Permutation (musique) - Permutation (music)
En musique , une permutation ( ordre ) d'un ensemble est tout ordre des éléments de cet ensemble. Un arrangement spécifique d'un ensemble d'entités discrètes, ou de paramètres , tels que la hauteur , la dynamique ou le timbre . Différentes permutations peuvent être liées par transformation , par l'application de zéro ou de plusieurs opérations , telles que la transposition , l' inversion , la rétrogradation , la permutation circulaire (également appelée rotation ) ou les opérations multiplicatives (telles que les transformations du cycle des quarts et du cycle des quintes ). Ceux-ci peuvent produire des réorganisations des membres de l'ensemble, ou peuvent simplement mapper l'ensemble sur lui-même.
L'ordre est particulièrement important dans les théories des techniques de composition originaires du 20e siècle telles que la technique dodécaphonique et le sérialisme . Les techniques analytiques telles que la théorie des ensembles prennent soin de faire la distinction entre les collections ordonnées et non ordonnées. Dans la théorie traditionnelle, les concepts tels que l' harmonisation et la forme incluent l'ordre ; par exemple, de nombreuses formes musicales, telles que le rondo , sont définies par l'ordre de leurs sections.
Les permutations résultant de l'application des opérations d' inversion ou de rétrograde sont classées en tant qu'inversions et rétrogrades de la forme première , respectivement. L'application à la fois de l' inversion et de la rétrogradation à une forme première produit ses inversions rétrogrades , considérées comme un type distinct de permutation.
La permutation peut également être appliquée à des ensembles plus petits. Cependant, les opérations de transformation de ces ensembles plus petits n'entraînent pas nécessairement la permutation de l'ensemble d'origine. Voici un exemple de non-permutation des trichords, en utilisant la rétrogradation, l' inversion, et d'inversion de rétrograde, combiné dans chaque cas avec la transposition, que l'on trouve à l'intérieur de la rangée de tonalité (ou une série de douze tons) de Anton Webern de Concerto :
Si les trois premières notes sont considérées comme la cellule "originale", alors les 3 suivantes sont son inversion rétrograde transposée (vers l'arrière et à l'envers), les trois suivantes sont la rétrograde transposée (vers l'arrière), et les 3 dernières sont son inversion transposée (à l'envers).
Toutes les séries premières n'ont pas le même nombre de variations car les transformations transposées et inverses d'une rangée de tons peuvent être identiques, phénomène assez rare : moins de 0,06 % de toutes les séries admettent 24 formes au lieu de 48.
Une technique facilitant la permutation de douze tons est l'utilisation de valeurs numériques correspondant à des lettres musicales. La première note du premier des nombres premiers, en fait le zéro premier (couramment confondu avec le premier), est représentée par 0. Le reste des nombres est compté par demi-pas de telle sorte que : B = 0, C = 1, C ♯ / D ♭ = 2, D = 3, D ♯ / E ♭ = 4, E = 5, F = 6, F ♯ / G ♭ = 7, G = 8, G ♯ / A ♭ = 9, A = 10 et A ♯ / B ♭ = 11.
Le zéro premier est récupéré entièrement par le choix du compositeur. Pour recevoir le rétrograde d'un nombre premier donné, les nombres sont simplement réécrits à l'envers. Pour recevoir l' inversion de n'importe quel nombre premier, chaque valeur numérique est soustraite de 12 et le nombre résultant placé dans la cellule de la matrice correspondante (voir technique des douze tons ). L' inversion rétrograde correspond aux valeurs des nombres d'inversion lues à l'envers.
Par conséquent:
Un zéro premier donné (dérivé des notes du Concerto d'Anton Webern) :
0, 11, 3, 4, 8, 7, 9, 5, 6, 1, 2, 10
Le rétrograde :
10, 2, 1, 6, 5, 9, 7, 8, 4, 3, 11, 0
L'inversion :
0, 1, 9, 8, 4, 5, 3, 7, 6, 11, 10, 2
L'inversion rétrograde :
2, 10, 11, 6, 7, 3, 5, 4, 8, 9, 1, 0
Plus généralement, une permutation musicale est toute réorganisation de la forme première d'un ensemble ordonné de classes de hauteurs ou, en ce qui concerne les rangées de douze tons, toute réorganisation de l' ensemble constitué des nombres entiers modulo 12. À cet égard, une permutation musicale la permutation est une permutation combinatoire des mathématiques telles qu'elles s'appliquent à la musique. Les permutations ne sont en aucun cas limitées aux musiques sérielles et atonales dodécaphoniques, mais sont tout aussi bien utilisées dans les mélodies tonales surtout au cours des XXe et XXIe siècles, notamment dans les Variations de Rachmaninov sur le thème de Paganini pour orchestre et piano.
La permutation cyclique (également appelée rotation ) est le maintien de l'ordre d'origine de la rangée de sons, le seul changement étant la classe de hauteur initiale , l'ordre d'origine suivant. Un ensemble secondaire peut être considéré comme une permutation cyclique commençant sur le sixième membre d'une rangée combinatoire hexacorde. La rangée de tons de la suite lyrique de Berg , par exemple, est réalisée de manière thématique puis cycliquement permutée (0 est en gras pour référence):
5 4 0 9 7 2 8 1 3 6 t e 3 6 t e 5 4 0 9 7 2 8 1
Voir également
- Changer de sonnerie
- Contrepoint
- Identité (musique)
- Ordre (mathématiques)
- Théorie des ensembles (musique)