Phonon - Phonon

En physique , un phonon est une excitation collective dans un arrangement périodique et élastique d' atomes ou de molécules dans la matière condensée , en particulier dans les solides et certains liquides . Souvent appelée quasiparticule , il s'agit d'un état excité dans la quantification mécanique quantique des modes de vibrations pour les structures élastiques de particules en interaction. Les phonons peuvent être considérés comme des ondes sonores quantifiées , similaires aux photons comme des ondes lumineuses quantifiées .

L'étude des phonons est une partie importante de la physique de la matière condensée. Ils jouent un rôle majeur dans de nombreuses propriétés physiques des systèmes de matière condensée, telles que la conductivité thermique et la conductivité électrique , ainsi qu'un rôle fondamental dans les modèles de diffusion des neutrons et les effets associés.

Le concept de phonons a été introduit en 1932 par le physicien soviétique Igor Tamm . Le nom phonon vient du mot grec φωνή ( phonē ), qui se traduit par son ou voix , car les phonons à grande longueur d'onde donnent naissance au son . Le nom est analogue au mot photon .

Définition

Un phonon est la description mécanique quantique d'un mouvement vibrationnel élémentaire dans lequel un réseau d'atomes ou de molécules oscille uniformément à une fréquence unique . En mécanique classique, cela désigne un mode normal de vibration. Les modes normaux sont importants car toute vibration de réseau arbitraire peut être considérée comme une superposition de ces modes de vibration élémentaires (cf. analyse de Fourier ). Alors que les modes normaux sont des phénomènes ondulatoires en mécanique classique, les phonons ont également des propriétés semblables à celles des particules , d'une manière liée à la dualité onde-particule de la mécanique quantique.

Dynamique du réseau

Les équations de cette section n'utilisent pas les axiomes de la mécanique quantique mais utilisent plutôt des relations pour lesquelles il existe une correspondance directe en mécanique classique.

Par exemple : un réseau cristallin régulier rigide (non amorphe ) est composé de N particules. Ces particules peuvent être des atomes ou des molécules. N est un grand nombre, disons de l'ordre de 10 23 , ou de l'ordre du nombre d'Avogadro pour un échantillon typique d'un solide. Comme le réseau est rigide, les atomes doivent exercer des forces les uns sur les autres pour maintenir chaque atome près de sa position d'équilibre. Ces forces peuvent être des forces de Van der Waals , des liaisons covalentes , des attractions électrostatiques et autres, qui sont toutes dues en fin de compte à la force électrique . Les forces magnétiques et gravitationnelles sont généralement négligeables. Les forces entre chaque paire d'atomes peuvent être caractérisées par une fonction d' énergie potentielle V qui dépend de la distance de séparation des atomes. L'énergie potentielle de l'ensemble du réseau est la somme de toutes les énergies potentielles par paires multipliée par un facteur de 1/2 pour compenser le double comptage :

r i est la position de la i ème atome, et V est le potentiel énergétique entre deux atomes.

Il est difficile de résoudre explicitement ce problème à N corps en mécanique classique ou quantique. Afin de simplifier la tâche, deux approximations importantes sont généralement imposées. Premièrement, la somme n'est effectuée que sur les atomes voisins. Bien que les forces électriques dans les solides réels s'étendent à l'infini, cette approximation est toujours valable car les champs produits par les atomes distants sont efficacement masqués . Deuxièmement, les potentiels V sont traités comme des potentiels harmoniques . Ceci est permis tant que les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. Formellement, ceci est accompli en élargissant V autour de sa valeur d'équilibre à l'ordre quadratique, donnant V proportionnel au déplacement x 2 et la force élastique simplement proportionnelle à x . L'erreur en ignorant les termes d'ordre supérieur reste faible si x reste proche de la position d'équilibre.

Le réseau résultant peut être visualisé comme un système de billes reliées par des ressorts. La figure suivante montre un réseau cubique, qui est un bon modèle pour de nombreux types de solides cristallins. D'autres réseaux comprennent une chaîne linéaire, qui est un réseau très simple que nous utiliserons bientôt pour modéliser les phonons. (Pour d'autres réseaux communs, voir la structure cristalline .)

