Place d'Arago - Arago spot

Expérience sur le spot d'Arago. Une source ponctuelle illumine un objet circulaire, projetant une ombre sur un écran. Au centre de l'ombre apparaît une tache lumineuse due à la diffraction , contredisant la prédiction de l'optique géométrique .

Photo du spot Arago dans l'ombre d'un obstacle circulaire de 5,8 mm

Simulation numérique de l'intensité de la lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 0,5 µm derrière un obstacle circulaire de rayon R = 5 µm = 10λ .

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Formation du spot Arago (sélectionnez "source WebM" pour une bonne qualité)

Tache Arago se formant dans l'ombre

Dans l' optique , la place Arago , place de Poisson , ou tache Fresnel est un point lumineux qui apparaît au centre de l' objet d'un cercle l'ombre due à la diffraction de Fresnel . Ce point a joué un rôle important dans la découverte de la nature ondulatoire de la lumière et est un moyen courant de démontrer que la lumière se comporte comme une onde (par exemple, dans les exercices de laboratoire de physique de premier cycle).

La configuration expérimentale de base nécessite une source ponctuelle, telle qu'un trou d'épingle illuminé ou un faisceau laser divergent . Les dimensions de l'installation doivent être conformes aux exigences de la diffraction de Fresnel . A savoir, le nombre de Fresnel doit satisfaire

${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$

où

d est le diamètre de l'objet circulaire,

ℓ est la distance entre l'objet et l'écran, et

est la longueur d'onde de la source.

Enfin, le bord de l'objet circulaire doit être suffisamment lisse.

Ces conditions expliquent ensemble pourquoi le point lumineux n'est pas rencontré dans la vie de tous les jours. Cependant, avec les sources laser disponibles aujourd'hui, il est facile d'effectuer une expérience Arago-spot.

En astronomie , la tache d'Arago peut également être observée dans l'image fortement défocalisée d'une étoile dans un télescope newtonien . Là, l'étoile fournit une source ponctuelle presque idéale à l'infini, et le miroir secondaire du télescope constitue l'obstacle circulaire.

Lorsque la lumière éclaire l'obstacle circulaire, le principe de Huygens dit que chaque point du plan de l'obstacle agit comme une nouvelle source ponctuelle de lumière. La lumière provenant de points situés sur la circonférence de l'obstacle et allant au centre de l'ombre parcourt exactement la même distance, de sorte que toute la lumière passant à proximité de l'objet arrive à l'écran en phase et interfère de manière constructive . Il en résulte un point lumineux au centre de l'ombre, où l'optique géométrique et les théories particulaires de la lumière prédisent qu'il ne devrait y avoir aucune lumière.

Histoire

Au début du 19ème siècle, l'idée que la lumière ne se propage pas simplement le long de lignes droites a gagné du terrain. Thomas Young a publié son expérience à double fente en 1807. L' expérience originale du spot Arago a été réalisée une décennie plus tard et a été l'expérience décisive sur la question de savoir si la lumière est une particule ou une onde. C'est donc un exemple d' experimentum crucis .

A cette époque, beaucoup étaient favorables à la théorie corpusculaire de la lumière d'Isaac Newton, parmi lesquels le théoricien Siméon Denis Poisson . En 1818, l' Académie française des sciences a lancé un concours pour expliquer les propriétés de la lumière, où Poisson était l'un des membres du jury. L'ingénieur civil Augustin-Jean Fresnel a participé à ce concours en soumettant une nouvelle théorie ondulatoire de la lumière .

Poisson a étudié la théorie de Fresnel en détail et, étant un partisan de la théorie particulaire de la lumière, a cherché un moyen de prouver qu'elle était fausse. