Fonction partielle - Partial function

En mathématiques , une fonction partielle f d'un ensemble X à un ensemble Y est une fonction d'un sous - ensemble S de X (éventuellement X lui-même) à Y . Le sous-ensemble S , c'est-à-dire le domaine de f vu comme une fonction, est appelé domaine de définition de f . Si S est égal à X , c'est-à-dire si f est défini sur chaque élément de X , alors f est dit total .

Plus techniquement, une fonction partielle est une relation binaire sur deux ensembles qui associe chaque élément du premier ensemble à au plus un élément du second ensemble ; c'est donc une relation binaire fonctionnelle . Il généralise le concept de fonction (totale) en n'exigeant pas que chaque élément du premier ensemble soit associé à exactement un élément du deuxième ensemble.

Une fonction partielle est souvent utilisée lorsque son domaine exact de définition n'est pas connu ou difficile à spécifier. C'est le cas en calcul , où, par exemple, le quotient de deux fonctions est une fonction partielle dont le domaine de définition ne peut pas contenir les zéros du dénominateur. Pour cette raison, en calcul, et plus généralement en analyse mathématique , une fonction partielle est généralement appelée simplement une fonction . Dans la théorie de la calculabilité , une fonction récursive générale est une fonction partielle des entiers aux entiers; pour beaucoup d'entre eux, aucun algorithme ne peut exister pour décider si elles sont en fait totales.

Lorsque la notation fléchée est utilisée pour les fonctions, une fonction partielle de à est parfois écrite sous la forme f : X ⇸ Y , ou Cependant, il n'y a pas de convention générale, et cette dernière notation est plus couramment utilisée pour les fonctions injectives .. ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$ ${\displaystyle f:X\nrightarrow Y,}$${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

Plus précisément, pour une fonction partielle et toute personne a soit : ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$${\style d'affichage x\dans X,}$

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$(c'est un élément unique dans Y ), ou
• ${\style d'affichage f(x)}$ est indéfini.

Par exemple, si la fonction racine carrée est restreinte aux entiers${\style d'affichage f}$

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,}$ Défini par:

${\style d'affichage f(n)=m}$ si et seulement si, ${\style d'affichage m^{2}=n,}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,}$

then n'est défini que si est un carré parfait (c'est-à-dire ). Donc, mais n'est pas défini. ${\style d'affichage f(n)}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage 0,1,4,9,16,\ldots }$${\style d'affichage f(25)=5}$${\style d'affichage f(26)}$

Concepts de base

Un exemple de fonction partielle qui est injective .

Un exemple de fonction qui n'est pas injective.

Une fonction partielle est dite injective , surjective ou bijective lorsque la fonction donnée par la restriction de la fonction partielle à son domaine de définition est respectivement injective, surjective, bijective.

Parce qu'une fonction est trivialement surjective lorsqu'elle est restreinte à son image, le terme bijection partielle désigne une fonction partielle qui est injective.

Une fonction partielle injective peut être inversée en fonction partielle injective, et une fonction partielle qui est à la fois injective et surjective a une fonction injective comme inverse. De plus, une fonction injective peut être inversée en une fonction partielle injective.

La notion de transformation peut également être généralisée aux fonctions partielles. Une transformation partielle est une fonction où les deux et sont des sous - ensembles d'un ensemble${\displaystyle f:A\rightharpoonup B,}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage X.}$

Une fonction

Une fonction est une relation binaire fonctionnelle (également appelée univoque à droite) et sérielle (également appelée total à gauche). C'est une définition plus forte que celle d'une fonction partielle qui ne nécessite que la propriété fonctionnelle.

Espaces fonctionnels

L'ensemble de toutes les fonctions partielles d'un ensemble à un ensemble noté est l'union de toutes les fonctions définies sur des sous-ensembles de même codomaine : ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y,}$${\displaystyle [X\rightharpoonup Y],}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq {X}}[D\to Y],}$

ce dernier également écrit comme Dans le cas fini, sa cardinalité est ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$

${\displaystyle |[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},}$

car toute fonction partielle peut être étendue à une fonction par toute valeur fixe non contenue dans de sorte que le codomaine est une opération injective (unique et inversible par restriction). ${\style d'affichage c}$${\style d'affichage Y,}$${\displaystyle Y\cup \{c\},}$

Discussion et exemples

Le premier diagramme en haut de l'article représente une fonction partielle qui n'est pas une fonction puisque l'élément 1 dans l'ensemble de gauche n'est associé à rien dans l'ensemble de droite. Alors que le deuxième diagramme représente une fonction puisque chaque élément de l'ensemble de gauche est associé à exactement un élément de l'ensemble de droite.

