Propriété d'ensemble parfaite - Perfect set property

Dans la théorie descriptive des ensembles , un sous - ensemble d'un espace polonais a la propriété d'ensemble parfait s'il est dénombrable ou s'il a un sous- ensemble parfait non vide (Kechris 1995, p. 150). Notez qu'avoir la propriété d'ensemble parfait n'est pas la même chose qu'être un ensemble parfait .

Comme les ensembles parfaits non vides dans un espace polonais ont toujours la cardinalité du continuum et que les réels forment un espace polonais, un ensemble de réels avec la propriété d'ensemble parfait ne peut pas être un contre - exemple à l' hypothèse du continu , énoncée sous la forme que chaque ensemble indénombrable des réels a la cardinalité du continuum.

Le théorème de Cantor-Bendixson stipule que les ensembles fermés d'un espace polonais X ont la propriété d'ensemble parfait sous une forme particulièrement forte: tout sous-ensemble fermé de X peut être écrit uniquement comme l' union disjointe d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable. En particulier, chaque espace polonais innombrable a la propriété d'ensemble parfait, et peut être écrit comme l'union disjointe d'un ensemble parfait et d'un ensemble ouvert dénombrable.

L' axiome du choix implique l'existence d'ensembles de réels qui n'ont pas la propriété d'ensemble parfait, tels que les ensembles de Bernstein . Cependant, dans le modèle de Solovay , qui satisfait tous les axiomes de ZF mais pas l'axiome de choix, chaque ensemble de réels a la propriété d'ensemble parfaite, donc l'utilisation de l'axiome de choix est nécessaire. Chaque ensemble analytique a la propriété d'ensemble parfaite. Il résulte de l'existence de cardinaux suffisamment grands que chaque ensemble projectif a la propriété d'ensemble parfaite.

Les références

  • Kechris, AS (1995), Théorie des ensembles descriptifs classiques , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9