Numéro Pisot–Vijayaraghavan - Pisot–Vijayaraghavan number

En mathématiques , un nombre de Pisot-Vijayaraghavan , aussi appelé simplement nombre de Pisot ou nombre PV , est un nombre réel algébrique supérieur à 1 dont tous les conjugués de Galois sont inférieurs à 1 en valeur absolue . Ces nombres ont été découverts par Axel Thue en 1912 et redécouverts par GH Hardy en 1919 dans le cadre de l'approximation diophantienne . Ils sont devenus largement connus après la publication de la thèse de Charles Pisot en 1938. Ils se produisent également dans le problème d'unicité des séries de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan et Raphael Salem ont poursuivi leurs études dans les années 1940. Les nombres de Salem sont un ensemble de nombres étroitement liés.

Une propriété caractéristique des nombres PV est que leurs puissances se rapprochent des nombres entiers à un taux exponentiel. Pisot a prouvé une remarquable réciproque : si α  > 1 est un nombre réel tel que la suite

${\style d'affichage \|\alpha ^{n}\|}$

la mesure de la distance de ses puissances consécutives à l'entier le plus proche est carré sommable , ou ℓ ² , alors α est un nombre Pisot (et, en particulier, algébrique). S'appuyant sur cette caractérisation des nombres PV, Salem a montré que l'ensemble S de tous les nombres PV est fermé . Son élément minimal est une irrationalité cubique connue sous le nom de nombre plastique . On en sait beaucoup sur les points d'accumulation de S . Le plus petit d'entre eux est le nombre d' or .

Définition et propriétés

Un entier algébrique de degré n est une racine α d'un polynôme monique irréductible P ( x ) de degré n à coefficients entiers, son polynôme minimal . Les autres racines de P ( x ) sont appelés les conjugués de α . Si α  > 1 mais que toutes les autres racines de P ( x ) sont des nombres réels ou complexes de valeur absolue inférieure à 1, de sorte qu'elles se trouvent strictement à l'intérieur du cercle | x | = 1 dans le plan complexe , alors α est appelé un nombre de Pisot , numéro Pisot-Vijayaraghavan , ou simplement le numéro PV . Par exemple, le nombre d' or , φ ≈ 1,618, est un nombre entier réel quadratique qui est supérieure à 1, tandis que la valeur absolue de son conjugué, - φ ^-1 ≈ -0,618, est inférieur à 1. Par conséquent, φ est un nombre Pisot . Son polynôme minimal est x ² − x − 1.

Propriétés élémentaires

• Tout entier supérieur à 1 est un nombre PV. Inversement, tout nombre PV rationnel est un entier supérieur à 1.
• Si α est un nombre PV irrationnel dont le polynôme minimal se termine par k alors α est supérieur à | k |. Par conséquent, tous les nombres PV inférieurs à 2 sont des unités algébriques.
• Si α est un nombre PV alors ses puissances α ^{k le sont aussi} , pour tous les exposants naturels k .
• Tout corps de nombres algébriques réels K de degré n contient un nombre PV de degré n . Ce nombre est un générateur de champ. L'ensemble de tous les nombres PV de degré n dans K est fermé par multiplication.
• Étant donné une borne supérieure M et un degré n , il n'y a qu'un nombre fini de nombres PV de degré n inférieurs à M .
• Chaque nombre PV est un nombre de Perron (un nombre algébrique réel supérieur à un dont tous les conjugués ont une valeur absolue plus petite).

Propriétés diophantiennes

Le principal intérêt des nombres PV est dû au fait que leurs puissances ont une distribution très « biaisée » (mod 1). Si α est un nombre PV et λ est un entier algébrique dans le champ alors la séquence ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}$

où || x || désigne la distance entre le nombre réel x et l'entier le plus proche, s'approche de 0 à un taux exponentiel. En particulier, c'est une suite carrée sommable et ses termes convergent vers 0.

Deux énoncés inverses sont connus : ils caractérisent les nombres PV parmi tous les nombres réels et parmi les nombres algébriques (mais sous une hypothèse diophantienne plus faible).

