Postulat parallèle - Parallel postulate

Si la somme des angles intérieurs et est inférieure à 180°, les deux droites, produites indéfiniment, se rejoignent de ce côté.

En géométrie , le postulat parallèle , aussi appelé Euclid cinquième postulat d » parce qu'il est le cinquième postulat d'Euclide éléments , est une caractéristique axiome dans la géométrie euclidienne . Il indique que, en géométrie bidimensionnelle :

Si un segment de ligne coupe deux lignes droites formant deux angles intérieurs du même côté dont la somme est inférieure à deux angles droits , alors les deux lignes, si elles sont prolongées indéfiniment, se rencontrent du côté sur lequel les angles totalisent moins de deux angles droits.

Ce postulat ne parle pas spécifiquement de lignes parallèles ; ce n'est qu'un postulat lié au parallélisme. Euclide a donné la définition des lignes parallèles dans le Livre I, Définition 23 juste avant les cinq postulats.

La géométrie euclidienne est l'étude de la géométrie qui satisfait tous les axiomes d'Euclide, y compris le postulat parallèle.

Le postulat a longtemps été considéré comme évident ou inévitable, mais les preuves étaient insaisissables. Finalement, il a été découvert que l'inversion du postulat donnait des géométries valides, bien que différentes. Une géométrie où le postulat parallèle ne tient pas est connue comme une géométrie non-euclidienne . La géométrie qui est indépendante du cinquième postulat d'Euclide (c'est-à-dire, suppose seulement l'équivalent moderne des quatre premiers postulats) est connue sous le nom de géométrie absolue (ou parfois « géométrie neutre »).

Propriétés équivalentes

L'équivalent probablement le plus connu du postulat parallèle d'Euclide, dépendant de ses autres postulats, est l'axiome de Playfair , du nom du mathématicien écossais John Playfair , qui déclare :

Dans un plan, étant donné une ligne et un point non dessus, au plus une ligne parallèle à la ligne donnée peut être tracée à travers le point.

Cet axiome en lui-même n'est pas logiquement équivalent au postulat parallèle euclidien puisqu'il existe des géométries dans lesquelles l'une est vraie et l'autre ne l'est pas. Cependant, en présence des axiomes restants qui donnent la géométrie euclidienne, chacun d'eux peut être utilisé pour prouver l'autre, ils sont donc équivalents dans le contexte de la géométrie absolue .

De nombreuses autres déclarations équivalentes au postulat parallèle ont été suggérées, certaines d'entre elles semblant d'abord sans rapport avec le parallélisme, et certaines semblant si évidentes qu'elles ont été inconsciemment assumées par des personnes qui prétendaient avoir prouvé le postulat parallèle à partir des autres postulats d'Euclide. . Ces déclarations équivalentes comprennent :

  1. Il y a au plus une ligne qui peut être tracée parallèlement à une autre donnée par un point externe. ( L'axiome de Playfair )
  2. La somme des angles de chaque triangle est de 180° ( postulat du triangle ).
  3. Il existe un triangle dont la somme des angles fait 180°.
  4. La somme des angles est la même pour chaque triangle.
  5. Il existe une paire de triangles similaires , mais non congruents .
  6. Tout triangle peut être circonscrit .
  7. Si trois angles d'un quadrilatère sont des angles droits , alors le quatrième angle est aussi un angle droit.
  8. Il existe un quadrilatère dans lequel tous les angles sont des angles droits, c'est-à-dire un rectangle .
  9. Il existe une paire de lignes droites qui sont à distance constante l'une de l'autre.
  10. Deux droites parallèles à la même droite sont également parallèles l'une à l'autre.
  11. Dans un triangle rectangle , le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ( théorème de Pythagore ).
  12. La loi des cosinus , une généralisation du théorème de Pythagore.
  13. Il n'y a pas de limite supérieure à l' aire d'un triangle. ( Axiome de Wallis )
  14. Les angles au sommet du quadrilatère de Saccheri sont de 90°.
  15. Si une ligne coupe l'une des deux lignes parallèles, toutes deux coplanaires avec la ligne d'origine, elle coupe également l'autre. ( Axiome de Proclus ')

