Point (géométrie) - Point (geometry)

Géométrie
Projeter une sphère sur un plan
Contour Histoire
Branches euclidien Non-euclidien Elliptique Sphérique Hyperbolique Géométrie non archimédienne Projectif Affine Synthétique Analytique Algébrique Arithmétique Diophantine Différentiel Riemannien Symplectique Différentiel discret Complexe Fini Discret/Combinatoire Numérique Convexe Informatique Fractale Incidence
notions Caractéristiques Dimension Constructions à la règle et au compas Angle Courbe Diagonale Orthogonalité ( Perpendiculaire ) Parallèle Sommet Congruence Similarité Symétrie
Zéro dimensionnelle Point
unidimensionnel Ligne segment rayon Longueur
Bidimensionnel Avion Surface Polygone Triangle Altitude Hypoténuse théorème de Pythagore Parallélogramme Carré Rectangle Rhombe Rhomboïde Quadrilatère trapèze cerf-volant Cercle Diamètre Circonférence Surface
Tridimensionnel Le volume cube cuboïde Cylindre Pyramide Sphère
Quatre - / autre dimension Tesseract Hypersphère
Géomètres
de nom Aïda Aryabhata Ahmès Alhazen Apollonios Archimède Atiyah Baudhayana Bolyaï Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclide Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyam Klein Lobatchevski Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yassamin Zhang Liste des géomètres
par période AEC Ahmès Baudhayana Manava Pythagoras Euclide Archimède Apollonios 1-1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyam al-Yassamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara Années 1400-1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aïda 1700-1900 Gauss Lobatchevski Bolyaï Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Aujourd'hui Atiyah Gromov
v t e

Dans la géométrie euclidienne classique , un point est une notion primitive qui modélise un emplacement exact dans l' espace et n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. En mathématiques modernes , un point se réfère plus généralement à un élément d'un ensemble appelé espace .

Être une notion primitive signifie qu'un point ne peut pas être défini en termes d'objets préalablement définis. C'est-à-dire qu'un point n'est défini que par certaines propriétés, appelées axiomes , qu'il doit satisfaire ; par exemple, "il y a exactement une ligne qui passe par deux points différents" .

Points en géométrie euclidienne

Un ensemble fini de points dans l' espace euclidien à deux dimensions .

Les points, considérés dans le cadre de la géométrie euclidienne , sont l'un des objets les plus fondamentaux. Euclide a défini à l'origine le point comme "ce qui n'a pas de partie". Dans l' espace euclidien à deux dimensions , un point est représenté par une paire ordonnée ( x ,  y ) de nombres, où le premier nombre représente conventionnellement l' horizontale et est souvent noté x , et le deuxième nombre représente conventionnellement la verticale et est souvent noté par y . Cette idée est facilement généralisée à l'espace euclidien à trois dimensions, où un point est représenté par un triplet ordonné ( x ,  y ,  z ) avec le troisième nombre supplémentaire représentant la profondeur et souvent désigné par z . D'autres généralisations sont représentées par un tuplet ordonné de n termes, ( a ₁ ,  a ₂ , … ,  a _n ) où n est la dimension de l'espace dans lequel se trouve le point.

De nombreuses constructions au sein de la géométrie euclidienne consistent en une collection infinie de points qui se conforment à certains axiomes. Ceci est généralement représenté par un ensemble de points ; Par exemple, une ligne est un ensemble infini de points de la forme , où c ₁ à c _n et d sont des constantes et n est la dimension de l'espace. Des constructions similaires existent qui définissent le plan , le segment de ligne et d'autres concepts connexes. Un segment de ligne constitué d'un seul point est appelé segment de ligne dégénéré . ${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rbrace }}$

En plus de définir des points et des constructions liées aux points, Euclide a également postulé une idée clé sur les points, selon laquelle deux points peuvent être reliés par une ligne droite. Ceci est facilement confirmé sous les extensions modernes de la géométrie euclidienne, et a eu des conséquences durables à son introduction, permettant la construction de presque tous les concepts géométriques connus à l'époque. Cependant, la postulation des points d'Euclide n'était ni complète ni définitive, et il supposait parfois des faits sur des points qui ne découlaient pas directement de ses axiomes, tels que l'ordre des points sur la ligne ou l'existence de points spécifiques. Malgré cela, les extensions modernes du système servent à supprimer ces hypothèses.