Cubique.svg

L'énergie potentielle du réseau peut maintenant être écrite comme

Ici, ω est la fréquence naturelle des potentiels harmoniques, qui sont supposés être les mêmes depuis le réseau est régulier. R i est la position coordonnée du i ème atome, que nous mesurons maintenant de sa position d'équilibre. La somme sur les voisins les plus proches est notée (nn).

Ondes en treillis

Phonon se propageant à travers un réseau carré (déplacements atomiques fortement exagérés)

En raison des connexions entre les atomes, le déplacement d'un ou plusieurs atomes de leurs positions d'équilibre donne lieu à un ensemble d' ondes de vibration se propageant à travers le réseau. Une telle vague est montrée dans la figure à droite. L' amplitude de l'onde est donnée par les déplacements des atomes à partir de leurs positions d'équilibre. La longueur d' onde λ est marquée.

Il existe une longueur d'onde minimale possible, donnée par le double de la séparation d'équilibre a entre les atomes. Toute longueur d' onde plus courte que cela peut être mis en correspondance sur une longueur d' onde supérieure 2 un , en raison de la périodicité du réseau. Cela peut être considéré comme une conséquence du théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon , les points du réseau sont considérés comme les « points d'échantillonnage » d'une onde continue.

Toutes les vibrations de réseau possibles n'ont pas une longueur d'onde et une fréquence bien définies. Cependant, les modes normaux possèdent des longueurs d'onde et des fréquences bien définies .

Réseau unidimensionnel

Animation montrant les 6 premiers modes normaux d'un réseau unidimensionnel : une chaîne linéaire de particules. La longueur d'onde la plus courte est en haut, avec des longueurs d'onde progressivement plus longues en dessous. Dans les lignes les plus basses, le mouvement des vagues vers la droite peut être vu.

Afin de simplifier l'analyse nécessaire pour un réseau d'atomes en 3 dimensions, il est pratique de modéliser un réseau ou une chaîne linéaire en 1 dimension. Ce modèle est suffisamment complexe pour afficher les principales caractéristiques des phonons.

Traitement classique

Les forces entre les atomes sont supposées linéaires et les plus proches, et elles sont représentées par un ressort élastique. Chaque atome est supposé être une particule ponctuelle et le noyau et les électrons se déplacent par pas ( théorème adiabatique ):

n - 1 n n + 1 ← une        

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++ ++o++++++o++++++o···

→→   →→→
u n − 1 u n u n + 1  

n désigne le n ième atome sur un total de N , a est la distance entre les atomes lorsque la chaîne est en équilibre, et u n le déplacement du n ième atome de sa position d'équilibre.

Si C est la constante élastique du ressort et m la masse de l'atome, alors l'équation du mouvement du n ième atome est

Il s'agit d'un ensemble d'équations couplées.

Puisque les solutions sont censées être oscillantes, de nouvelles coordonnées sont définies par une transformée de Fourier discrète , afin de les découpler.

Mettre

Ici, na correspond et est dévolu à la variable continue x de la théorie des champs scalaires. Le Q k sont connus comme les coordonnées normales , les modes de champ de continuum de k .

La substitution dans l'équation du mouvement produit les équations découplées suivantes (cela nécessite une manipulation importante utilisant les relations d'orthonormalité et de complétude de la transformée de Fourier discrète,

Ce sont les équations des oscillateurs harmoniques découplés qui ont la solution

Chaque coordonnée normale Q k représente un mode vibrationnel indépendant du réseau avec le nombre d'onde k , qui est connu sous le nom de mode normal .

La deuxième équation, pour ω k , est connue comme la relation de dispersion entre la fréquence angulaire et du nombre d' onde .

Dans la limite du continuum, a →0, N →∞, avec Na maintenu fixe, u nφ ( x ) , un champ scalaire, et . Cela revient à la théorie classique des champs scalaires libres , un assemblage d'oscillateurs indépendants.