Cependant, les alternatives qui emploient le mot "parallèle" cessent d'apparaître si simples quand on est obligé d'expliquer laquelle des quatre définitions communes de "parallèle" est signifiée - séparation constante, ne se rencontrant jamais, mêmes angles traversés par une troisième ligne, ou les mêmes angles étaient traversés par une troisième ligne – puisque l'équivalence de ces quatre est elle-même l'une des hypothèses inconsciemment évidentes équivalentes au cinquième postulat d'Euclide. Dans la liste ci-dessus, il est toujours considéré comme faisant référence à des lignes non sécantes. Par exemple, si le mot « parallèle » dans l'axiome de Playfair signifie « séparation constante » ou « mêmes angles traversés par une troisième ligne », alors il n'est plus équivalent au cinquième postulat d'Euclide, et est prouvable à partir des quatre premiers (l'axiome dit 'Il y a au plus une ligne...', ce qui est cohérent avec l'absence de telles lignes). Cependant, si la définition est prise de telle sorte que les lignes parallèles sont des lignes qui ne se coupent pas, ou qui ont une ligne les coupant dans les mêmes angles, l'axiome de Playfair est contextuellement équivalent au cinquième postulat d'Euclide et est donc logiquement indépendant des quatre premiers postulats. Notez que les deux dernières définitions ne sont pas équivalentes, car en géométrie hyperbolique, la deuxième définition ne vaut que pour les lignes ultraparallèles .

Histoire

Pendant deux mille ans, de nombreuses tentatives ont été faites pour prouver le postulat parallèle en utilisant les quatre premiers postulats d'Euclide. La principale raison pour laquelle une telle preuve était si recherchée était que, contrairement aux quatre premiers postulats, le postulat parallèle ne va pas de soi. Si l'ordre dans lequel les postulats ont été énumérés dans les Éléments est significatif, cela indique qu'Euclide n'a inclus ce postulat que lorsqu'il s'est rendu compte qu'il ne pouvait pas le prouver ou procéder sans lui. De nombreuses tentatives ont été faites pour prouver le cinquième postulat des quatre autres, beaucoup d'entre eux étant acceptés comme preuves pendant de longues périodes jusqu'à ce que l'erreur soit trouvée. Invariablement, l'erreur consistait à supposer une propriété «évidente» qui s'est avérée être équivalente au cinquième postulat ( axiome de Playfair ). Bien que connu depuis l'époque de Proclus, cela est devenu connu sous le nom d'Axiome de Playfair après que John Playfair a écrit un célèbre commentaire sur Euclide en 1795 dans lequel il proposait de remplacer le cinquième postulat d'Euclide par son propre axiome.

Proclus (410-485) a écrit un commentaire sur Les Éléments où il commente des tentatives de preuves pour déduire le cinquième postulat des quatre autres ; en particulier, il note que Ptolémée avait produit une fausse « preuve ». Proclus continue alors à donner une fausse preuve de la sienne. Cependant, il a donné un postulat qui est équivalent au cinquième postulat.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), mathématicien arabe , a tenté de prouver le postulat parallèle à l'aide d'une preuve par contradiction , au cours de laquelle il a introduit le concept de mouvement et de transformation en géométrie. Il a formulé le quadrilatère de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld nomme le « quadrilatère Ibn al-Haytham-Lambert », et sa tentative de preuve contient des éléments similaires à ceux trouvés dans les quadrilatères de Lambert et l'axiome de Playfair .