Dimension d'un point

Il existe plusieurs définitions équivalentes de la dimension en mathématiques. Dans toutes les définitions courantes, un point est de dimension 0.

Dimension de l'espace vectoriel

La dimension d'un espace vectoriel est la taille maximale d'un sous-ensemble linéairement indépendant . Dans un espace vectoriel constitué d'un seul point (qui doit être le vecteur zéro 0 ), il n'y a pas de sous-ensemble linéairement indépendant. Le vecteur zéro n'est pas lui-même linéairement indépendant, car il existe une combinaison linéaire non triviale le rendant nul : . ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Dimension topologique

La dimension topologique d'un espace topologique est définie comme étant la valeur minimale de n , de telle sorte que chaque fini couvercle ouvert de admet un recouvrement ouvert fini de ce qui affine dans laquelle aucun point est inclus dans plus de n + 1 éléments. S'il n'existe pas un tel n minimal , l'espace est dit de dimension de recouvrement infinie. ${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Un point est de dimension zéro par rapport à la dimension de couverture car chaque couverture ouverte de l'espace a un raffinement consistant en un seul ensemble ouvert.

Dimension Hausdorff

Soit X un espace métrique . Si S ⊂ X et d ∈ [0, ∞), le d -dimensionnelle contenu Hausdorff de S est la borne inférieure de l'ensemble des nombres δ ≥ 0 tel qu'il existe un (indexé) collection de boules couvrant S avec r _i > 0 pour chaque i ∈ I qui satisfait . ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$

La dimension de Hausdorff de X est définie par

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

Un point a une dimension de Hausdorff 0 car il peut être recouvert par une seule boule de rayon arbitrairement petit.

Géométrie sans points

Bien que la notion de point soit généralement considérée comme fondamentale dans la géométrie et la topologie traditionnelles, certains systèmes y renoncent, par exemple la géométrie non commutative et la topologie inutile . Un espace "sans point" ou "sans point" est défini non pas comme un ensemble , mais via une structure ( algébrique ou logique respectivement) qui ressemble à un espace de fonction bien connu sur l'ensemble : une algèbre de fonctions continues ou une algèbre d'ensembles respectivement . Plus précisément, de telles structures généralisent des espaces de fonctions bien connus de telle sorte que l'opération "prendre une valeur en ce point" peut ne pas être définie. Une autre tradition part de certains livres d' AN Whitehead dans lesquels la notion de région est supposée primitive avec celle d' inclusion ou de connexion .

Masses ponctuelles et fonction delta de Dirac

Souvent en physique et en mathématiques, il est utile de penser à un point comme ayant une masse ou une charge non nulle (cela est particulièrement courant dans l'électromagnétisme classique , où les électrons sont idéalisés comme des points avec une charge non nulle). La fonction delta de Dirac , ou δ fonction , est (informelle) une fonction généralisée sur la ligne réelle de nombre qui est égal à zéro partout sauf à zéro, avec une partie intégrante de l' un sur l'ensemble de la ligne réelle. La fonction delta est parfois considérée comme une pointe infiniment haute et infiniment mince à l'origine, avec une surface totale sous la pointe, et représente physiquement une masse ponctuelle idéalisée ou une charge ponctuelle . Il a été introduit par le physicien théoricien Paul Dirac . Dans le contexte du traitement du signal, il est souvent appelé symbole d'impulsion unitaire (ou fonction). Son analogue discret est la fonction delta de Kronecker qui est généralement définie sur un domaine fini et prend les valeurs 0 et 1.

Voir également

Les références

• Clarke, Bowman, 1985, " Individuals and Points ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manuel de géométrie d'incidence : bâtiments et fondations . Hollande du Nord : 1015–31.
• Whitehead, AN , 1919. Une enquête concernant les principes de la connaissance naturelle . Université de Cambridge Presse. 2e éd., 1925.
• Whitehead, AN, 1920. Le concept de la nature . Université de Cambridge Presse. 2004, livre de poche, Prometheus Books. Étant les conférences Tarner de 1919 prononcées au Trinity College .
• Whitehead, AN, 1979 (1929). Processus et réalité . Presse libre.

Liens externes

• "Pointer" . PlanèteMath .
• Weisstein, Eric W. "Point" . MathWorld .