Traitement quantique

Une chaîne harmonique de mécanique quantique à une dimension est constituée de N atomes identiques. C'est le modèle de mécanique quantique le plus simple d'un réseau qui permet aux phonons d'en sortir. Le formalisme de ce modèle est facilement généralisable à deux et trois dimensions.

Contrairement à la section précédente, les positions des masses ne sont pas désignées par u i , mais, à la place, par x 1 , x 2 …, telles que mesurées à partir de leurs positions d'équilibre (c'est-à-dire x i  = 0 si la particule i est à son position d'équilibre.) Dans deux dimensions ou plus, les x i sont des quantités vectorielles. L' hamiltonien de ce système est

m est la masse de chaque atome ( en supposant qu'elle est égale pour tous), et x i et p i sont la position et la quantité de mouvement des opérateurs, respectivement, pour le i ème atome et la somme est faite sur les voisins les plus proches (nn). Cependant on s'attend à ce que dans un réseau il puisse aussi apparaître des ondes qui se comportent comme des particules. Il est d'usage de traiter les ondes dans l'espace de Fourier qui utilise les modes normaux du vecteur d' onde comme variables à la place des coordonnées des particules. Le nombre de modes normaux est le même que le nombre de particules. Cependant, l' espace de Fourier est très utile compte tenu de la périodicité du système.

Un ensemble de N « coordonnées normales » Q k peut être introduite, définie comme étant les transformées de Fourier discrètes de x k et N « conjugué impulsions » Π k défini comme étant la transformée de Fourier de la p k :

La quantité k n se révèle être le nombre d' onde du phonon, soit 2 π divisé par la longueur d' onde .

Ce choix conserve les relations de commutation souhaitées soit dans l'espace réel, soit dans l'espace des vecteurs d'onde

Du résultat général

Le terme d'énergie potentielle est

L'hamiltonien peut s'écrire dans l'espace des vecteurs d'onde sous la forme

Les couplages entre les variables de position ont été transformés ; si le Q et Π sont hermitienne (qui ne sont pas), l'hamiltonien transformé décrirait N désaccouplé oscillateurs harmoniques.

La forme de la quantification dépend du choix des conditions aux limites ; pour plus de simplicité, des conditions aux limites périodiques sont imposées, définissant le ( N  + 1)ème atome comme équivalent au premier atome. Physiquement, cela correspond à rejoindre la chaîne à ses extrémités. La quantification résultante est

La limite supérieure de n provient de la longueur d'onde minimale, qui est le double de l'espacement de réseau a , comme discuté ci-dessus.

Les valeurs propres ou niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique pour le mode ω k sont :

Les niveaux sont régulièrement espacés à :

1/2ħω est l' énergie du point zéro d'un oscillateur harmonique quantique .

Une exacte quantité d' énergie ħω doit être fournie au réseau de l' oscillateur harmonique pour pousser au prochain niveau d'énergie. Par rapport au cas du photon lorsque le champ électromagnétique est quantifié, le quantum d'énergie vibrationnelle est appelé phonon.

Tous les systèmes quantiques présentent simultanément des propriétés ondulatoires et particulaires. Les propriétés de type particule du phonon sont mieux comprises en utilisant les méthodes de deuxième quantification et les techniques d'opérateur décrites plus loin.

Treillis tridimensionnel

Ceci peut être généralisé à un réseau tridimensionnel. Le nombre d'onde k est remplacé par un vecteur d'onde tridimensionnel k . De plus, chaque k est maintenant associé à trois coordonnées normales.

Les nouveaux indices s = 1, 2, 3 marquent la polarisation des phonons. Dans le modèle unidimensionnel, les atomes étaient limités à se déplacer le long de la ligne, de sorte que les phonons correspondaient à des ondes longitudinales . En trois dimensions, les vibrations ne se limitent pas à la direction de propagation, et peuvent également se produire dans les plans perpendiculaires, comme les ondes transversales . Cela donne lieu aux coordonnées normales supplémentaires, que, comme l'indique la forme de l'hamiltonien, nous pouvons considérer comme des espèces indépendantes de phonons.

Relation de dispersion

Courbes de dispersion en chaîne diatomique linéaire
Vibrations optiques et acoustiques dans une chaîne diatomique linéaire.
Relation de dispersion ω  =  ω ( k ) pour certaines ondes correspondant à des vibrations de réseau dans GaAs.

Pour un réseau alternatif unidimensionnel de deux types d'ions ou d'atomes de masse m 1 , m 2 répétés périodiquement à une distance a , reliés par des ressorts de constante de rappel K , il en résulte deux modes de vibration :

k est le vecteur d'onde de la vibration lié à sa longueur d'onde par .

La connexion entre la fréquence et vecteur d' onde, ω  =  ω ( k ), est connue comme une relation de dispersion . Le signe plus correspond au mode dit optique et le signe moins au mode acoustique . Dans le mode optique, deux atomes différents adjacents se déplacent l'un contre l'autre, tandis que dans le mode acoustique, ils se déplacent ensemble.

La vitesse de propagation d'un phonon acoustique, qui est aussi la vitesse du son dans le réseau, est donnée par la pente de la relation de dispersion acoustique,Les touches ∂ co k/k(voir vitesse de groupe .) Aux faibles valeurs de k (c'est-à-dire aux grandes longueurs d'onde), la relation de dispersion est presque linéaire et la vitesse du son est d'environ ωa , indépendante de la fréquence du phonon. En conséquence, des paquets de phonons avec des longueurs d'onde différentes (mais longues) peuvent se propager sur de grandes distances à travers le réseau sans se séparer. C'est la raison pour laquelle le son se propage à travers les solides sans distorsion significative. Ce comportement échoue aux grandes valeurs de k , c'est-à-dire aux courtes longueurs d'onde, en raison des détails microscopiques du réseau.

Pour un cristal qui a au moins deux atomes dans sa cellule primitive , les relations de dispersion présentent deux types de phonons, à savoir les modes optique et acoustique correspondant respectivement à la courbe supérieure bleue et inférieure rouge du diagramme. L'axe vertical est l'énergie ou la fréquence du phonon, tandis que l'axe horizontal est le vecteur d'onde . Les limites à −??/une et ??/unesont ceux de la première zone Brillouin . Un cristal avec N  2 atomes différents dans la cellule primitive présente trois modes acoustiques : un mode acoustique longitudinal et deux modes acoustiques transverses . Le nombre de modes optiques est de 3 N  – 3. La figure du bas montre les relations de dispersion pour plusieurs modes de phonons dans GaAs en fonction du vecteur d'onde k dans les directions principales de sa zone Brillouin.

De nombreuses courbes de dispersion des phonons ont été mesurées par diffusion inélastique des neutrons .

La physique du son dans les fluides diffère de la physique du son dans les solides, bien que les deux soient des ondes de densité : les ondes sonores dans les fluides n'ont que des composantes longitudinales, tandis que les ondes sonores dans les solides ont des composantes longitudinales et transversales. En effet, les fluides ne peuvent pas supporter les contraintes de cisaillement (mais voir les fluides viscoélastiques , qui ne s'appliquent qu'aux hautes fréquences).

Interprétation des phonons à l'aide de techniques de deuxième quantification

L'hamiltonien dérivé ci-dessus peut ressembler à une fonction hamiltonienne classique, mais s'il est interprété comme un opérateur , alors il décrit une théorie quantique des champs de bosons sans interaction . La deuxième technique de quantification , similaire à la méthode de l' opérateur en échelle utilisée pour les oscillateurs harmoniques quantiques , est un moyen d'extraire les valeurs propres de l' énergie sans résoudre directement les équations différentielles. Étant donné l'hamiltonien, , ainsi que la position conjuguée, , et l'impulsion conjuguée définis dans la section traitement quantique ci-dessus, nous pouvons définir les opérateurs de création et d'annihilation :

  et  

Les commutateurs suivants peuvent être facilement obtenus en substituant dans la relation de commutation canonique :

Avec cela, les opérateurs b k et b k peuvent être inversées pour redéfinir la position conjuguée et l' élan que:

  et  

En substituant directement ces définitions pour et dans l'hamiltonien de l'espace des vecteurs d'onde, tel qu'il est défini ci-dessus, et en simplifiant ensuite, l'hamiltonien prend la forme :