Le mathématicien, astronome, philosophe et poète persan Omar Khayyám (1050-1123), a tenté de prouver le cinquième postulat à partir d'un autre postulat explicitement donné (basé sur le quatrième des cinq principes dus au philosophe ( Aristote ), à savoir, « Deux lignes droites convergentes se croisent et il est impossible pour deux lignes droites convergentes à diverger dans la direction dans laquelle ils convergent vers. » il dérive quelques - uns des résultats antérieurs appartenant à la géométrie elliptique et la géométrie hyperbolique , bien que son postulat exclut cette dernière possibilité. le quadrilatérale Saccheri a également été considéré pour la première fois par Omar Khayyám à la fin du XIe siècle dans le livre I des Explications des difficultés des postulats d'Euclide Contrairement à de nombreux commentateurs sur Euclide avant et après lui (y compris Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyám n'essayait pas de prouver le parallèle postulat en tant que tel, mais pour le dériver de son postulat équivalent. Il a reconnu que trois possibilités découlaient de l'omission d'Euclide le cinquième postulat de ; si deux perpendiculaires à une ligne croisent une autre ligne, le choix judicieux de la dernière peut rendre égaux les angles internes où elle rencontre les deux perpendiculaires (elle est alors parallèle à la première ligne). Si ces angles internes égaux sont des angles droits, nous obtenons le cinquième postulat d'Euclide, sinon, ils doivent être aigus ou obtus. Il montra que les cas aigus et obtus conduisaient à des contradictions en utilisant son postulat, mais son postulat est maintenant connu pour être équivalent au cinquième postulat.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), dans son Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discussion Which Remove Doubt about Parallel Lines ) (1250), a écrit des critiques détaillées du postulat parallèle et sur la tentative de preuve de Khayyam un siècle plus tôt. Nasir al-Din a tenté d'en tirer une preuve par contradiction du postulat parallèle. Il a également examiné les cas de ce qui est maintenant connu sous le nom de géométrie elliptique et hyperbolique, bien qu'il ait exclu les deux.

Géométrie euclidienne, elliptique et hyperbolique. Le postulat parallèle n'est satisfait que pour les modèles de géométrie euclidienne.

Le fils de Nasir al-Din, Sadr al-Din (parfois connu sous le nom de " Pseudo-Tusi "), a écrit un livre sur le sujet en 1298, basé sur les pensées ultérieures de son père, qui a présenté l'un des premiers arguments en faveur d'une hypothèse non euclidienne équivalent au postulat parallèle. « Il a essentiellement révisé à la fois le système euclidien d'axiomes et de postulats et les preuves de nombreuses propositions des Éléments . Son travail a été publié à Rome en 1594 et a été étudié par les géomètres européens. Cet ouvrage marque le point de départ du travail de Saccheri sur le sujet qui s'ouvre sur une critique de l'œuvre de Sadr al-Din et de l'œuvre de Wallis.

Giordano Vitale (1633-1711), dans son livre Euclide restituo (1680, 1686), a utilisé le quadrilatère Khayyam-Saccheri pour prouver que si trois points sont équidistants sur la base AB et le sommet CD, alors AB et CD sont partout équidistants. Girolamo Saccheri (1667-1733) a approfondi le même raisonnement, obtenant correctement l'absurdité du cas obtus (en procédant, comme Euclide, à partir de l'hypothèse implicite que les lignes peuvent être prolongées indéfiniment et avoir une longueur infinie), mais sans réfuter le cas aigu (bien qu'il ait réussi à se persuader à tort qu'il l'avait fait).

En 1766, Johann Lambert écrivit, mais ne publia pas, Theorie der Parallellinien dans laquelle il tenta, comme Saccheri, de prouver le cinquième postulat. Il a travaillé avec une figure que nous appelons aujourd'hui un quadrilatère de Lambert , un quadrilatère à trois angles droits (peut être considéré comme la moitié d'un quadrilatère de Saccheri). Il élimina rapidement la possibilité que le quatrième angle soit obtus, comme l'avaient fait Saccheri et Khayyam, puis procéda à la démonstration de nombreux théorèmes sous l'hypothèse d'un angle aigu. Contrairement à Saccheri, il n'a jamais senti qu'il avait atteint une contradiction avec cette hypothèse. Il avait prouvé le résultat non euclidien selon lequel la somme des angles d'un triangle augmente à mesure que l'aire du triangle diminue, ce qui l'a amené à spéculer sur la possibilité d'un modèle du cas aigu sur une sphère de rayon imaginaire. Il ne poussa pas plus loin cette idée.