• Supposons que α est un nombre réel supérieur à 1 et λ est un nombre réel non nul de telle sorte que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}$

Alors α est un nombre de Pisot et λ est un nombre algébrique dans le corps ( théorème de Pisot ).${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

• Supposons que α est un nombre algébrique supérieur à 1 et λ est un nombre réel non nul de telle sorte que

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\à 0,\quad n\à \infty .}$

Alors α est un nombre de Pisot et λ est un nombre algébrique dans le corps .${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Un problème de longue date de Pisot-Vijayaraghavan demande si l'hypothèse que α est algébrique peut être supprimée de la dernière déclaration. Si la réponse est affirmative, les nombres de Pisot seraient caractérisés parmi tous les nombres réels par la simple convergence de || λα ⁿ || à 0 pour un réel auxiliaire λ . On sait qu'il n'y a que dénombrable de numéros a cette propriété. Le problème est de décider si l'un d'eux est transcendantal.

Propriétés topologiques

L'ensemble de tous les nombres de Pisot est noté S . Puisque les nombres de Pisot sont algébriques, l'ensemble S est dénombrable. Raphael Salem a prouvé que cet ensemble est fermé : il contient tous ses points limites . Sa démonstration utilise une version constructive de la principale propriété diophantienne des nombres de Pisot : étant donné un nombre de Pisot α , un nombre réel λ peut être choisi tel que 0 < λ ≤ α et

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}$

Donc la norme ℓ ² de la suite || λα ⁿ || peut être délimitée par une constante indépendante uniforme de α . Dans la dernière étape de la preuve, la caractérisation de Pisot est invoquée pour conclure que la limite d'une suite de nombres de Pisot est elle-même un nombre de Pisot.

La fermeture de S implique qu'il a un élément minimal . Carl Ludwig Siegel a prouvé que c'est la racine positive de l'équation x ³ − x − 1 = 0 ( constante plastique ) et qu'elle est isolée dans S . Il a construit deux séquences de nombres de Pisot convergeant vers le nombre d'or φ par le bas et a demandé si φ est le plus petit point limite de S . Cela a été prouvé plus tard par Dufresnoy et Pisot, qui ont également déterminé tous les éléments de S qui sont inférieurs à φ ; ils n'appartiennent pas tous aux deux séquences de Siegel. Vijayaraghavan a prouvé que S a une infinité de points limites ; en fait, la suite des ensembles dérivés

${\style d'affichage S,S',S'',\ldots }$

ne se termine pas. D'autre part, l'intersection de ces ensembles est vide, ce qui signifie que le rang de Cantor-Bendixson de S est ω . Plus précisément encore, le type d'ordre de S a été déterminé. ${\displaystyle S^{(\omega )}}$

L'ensemble des nombres Salem , noté T , est intimement liée avec S . Il a été prouvé que S est contenu dans l'ensemble T' des points limites de T . Il a été conjecturé que l' union de S et T est fermée.

Irrationnels quadratiques

Si est un irrationnel quadratique il n'y a qu'un autre conjugué : , obtenu en changeant le signe de la racine carrée dans de ${\style d'affichage \alpha \,}$${\displaystyle \alpha '\,}$${\style d'affichage \alpha \,}$

${\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}$

ou de

${\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2 }}.\,}$

Ici a et D sont des entiers et dans le second cas a est impair et D est congru à 1 modulo 4.

Les conditions requises sont α  > 1 et −1 <  α ' < 1. Celles-ci sont satisfaites dans le premier cas exactement lorsque a  > 0 et soit ou . Ceux-ci sont satisfaits dans le second cas exactement quand et soit ou . ${\style d'affichage (a-1)^{2}<D<a^{2}}$${\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}$${\style d'affichage a>0}$${\style d'affichage (a-2)^{2}<D<a^{2}}$${\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}$

Ainsi, les premiers irrationnels quadratiques qui sont des nombres PV sont :

Valeur	Racine de...	Valeur numérique
${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\style d'affichage x^{2}-x-1}$	1.618033... OEIS :  A001622 (le nombre d' or )
${\style d'affichage 1+{\sqrt {2}}\,}$	${\style d'affichage x^{2}-2x-1}$	2.414213... OEIS :  A014176 (le rapport argent )
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\style d'affichage x^{2}-3x+1}$	2.618033... OEIS :  A104457
${\style d'affichage 1+{\sqrt {3}}\,}$	${\style d'affichage x^{2}-2x-2}$	2.732050... OEIS :  A090388
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\style d'affichage x^{2}-3x-1}$	3.302775... OEIS :  A098316 (le troisième moyen métallique )
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}\,}$	${\style d'affichage x^{2}-4x+2}$	3.414213...
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}}$	${\style d'affichage x^{2}-3x-2}$	3.561552.. OEIS :  A178255 .
${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}\,}$	${\style d'affichage x^{2}-4x+1}$	3.732050... OEIS :  A019973
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}}$	${\style d'affichage x^{2}-3x-3}$	3.791287... OEIS :  A090458
${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}\,}$	${\style d'affichage x^{2}-4x-1}$	4.236067... OEIS :  A098317 (la quatrième moyenne métallique)