Ceci est connu comme la deuxième technique de quantification, également connu sous le nom de formulation nombre d'occupation, où n k = b kb k est le nombre d'occupation. Cela peut être considéré comme une somme de N oscillateurs indépendants Hamiltonians, chacun avec un vecteur d'onde unique et compatible avec les méthodes utilisées pour l'oscillateur harmonique quantique (note que n k est hermitienne ). Lorsqu'un hamiltonien peut être écrit comme une somme de sous-hamiltoniens commutants, les états propres d'énergie seront donnés par les produits des états propres de chacun des sous-hamiltoniens séparés. Le spectre d' énergie correspondant est alors donné par la somme des valeurs propres individuelles des sous-hamiltoniens.

Comme pour l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que b k et b k créent et détruisent respectivement un seul champ d'excitation, un phonon, d'énergie ħω k .

Trois propriétés importantes des phonons peuvent être déduites de cette technique. Premièrement, les phonons sont des bosons , car un nombre quelconque d'excitations identiques peut être créé par application répétée de l'opérateur de création b k . Deuxièmement, chaque phonon est un "mode collectif" provoqué par le mouvement de chaque atome du réseau. Cela peut être vu du fait que les opérateurs de création et d'annihilation, définis ici dans l'espace de quantité de mouvement, contiennent des sommes sur les opérateurs de position et de quantité de mouvement de chaque atome lorsqu'ils sont écrits dans l'espace de position (Voir espace de position et de quantité de mouvement ). Enfin, en utilisant la fonction de corrélation position-position , on peut montrer que les phonons agissent comme des ondes de déplacement du réseau.

Cette technique est facilement généralisable à trois dimensions, où l'hamiltonien prend la forme :

Ce qui peut être interprété comme la somme de 3N hamiltoniens d'oscillateurs indépendants, un pour chaque vecteur d'onde et polarisation.

Phonons acoustiques et optiques

Les solides avec plus d'un atome dans la plus petite maille élémentaire présentent deux types de phonons : les phonons acoustiques et les phonons optiques.

Les phonons acoustiques sont des mouvements cohérents d'atomes du réseau hors de leurs positions d'équilibre. Si le déplacement se fait dans le sens de la propagation, alors dans certaines zones les atomes seront plus proches, dans d'autres plus éloignés, comme dans une onde sonore dans l'air (d'où le nom acoustique). Le déplacement perpendiculaire à la direction de propagation est comparable aux ondes sur une corde. Si la longueur d'onde des phonons acoustiques tend vers l'infini, cela correspond à un simple déplacement de l'ensemble du cristal, et cela ne coûte aucune énergie de déformation. Les phonons acoustiques présentent une relation linéaire entre la fréquence et le vecteur d'onde des phonons pour les grandes longueurs d'onde. Les fréquences des phonons acoustiques tendent vers zéro avec une longueur d'onde plus longue. Les phonons acoustiques longitudinaux et transversaux sont souvent abrégés en phonons LA et TA, respectivement.

Les phonons optiques sont des mouvements déphasés des atomes dans le réseau, un atome se déplaçant vers la gauche et son voisin vers la droite. Cela se produit si la base du réseau se compose de deux atomes ou plus. On les appelle optiques car dans les cristaux ioniques, comme le chlorure de sodium , les fluctuations de déplacement créent une polarisation électrique qui se couple au champ électromagnétique. Par conséquent, ils peuvent être excités par le rayonnement infrarouge , le champ électrique de la lumière déplacera chaque ion sodium positif dans la direction du champ et chaque ion chlorure négatif dans l'autre sens, faisant vibrer le cristal.

Les phonons optiques ont une fréquence non nulle au centre de la zone Brillouin et ne présentent aucune dispersion près de cette limite de grande longueur d'onde. En effet, ils correspondent à un mode de vibration dans lequel les ions positifs et négatifs des sites adjacents du réseau oscillent les uns contre les autres, créant un moment dipolaire électrique variant dans le temps . Les phonons optiques qui interagissent de cette manière avec la lumière sont appelés infrarouges actifs . Les phonons optiques qui sont actifs Raman peuvent également interagir indirectement avec la lumière, par diffusion Raman . Les phonons optiques sont souvent abrégés en phonons LO et TO, pour les modes longitudinal et transversal respectivement ; la séparation entre les fréquences LO et TO est souvent décrite avec précision par la relation Lyddane-Sachs-Teller .

Lorsque l'on mesure l' énergie de phonon optique expérimentalement, les fréquences de phonons optiques sont parfois indiqués dans spectroscopique nombre d' onde notation, où le symbole ω représente la fréquence ordinaire (fréquence angulaire pas), et il est exprimé en unités de cm -1 . La valeur est obtenue en divisant la fréquence par la vitesse de la lumière dans le vide . En d'autres termes, le nombre d'onde en unités cm -1 correspond à l'inverse de la longueur d' onde d'un photon dans le vide, qui a la même fréquence que le phonon mesuré.

élan de cristal

Les k-vecteurs dépassant la première zone de Brillouin (rouge) ne portent pas plus d'informations que leurs homologues (noir) de la première zone de Brillouin.

Par analogie avec les photons et les ondes de matière , les phonons ont été traités avec le vecteur d'onde k comme s'il avait une quantité de mouvement ħk , cependant, ce n'est pas strictement correct, car ħk n'est pas réellement une quantité de mouvement physique ; c'est ce qu'on appelle l' impulsion cristalline ou pseudo- impulsion . En effet, k n'est déterminé que jusqu'à l'addition de vecteurs constants (les vecteurs de réseau réciproques et leurs multiples entiers). Par exemple, dans le modèle unidimensionnel, les coordonnées normales Q et tc sont définis de telle sorte que

pour tout entier n . Un phonon de nombre d'onde k équivaut donc à une famille infinie de phonons de nombre d'onde k  ± 2 π/une, k  ± 4 π/une, et ainsi de suite. Physiquement, les vecteurs de réseau réciproques agissent comme des morceaux supplémentaires de quantité de mouvement que le réseau peut transmettre au phonon. Les électrons de Bloch obéissent à un ensemble similaire de restrictions.

Zones de Brillouin, (a) en réseau carré, et (b) en réseau hexagonal

Il est généralement pratique de considérer les vecteurs d'onde de phonons k qui ont la plus petite amplitude | k | dans leur "famille". L'ensemble de tous ces vecteurs d'onde définit la première zone de Brillouin . Des zones Brillouin supplémentaires peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées par un vecteur de réseau réciproque.

Thermodynamique

Les propriétés thermodynamiques d'un solide sont directement liées à sa structure de phonons. L'ensemble complet de tous les phonons possibles décrits par les relations de dispersion des phonons se combine dans ce que l'on appelle la densité d'états de phonons qui détermine la capacité thermique d'un cristal. De par la nature de cette distribution, la capacité calorifique est dominée par la partie haute fréquence de la distribution, tandis que la conductivité thermique est principalement le résultat de la région basse fréquence.

À la température du zéro absolu , un réseau cristallin se trouve dans son état fondamental et ne contient pas de phonons. Un réseau à une température non nulle a une énergie qui n'est pas constante, mais fluctue aléatoirement autour d'une valeur moyenne . Ces fluctuations d'énergie sont causées par des vibrations aléatoires du réseau, qui peuvent être considérées comme un gaz de phonons. Parce que ces phonons sont générés par la température du réseau, ils sont parfois appelés phonons thermiques.

Des phonons thermiques peuvent être créés et détruits par des fluctuations d'énergie aléatoires. Dans le langage de la mécanique statistique, cela signifie que le potentiel chimique d'ajout d'un phonon est nul. Ce comportement est une extension du potentiel harmonique dans le régime anharmonique. Le comportement des phonons thermiques est similaire à celui du gaz photonique produit par une cavité électromagnétique , dans laquelle des photons peuvent être émis ou absorbés par les parois de la cavité. Cette similitude n'est pas fortuite, car il s'avère que le champ électromagnétique se comporte comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques, donnant lieu au rayonnement du corps noir . Les deux gaz obéissent à la statistique de Bose-Einstein : à l'équilibre thermique et dans le régime harmonique, la probabilité de trouver des phonons ou des photons dans un état donné avec une fréquence angulaire donnée est :

ω k , s est la fréquence des phonons (ou photons) dans l'état, k B est la constante de Boltzmann et T est la température.

