Planimètre - Planimeter

Un planimètre , également connu sous le nom de platomètre , est un instrument de mesure utilisé pour déterminer l' aire d'une forme bidimensionnelle arbitraire.

Construction

Il existe plusieurs types de planimètres, mais tous fonctionnent de manière similaire. La manière précise dont ils sont construits varie, les principaux types de planimètres mécaniques étant les planimètres polaires, linéaires et Prytz ou "hachette". Le mathématicien suisse Jakob Amsler-Laffon a construit le premier planimètre moderne en 1854, le concept ayant été lancé par Johann Martin Hermann en 1814. De nombreux développements ont suivi le célèbre planimètre d'Amsler, y compris des versions électroniques.

Le type Amsler (polaire) consiste en une tringlerie à deux barres. À la fin d'un lien se trouve un pointeur, utilisé pour tracer autour de la limite de la forme à mesurer. L'autre extrémité de la tringlerie pivote librement sur un poids qui l'empêche de bouger. Près de la jonction des deux maillons se trouve une roue de mesure de diamètre calibré, avec une échelle pour montrer la rotation fine, et un engrenage à vis sans fin pour une échelle de compteur de tours auxiliaire. Au fur et à mesure que le contour de la zone est tracé, cette roue roule sur la surface du dessin. L'opérateur règle la roue, met le compteur à zéro, puis trace le pointeur autour du périmètre de la forme. Lorsque le traçage est terminé, les échelles de la roue de mesure indiquent la zone de la forme.

Lorsque la roue de mesure du planimètre se déplace perpendiculairement à son axe, elle roule et ce mouvement est enregistré. Lorsque la roue de mesure se déplace parallèlement à son axe, la roue dérape sans rouler, ce mouvement est donc ignoré. Cela signifie que le planimètre mesure la distance parcourue par sa roue de mesure, projetée perpendiculairement à l'axe de rotation de la roue de mesure. L'aire de la forme est proportionnelle au nombre de tours sur lesquels tourne la roue de mesure.

Le planimètre polaire est limité par sa conception à la mesure de zones dans des limites déterminées par sa taille et sa géométrie. Cependant, le type linéaire n'a aucune restriction dans une dimension, car il peut rouler. Ses roues ne doivent pas glisser, car le mouvement doit être contraint à une ligne droite.

Des développements du planimètre permettent d'établir la position du premier moment de l'aire ( centre de masse ), et même du deuxième moment de l'aire .

Les images montrent les principes d'un planimètre linéaire et polaire. Le pointeur M à une extrémité du planimètre suit le contour C de la surface S à mesurer. Pour le planimètre linéaire, le mouvement du "coude" E est limité à l' axe y . Pour le planimètre polaire, le "coude" est relié à un bras avec son autre extrémité O à une position fixe. La roue de mesure est reliée au bras ME avec son axe de rotation parallèle à ME. Un mouvement du bras ME peut être décomposé en un mouvement perpendiculaire à ME, faisant tourner la roue, et un mouvement parallèle à ME, faisant patiner la roue, sans contribution à sa lecture.

Principe

Le fonctionnement du planimètre linéaire peut être expliqué en mesurant l'aire d'un rectangle ABCD (voir image). Se déplaçant avec le pointeur de A à B, le bras EM se déplace à travers le parallélogramme jaune, avec une aire égale à PQ×EM. Cette aire est également égale à l'aire du parallélogramme A"ABB". La roue de mesure mesure la distance PQ (perpendiculaire à EM). En se déplaçant de C à D, le bras EM se déplace dans le parallélogramme vert, d'aire égale à l'aire du rectangle D"DCC". La roue de mesure se déplace maintenant dans la direction opposée, soustrayant cette lecture de la précédente. Les mouvements le long de BC et DA sont les mêmes mais opposés, ils s'annulent donc sans effet net sur la lecture de la roue. Le résultat net est la mesure de la différence des zones jaunes et vertes, qui est la zone de ABCD.

Dérivation mathématique

Le fonctionnement d'un planimètre linéaire peut être justifié en appliquant le théorème de Green sur les composantes du champ de vecteurs N, donné par :

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(by,x),}$

où b est la coordonnée y du coude E.

Ce champ vectoriel est perpendiculaire au bras de mesure EM :

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(yb)N_{y}=0}$

et a une dimension constante, égale à la longueur m du bras de mesure :

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(by)^{2}+x^{2}}}=m}$

Puis:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{ S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (by)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{ S}\,dx\,dy=A,\end{aligné}}}$

car:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(yb)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}} =0,}$

Le membre gauche de l'équation ci-dessus, qui est égal à la zone A délimitée par le contour, est proportionnel à la distance mesurée par la roue de mesure, avec un facteur de proportionnalité m , la longueur du bras de mesure.

La justification de la dérivation ci-dessus réside dans le fait que le planimètre linéaire n'enregistre que le mouvement perpendiculaire à son bras de mesure, ou lorsque

${\displaystyle N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$est non nul. Lorsque cette quantité est intégrée sur la courbe fermée C, le théorème de Green et l'aire suivent.

Coordonnées polaires

La connexion avec le théorème de Green peut être comprise en termes d' intégration en coordonnées polaires : en coordonnées polaires, l'aire est calculée par l'intégrale où la forme intégrée est quadratique en r, ce qui signifie que la vitesse à laquelle l'aire change par rapport au changement d'angle varie quadratiquement avec le rayon. ${\displaystyle \scriptstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

Pour une équation paramétrique en coordonnées polaires, où les deux r et θ varie en fonction du temps, cela devient

${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac { 1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$

Pour un planimètre polaire, la rotation totale de la roue est proportionnelle à car la rotation est proportionnelle à la distance parcourue, qui à tout moment est proportionnelle au rayon et au changement d'angle, comme dans la circonférence d'un cercle ( ). ${\displaystyle \scriptstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$${\displaystyle \scriptstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

Ce dernier intégrande peut être reconnu comme la dérivée de l'intégrande précédente (par rapport à r ), et montre qu'un planimètre polaire calcule l'intégrale de surface en fonction de la dérivée , ce qui est reflété dans le théorème de Green, qui équivaut à une ligne intégrale d'un fonction sur un contour (1 dimension) à l'intégrale (2 dimensions) de la dérivée. ${\displaystyle \scriptstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

Voir également

• Curvimètre
• Planimètre à points
• Instrument mathématique
• Intégraphe
• Formule lacet

Les références

• Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Chapitre 8: À la poursuite des cintres" , How Round is your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet , Princeton University Press, pp. 138-171, ISBN 978-0-691-13118-4
• Gatterdam, RW (1981), "Le planimètre comme exemple du théorème de Green", The American Mathematical Monthly , 88 (9) : 701–704, doi : 10.2307/2320679 , JSTOR  2320679
• Hodgson, John L. (1er avril 1929), "Integration of flow meter diagrams", Journal of Scientific Instruments , 6 (4) : 116–118, Bibcode : 1929JScI....6.1.116H , doi : 10.1088/0950 -7671/6/4/302
• Horsburgh, EM (1914), Napier Tercentenary Celebration: Handbook of the Exhibition of Napier Relics and of Books, Instruments, and Devices for facilitation Calculation , The Royal Society of Edinburgh
• Jennings, G. (1985), Géométrie moderne avec applications , Springer
• Lowell, LI (1954), "Commentaires sur le planimètre polaire", The American Mathematical Monthly , 61 (7) : 467–469, doi : 10.2307/2308082 , JSTOR  2308082
• Wheatley, JY (1908), Le planimètre polaire , New York : Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

Liens externes

• Hachette Planimètre
• P. Kunkel : Site de Whistleralley, Le Planimètre
• Plateau Planimètre de Larry
• Page du planimètre de Wuerzburg
• La page du planimètre de Robert Foote
• Modèle informatique d'un planimètre
• Les explications du planimètre de Tanya Leise et Au fur et à mesure que la roue du planimètre tourne
• Faire un planimètre simple
• Photo : Géographes utilisant des planimètres (1940-1941)
• O. Knill et D. Winter : le théorème de Green et le planimètre