Puissances des nombres PV

Les nombres de Pisot-Vijayaraghavan peuvent être utilisés pour générer presque des entiers : la puissance n d'un nombre de Pisot s'approche des entiers lorsque n croît. Par example,

${\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}$

Depuis et ne diffèrent que par${\style d'affichage 27379\,}$${\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}$${\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}$

${\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }$

est extrêmement proche de

${\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}$

En effet

${\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}$

Des puissances plus élevées donnent de meilleures approximations rationnelles correspondantes.

Cette propriété vient du fait que pour chaque n , la somme des n ièmes puissances d'un entier algébrique x et de ses conjugués est exactement un entier ; cela découle d'une application des identités de Newton . Lorsque x est un nombre de Pisot, les puissances n des autres conjugués tendent vers 0 comme n tend vers l'infini. Puisque la somme est un entier, la distance de x ⁿ à l'entier le plus proche tend vers 0 à un taux exponentiel.

Petits nombres de Pisot

Tous les nombres de Pisot qui ne dépassent pas le nombre d' or φ ont été déterminés par Dufresnoy et Pisot. Le tableau ci-dessous répertorie les dix plus petits nombres de Pisot dans l'ordre croissant.

	Valeur	Racine de...	Racine de...
1	1.3247179572447460260 OEIS :  A060006 ( numéro de plastique )	${\style d'affichage x(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{3}-x-1}$
2	1.3802775690976141157 OEIS :  A086106	${\style d'affichage x^{2}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{4}-x^{3}-1}$
3	1.4432687912703731076 OEIS :  A228777	${\style d'affichage x^{3}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1}$
4	1.4655712318767680267 OEIS :  A092526 ( rapport super - or )	${\style d'affichage x^{3}(x^{2}-x-1)+1}$	${\style d'affichage x^{3}-x^{2}-1}$
5	1.5015948035390873664 OEIS :  A293508	${\style d'affichage x^{4}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1}$
6	1.5341577449142669154 OEIS :  A293509	${\style d'affichage x^{4}(x^{2}-x-1)+1}$	${\style d'affichage x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1}$
7	1.5452156497327552432 OEIS :  A293557	${\style d'affichage x^{5}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1}$
8	1.5617520677202972947	${\style d'affichage x^{3}(x^{3}-2x^{2}+x-1)+(x-1)(x^{2}+1)}$	${\style d'affichage x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1}$
9	1.5701473121960543629 OEIS :  A293506	${\style d'affichage x^{5}(x^{2}-x-1)+1}$	${\style d'affichage x^{5}-x^{4}-x^{2}-1}$
dix	1.5736789683935169887	${\style d'affichage x^{6}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}$	${\style d'affichage x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1}$

Comme ces nombres PV sont inférieurs à 2, ils sont tous des unités : leurs polynômes minimaux se terminent par 1 ou -1. Les polynômes de ce tableau, à l'exception de

${\style d'affichage x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}$

sont des facteurs de

${\style d'affichage x^{n}(x^{2}-x-1)+1\,}$

ou alors

${\style d'affichage x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).\ }$

Le premier polynôme est divisible par x ²  − 1 lorsque n est impair et par x  − 1 lorsque n est pair. Il a un autre vrai zéro, qui est un nombre PV. La division de l'un ou l'autre polynôme par x ⁿ donne des expressions qui approchent x ²  −  x  − 1 lorsque n devient très grand et ont des zéros qui convergent vers φ . Une paire complémentaire de polynômes,

${\style d'affichage x^{n}(x^{2}-x-1)-1}$

et

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}$

donne des nombres de Pisot qui approchent d'en haut.

Les références

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• Boyd, David W. (1978). "Nombres de Pisot et Salem dans les intervalles de la ligne réelle" . Math. Comp . 32 : 1244-1260. doi : 10.2307/2006349 . ISSN  0025-5718 . Zbl  0395.12004 .
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• Hardy, GH (1919). « Un problème d'approximation diophantienne ». J. Mathématiques indiennes. Soc . 11 : 205-243.
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• Thue, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter . 2 (20) : 1-15. JFM  44.0480.04 .

Liens externes

• Nombre de Pisot , Encyclopédie des Mathématiques
• Terr, David & Weisstein, Eric W. "Numéro Pisot" . MathWorld .