Groupe d'automorphisme externe - Outer automorphism group

En mathématiques , le groupe d'automorphisme externe d'un groupe , G , est le quotient , Aut ( G ) / Inn ( G ) , où Aut ( G ) est le groupe d'automorphisme de G et Inn ( G ) est le sous-groupe constitué d' automorphismes internes . Le groupe d'automorphisme externe est généralement noté Out ( G ) . Si Out ( G ) est trivial et que G a un centre trivial , alors G est dit complet .

Un automorphisme d'un groupe qui n'est pas interne est appelé un automorphisme externe . Les cosets de Inn ( G ) par rapport aux automorphismes externes sont alors les éléments de Out ( G ) ; c'est un exemple du fait que les quotients de groupes ne sont pas, en général, des sous-groupes (isomorphes à). Si le groupe d'automorphisme interne est trivial (lorsqu'un groupe est abélien), le groupe d'automorphisme et le groupe d'automorphisme externe sont naturellement identifiés; c'est-à-dire que le groupe d'automorphisme externe agit sur le groupe.

Par exemple, pour le groupe alterné , A n , le groupe d'automorphisme externe est généralement le groupe d'ordre 2, avec les exceptions notées ci-dessous. Considérant A n comme un sous-groupe du groupe symétrique , S n , la conjugaison par toute permutation impaire est un automorphisme externe de A n ou plus précisément "représente la classe de l'automorphisme externe (non trivial) de A n ", mais le l'automorphisme ne correspond pas à la conjugaison par un élément impair particulier , et toutes les conjugaisons par des éléments impairs sont équivalentes jusqu'à la conjugaison par un élément pair.

Structure

La conjecture de Schreier affirme que Out ( G ) est toujours un groupe résoluble lorsque G est un groupe simple fini . Ce résultat est maintenant connu pour être vrai en tant que corollaire de la classification des groupes simples finis , bien qu'aucune preuve plus simple ne soit connue.

En tant que double du centre

Le groupe d'automorphisme externe est double au centre dans le sens suivant: la conjugaison par un élément de G est un automorphisme, donnant une application σ : G → Aut ( G ) . Le noyau de la carte de conjugaison est le centre, tandis que le cokernel est le groupe d'automorphisme externe (et l'image est le groupe d' automorphisme interne ). Cela peut être résumé par la séquence exacte :

Z ( G ) ↪ G σ Aut ( G ) ↠ Sortie ( G ) .

Applications

Le groupe d'automorphisme externe d'un groupe agit sur les classes de conjugaison , et par conséquent sur la table de caractères . Voir les détails dans la table des caractères: automorphismes externes .

Topologie des surfaces

Le groupe d'automorphisme externe est important dans la topologie des surfaces car il existe une connexion fournie par le théorème de Dehn – Nielsen : le groupe de classes de mappage étendu de la surface est le groupe d'automorphisme externe de son groupe fondamental .

En groupes finis

Pour les groupes d'automorphisme externes de tous les groupes simples finis, voir la liste des groupes simples finis . Les groupes simples sporadiques et les groupes alternés (autres que le groupe alterné, A 6 ; voir ci-dessous) ont tous des groupes d'automorphisme externe d'ordre 1 ou 2. Le groupe d'automorphisme externe d'un groupe simple fini de type Lie est une extension d'un groupe de " automorphismes diagonaux "(cycliques sauf pour D n ( q ) , quand il a l'ordre 4), un groupe d '" automorphismes de champ "(toujours cycliques), et un groupe d'" automorphismes de graphes "(d'ordre 1 ou 2 sauf pour D 4 ( q ) , quand c'est le groupe symétrique sur 3 points). Ces extensions ne sont pas toujours des produits semi-directs , comme le montre le cas du groupe alterné A 6 ; un critère précis pour cela a été donné en 2003.