Un algorithme naturel

Considérez la fonction de logarithme naturel mappant les nombres réels à eux-mêmes. Le logarithme d'un réel non positif n'est pas un nombre réel, donc la fonction logarithme népérien n'associe aucun nombre réel dans le codomaine à aucun nombre réel non positif dans le domaine. Par conséquent, la fonction logarithme naturel n'est pas une fonction lorsqu'elle est considérée comme une fonction des réels à eux-mêmes, mais c'est une fonction partielle. Si le domaine est limité pour n'inclure que les réels positifs (c'est-à-dire si la fonction de logarithme népérien est considérée comme une fonction allant des réels positifs aux réels), alors le logarithme népérien est une fonction.

Soustraction de nombres naturels

La soustraction de nombres naturels ( entiers non négatifs ) peut être considérée comme une fonction partielle :

${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N} }$

${\style d'affichage f(x,y)=xy.}$

Il n'est défini que lorsque ${\displaystyle x\geq y.}$

Élément inférieur

En sémantique dénotationnelle, une fonction partielle est considérée comme renvoyant l' élément du bas lorsqu'elle n'est pas définie.

En informatique, une fonction partielle correspond à un sous-programme qui lève une exception ou boucle indéfiniment. La norme à virgule flottante IEEE définit une valeur non numérique qui est renvoyée lorsqu'une opération à virgule flottante n'est pas définie et que les exceptions sont supprimées, par exemple lorsque la racine carrée d'un nombre négatif est demandée.

Dans un langage de programmation où les paramètres de fonction sont typés statiquement , une fonction peut être définie comme une fonction partielle car le système de types du langage ne peut pas exprimer le domaine exact de la fonction, donc le programmeur lui donne à la place le plus petit domaine qui est exprimable en tant que type et contient le domaine de définition de la fonction.

En théorie des catégories

Dans la théorie des catégories , lorsque l'on considère l'opération de composition de morphisme dans des catégories concrètes , l'opération de composition est une fonction si et seulement si a un élément. La raison en est que deux morphismes et ne peuvent être composés que si c'est-à-dire que le codomaine de doit être égal au domaine de${\displaystyle \circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)}$${\displaystyle \operatorname {ob} (C)}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle g:U\to V}$${\displaystyle g\circ f}$${\style d'affichage Y=U,}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g.}$

La catégorie des ensembles et des fonctions partielles est équivalente mais non isomorphe à la catégorie des ensembles pointés et des cartes préservant les points. Un manuel note que « Cette complétion formelle d'ensembles et de cartes partielles en ajoutant des éléments « impropres », « infinis » a été réinventée à plusieurs reprises, en particulier, en topologie ( compactification en un point ) et en informatique théorique . »

La catégorie des ensembles et bijections partielles est équivalente à son dual . C'est la catégorie inverse prototypique .

En algèbre abstraite

L'algèbre partielle généralise la notion d' algèbre universelle aux opérations partielles . Un exemple serait un champ , dans lequel l'inversion multiplicative est la seule opération partielle appropriée (car la division par zéro n'est pas définie).

L'ensemble de toutes les fonctions partielles ( transformations partielles ) sur un ensemble de base donné, forme un semi-groupe régulier appelé semi -groupe de toutes les transformations partielles (ou le semi-groupe de transformations partielles sur ), généralement désigné par L'ensemble de toutes les bijections partielles sur forme l' inverse symétrique semi-groupe . ${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}.}$${\style d'affichage X}$

Cartes et atlas des collecteurs et faisceaux de fibres

Les graphiques des atlas qui spécifient la structure des variétés et des faisceaux de fibres sont des fonctions partielles. Dans le cas des variétés, le domaine est l'ensemble de points de la variété. Dans le cas des faisceaux de fibres, le domaine est l'espace du faisceau de fibres. Dans ces applications, la construction la plus importante est la carte de transition , qui est le composé d'un graphique avec l'inverse d'un autre. La classification initiale des variétés et des faisceaux de fibres est largement exprimée en termes de contraintes sur ces cartes de transition.

La raison de l'utilisation de fonctions partielles au lieu de fonctions est de permettre aux topologies globales générales d'être représentées en assemblant des patchs locaux pour décrire la structure globale. Les "patchs" sont les domaines où les graphiques sont définis.

Voir également

• Suite analytique  – Extension du domaine d'une fonction analytique (mathématiques)
• Fonction multivaluée  - Généralisation d'une fonction qui peut produire plusieurs sorties pour chaque entrée
• Opérateur densément défini  - Fonction qui est définie presque partout (mathématiques)

Les références

• Martin Davis (1958), Calculabilité et insolvabilité , McGraw-Hill Book Company, Inc, New York. Réédité par Douvres en 1982. ISBN  0-486-61471-9 .
• Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Pays-Bas, 10e tirage avec des corrections ajoutées au 7e tirage (1974). ISBN  0-7204-2103-9 .
• Harold S. Stone (1972), Introduction à l'organisation informatique et aux structures de données , McGraw-Hill Book Company, New York.