématique de la théorie de l' ordre , un isomorphisme d'ordre est un type particulier de fonction monotone qui constitue une notion appropriée d' isomorphisme pour des ensembles partiellement ordonnés (posets). Chaque fois que deux posets sont isomorphes d'ordre, ils peuvent être considérés comme « essentiellement les mêmes » dans le sens où l'un des ordres peut être obtenu de l'autre simplement en renommant des éléments. Deux notions strictement plus faibles qui se rapportent aux isomorphismes d' ordre sont les plongements d'ordre et les connexions de Galois .

Définition

Formellement, étant donné deux posets et , un isomorphisme d'ordre de à est une fonction bijective de à avec la propriété que, pour tout et dans , si et seulement si . C'est-à-dire qu'il s'agit d'un plongement d'ordre bijectif .

Il est également possible de définir un isomorphisme d'ordre comme étant un plongement d'ordre surjectif . Les deux hypothèses qui couvrent tous les éléments de et qu'il préserve les ordres, suffisent à assurer que est aussi un-à-un, car si alors (par l'hypothèse qui préserve l'ordre) il s'ensuivrait que et , impliquant par la définition d'un ordre partiel qui .

Encore une autre caractérisation des isomorphismes d'ordre est qu'ils sont exactement les bijections monotones qui ont un inverse monotone.

Un isomorphisme d'ordre d'un ensemble partiellement ordonné à lui-même est appelé un automorphisme d' ordre .

Lorsqu'une structure algébrique supplémentaire est imposée aux posets et , une fonction de à doit satisfaire des propriétés supplémentaires pour être considérée comme un isomorphisme. Par exemple, étant donné deux groupes partiellement ordonnés (po-groupes) et , un isomorphisme de po-groupes de à est un isomorphisme d'ordre qui est aussi un isomorphisme de groupe , pas simplement une bijection qui est un ordre plongeant .

Exemples

  • La fonction d'identité sur tout ensemble partiellement ordonné est toujours un automorphisme d'ordre.
  • La négation est un isomorphisme d'ordre de à (où est l'ensemble des nombres réels et désigne la comparaison numérique habituelle), puisque − x ≥ − y si et seulement si xy .
  • L' intervalle ouvert (encore une fois, ordonné numériquement) n'a pas d'isomorphisme d'ordre vers ou depuis l' intervalle fermé : l'intervalle fermé a un moindre élément, mais pas l'intervalle ouvert, et les isomorphismes d'ordre doivent préserver l'existence des moindres éléments.
  • D'après le théorème d'isomorphisme de Cantor , tout ordre linéaire dense dénombrable non borné est isomorphe à l'ordre des nombres rationnels . Les isomorphismes d'ordre explicite entre les nombres algébriques quadratiques, les nombres rationnels et les nombres rationnels dyadiques sont fournis par la fonction point d'interrogation de Minkowski .

Types de commande

Si est un isomorphisme d'ordre, alors sa fonction inverse l'est aussi . De plus, si est un isomorphisme d'ordre de à et est un isomorphisme d'ordre de à , alors la composition de fonction de et est elle-même un isomorphisme d'ordre, de à .

Deux ensembles partiellement ordonnés sont dits isomorphes d'ordre lorsqu'il existe un isomorphisme d'ordre de l'un à l'autre. Les fonctions d'identité, les inverses de fonction et les compositions de fonctions correspondent, respectivement, aux trois caractéristiques définissant une relation d'équivalence : la réflexivité , la symétrie et la transitivité . Par conséquent, l'isomorphisme d'ordre est une relation d'équivalence. La classe des ensembles partiellement ordonnés peut être partitionnée par elle en classes d'équivalence , familles d'ensembles partiellement ordonnés qui sont tous isomorphes les uns aux autres. Ces classes d'équivalence sont appelées types d'ordre .

Voir également

  • Modèle de permutation , une permutation qui est d'ordre isomorphe à une sous-séquence d'une autre permutation

Remarques

Les références