Grouper Paramètre Sortie ( G ) | Out ( G ) |
Z C 2 2 : l'identité et l'automorphisme externe x ↦ - x
C n n > 2 (ℤ / n ℤ) × φ ( n ) = ; celui correspondant à la multiplication par un élément inversible dans l'anneauℤ / n.
Z p n p premier, n > 1 GL n ( p ) ( p n - 1) ( p n - p ) ( p n - p 2 ) ... ( p n - p n −1 )
S n n ≠ 6 C 1 1
S 6   C 2 (voir ci-dessous) 2
Un n n ≠ 6 C 2 2
A 6   C 2 × C 2 (voir ci-dessous) 4
PSL 2 ( p ) p > 3 premiers C 2 2
PSL 2 (2 n ) n > 1 C n n
PSL 3 (4) = M 21   Dih 6 12
M n n ∈ {11, 23, 24} C 1 1
M n n ∈ {12, 22} C 2 2
Co n n ∈ {1, 2, 3} C 1 1

En groupes symétriques et alternés

Le groupe d'automorphisme externe d'un groupe simple fini dans une famille infinie de groupes simples finis peut presque toujours être donné par une formule uniforme qui fonctionne pour tous les éléments de la famille. Il y a juste une exception à cela: le groupe alterné A 6 a un groupe d'automorphisme externe d'ordre 4, plutôt que 2 comme le font les autres groupes alternés simples (donnés par conjugaison par une permutation impaire ). De manière équivalente, le groupe symétrique S 6 est le seul groupe symétrique avec un groupe d'automorphisme externe non trivial.

Notez que, dans le cas de G = A 6 = PSL (2, 9) , la séquence 1 ⟶ G ⟶ Aut ( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 ne se dédouble pas. Un résultat similaire vaut pour tout PSL (2, q 2 ) , q impair.

Dans les groupes algébriques réductifs

Les symétries du diagramme de Dynkin , D 4 , correspondent aux automorphismes externes de Spin (8) en trialité.

Soit G maintenant un groupe réducteur connecté sur un champ algébriquement clos . Ensuite, deux sous - groupes de Borel sont conjugués par un automorphisme interne, donc pour étudier les automorphismes externes, il suffit de considérer les automorphismes qui fixent un sous-groupe de Borel donné. Associé au sous-groupe Borel est un ensemble de racines simples , et l'automorphisme externe peut les permuter, tout en préservant la structure du diagramme de Dynkin associé . De cette manière, on peut identifier le groupe d'automorphisme du diagramme de Dynkin de G avec un sous-groupe de Out ( G ) .

D 4 a un diagramme de Dynkin très symétrique, ce qui donne un grand groupe d'automorphisme externe de Spin (8) , à savoir Out (Spin (8)) = S 3 ; c'est ce qu'on appelle la trialité .

Dans des algèbres de Lie simples complexes et réelles

L'interprétation précédente des automorphismes externes comme symétries d'un diagramme de Dynkin découle du fait général, que pour une algèbre de Lie simple complexe ou réelle, 𝔤 , le groupe d'automorphisme Aut ( 𝔤 ) est un produit semi - direct de Inn ( 𝔤 ) et Out ( 𝔤 ) ; c'est-à-dire la courte séquence exacte

1 ⟶ Inn ( 𝔤 ) ⟶ Aut ( 𝔤 ) ⟶ Out ( 𝔤 ) ⟶ 1

se divise. Dans le cas simple et complexe, il s'agit d'un résultat classique, alors que pour les algèbres de Lie simples réelles, ce fait a été prouvé aussi récemment qu'en 2010.

Jeu de mots

Le terme d' automorphisme externe se prête au jeu de mots : le terme d' outermorphisme est parfois utilisé pour désigner l' automorphisme externe , et une géométrie particulière sur laquelle agit Out ( F n ) est appelée espace externe .

Voir également

Les références

Liens externes

  • ATLAS of Finite Group Representations-V3 , contient beaucoup d'informations sur différentes classes de groupes finis (en particulier les groupes simples sporadiques), y compris l'ordre de Out ( G ) pour chaque groupe répertorié.