Tunnel de phonons

Il a été démontré que les phonons présentent un comportement de tunnel quantique (ou tunnel de phonon ) où, à travers des espaces allant jusqu'à un nanomètre de large, la chaleur peut circuler via des phonons qui "tunnelent" entre deux matériaux. Ce type de transfert de chaleur fonctionne entre des distances trop grandes pour que la conduction se produise mais trop petites pour que le rayonnement se produise et ne peut donc pas être expliqué par les modèles de transfert de chaleur classiques .

Formalisme opérateur

Le phonon Hamiltonien est donné par

En termes d' opérateurs de création et d' annihilation , ceux - ci sont donnés par

Ici, en exprimant l' hamiltonien dans le formalisme des opérateurs, nous n'avons pas pris en compte le1/2ħω q terme, étant donné un continuum ou réseau infini , la1/2ħω q termes s'additionneront pour donner un terme infini . Par conséquent, il est " renormalisé " en fixant le facteur de1/2ħω q à 0, en faisant valoir que la différence d'énergie est ce que nous mesurons et non sa valeur absolue. D'où le1/2Le facteur ħω q est absent dans l'expression formalisée de l'opérateur pour l' hamiltonien .

L'état fondamental, aussi appelé « état du vide », est l'état composé de l'absence de phonons. Par conséquent, l'énergie de l'état fondamental est 0. Lorsqu'un système est dans l'état | n 1 n 2 n 3 ...⟩ , on dit qu'il ya n alpha phonons de type α , où n α est le nombre d'occupation des phonons. L'énergie d'un phonon unique de type α est donné par ħω q et l'énergie totale d'un système de phonons générale est donnée par n 1 ħω 1  +  n 2 ħω 2  + .... Comme il n'y a pas de termes croisés (par exemple n 1 ħω 2 ), les phonons sont dits non-interaction. L'action des opérateurs de création et d'annihilation est donnée par :

et,

L'opérateur de création, un α crée un phonon de type α en un α annihile un. Ils sont donc respectivement les opérateurs de création et d'annihilation des phonons. De manière analogue au cas de l' oscillateur harmonique quantique , nous pouvons définir l' opérateur du nombre de particules comme

L'opérateur de nombre commute avec une chaîne de produits des opérateurs de création et d'annihilation si et seulement si le nombre d'opérateurs de création est égal au nombre d'opérateurs d'annihilation.

Comme on peut montrer que les phonons sont symétriques par échange (c'est-à-dire | α , β  =  | β , α ), ils sont considérés comme des bosons .

Non-linéarité

En plus des photons , les phonons peuvent interagir via une down-conversion paramétrique et former des états cohérents compressés .

Propriétés prévues

Des recherches récentes ont montré que les phonons et les rotons peuvent avoir une masse non négligeable et être affectés par la gravité au même titre que les particules standard. En particulier, les phonons devraient avoir une sorte de masse négative et de gravité négative. Cela peut s'expliquer par la façon dont les phonons sont connus pour se déplacer plus rapidement dans des matériaux plus denses. Parce que la partie d'un matériau pointant vers une source gravitationnelle est plus proche de l'objet, elle devient plus dense à cette extrémité. À partir de là, il est prédit que les phonons se détourneraient lorsqu'il détecterait la différence de densité, présentant les qualités d'un champ gravitationnel négatif. Bien que l'effet soit trop faible pour être mesuré, il est possible que les futurs équipements donnent de bons résultats.

Les phonons ont également été prédits pour jouer un rôle clé dans la supraconductivité dans les matériaux et la prédiction des composés supraconducteurs.

En 2019, les chercheurs ont pu isoler des phonons individuels sans les détruire pour la première fois.

Voir également

Les références

Liens externes