Lame planaire - Planar lamina

En mathématiques , une lame plane (ou lame plane ) est une figure représentant une couche plate mince, généralement uniforme, du solide. Il sert également de modèle idéalisé d'une section transversale plane d'un corps solide en intégration .

Les lames planes peuvent être utilisées pour déterminer les moments d'inertie ou le centre de masse des figures plates, ainsi qu'une aide dans les calculs correspondants pour les corps 3D.

Définition

Fondamentalement, une lame plane est définie comme une figure (un ensemble fermé ) D d'une aire finie dans un plan, avec une certaine masse m .

Ceci est utile pour calculer les moments d'inertie ou le centre de masse pour une densité constante, car la masse d'une lame est proportionnelle à sa surface. Dans le cas d'une densité variable, donnée à certains (non négatif) la densité de surface fonction de la masse de la feuille plane D est une partie intégrante plane de ρ sur la figure:

Propriétés

Le centre de masse de la lame est au point

où est le moment de la lame entière autour de l'axe des y et est le moment de la lame entière autour de l'axe des x :

avec sommation et intégration sur un domaine planaire .

Exemple

Région liée.jpg

Trouvez le centre de masse d'une lame avec des bords donnés par les lignes et où la densité est donnée par .

Pour cela il faut trouver la masse ainsi que les moments et .

La masse est qui peut être exprimée de manière équivalente comme une intégrale itérée :

L'intégrale interne est :

Le brancher sur l'intégrale externe donne :

De même sont calculés les deux moments :

avec l'intégrale interne :

ce qui rend:

et

Enfin, le centre de masse est

Les références