Là où Khayyam et Saccheri avaient tenté de prouver la cinquième d'Euclide en réfutant les seules alternatives possibles, le XIXe siècle a finalement vu des mathématiciens explorer ces alternatives et découvrir les géométries logiquement cohérentes qui en résultent. En 1829, Nikolai Ivanovich Lobatchevsky publia un compte rendu de géométrie aiguë dans un obscur journal russe (republié plus tard en 1840 en allemand). En 1831, János Bolyai a inclus, dans un livre de son père, une annexe décrivant la géométrie aiguë, qu'il avait sans doute développée indépendamment de Lobatchevsky. Carl Friedrich Gauss avait également étudié le problème, mais il n'a publié aucun de ses résultats. Après avoir entendu les résultats de Bolyai dans une lettre du père de Bolyai, Farkas Bolyai , Gauss a déclaré :

« Si je commençais par dire que je suis incapable de louer cet ouvrage, vous seriez certainement surpris un instant. Mais je ne peux pas dire le contraire. Le louer serait me louer moi-même. par votre fils, les résultats auxquels il est conduit coïncident presque entièrement avec mes méditations, qui m'occupent en partie depuis trente ou trente-cinq ans.

Les géométries résultantes ont ensuite été développées par Lobatchevsky , Riemann et Poincaré en géométrie hyperbolique (le cas aigu) et en géométrie elliptique (le cas obtus). L' indépendance du postulat parallèle des autres axiomes d'Euclide a finalement été démontrée par Eugenio Beltrami en 1868.

L'inverse du postulat parallèle d'Euclide

L'inverse du postulat parallèle : Si la somme des deux angles intérieurs est égale à 180°, alors les droites sont parallèles et ne se couperont jamais.

Euclide n'a pas postulé la réciproque de son cinquième postulat, qui est une façon de distinguer la géométrie euclidienne de la géométrie elliptique . Les Éléments contiennent la preuve d'un énoncé équivalent (Livre I, Proposition 27) : Si une droite tombant sur deux droites rend les angles alternés égaux l'un à l'autre, les droites seront parallèles l'une à l'autre. Comme De Morgan l'a souligné, ceci est logiquement équivalent à (Livre I, Proposition 16). Ces résultats ne dépendent pas du cinquième postulat, mais ils nécessitent le deuxième postulat qui est violé en géométrie elliptique.

Critique

Les tentatives de prouver logiquement le postulat parallèle, plutôt que le huitième axiome, ont été critiquées par Arthur Schopenhauer dans The World as Will and Idea . Cependant, l'argument utilisé par Schopenhauer était que le postulat est évident par perception, non pas qu'il n'était pas une conséquence logique des autres axiomes.

Décomposition du postulat parallèle

Le postulat parallèle est équivalent, comme indiqué dans, à la conjonction du Lotschnittaxiom et de l'axiome d' Aristote . Le premier indique que les perpendiculaires aux côtés d'un angle droit se coupent, tandis que le second indique qu'il n'y a pas de limite supérieure pour les longueurs des distances entre la jambe d'un angle et l'autre jambe. Comme montré dans, le postulat parallèle est équivalent à la conjonction des formes géométriques incidences suivantes du Lotschnittaxiom et de l'axiome d' Aristote :

Étant donné trois lignes parallèles, il y a une ligne qui les coupe toutes les trois.

Étant donné une droite a et deux droites sécantes distinctes m et n, chacune différente de a, il existe une droite g qui coupe a et m, mais pas n.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes

Eder, Michelle (2000), Vues du postulat parallèle d'Euclide dans la Grèce antique et dans l'Islam médiéval , Université Rutgers , récupéré le 2008-01-23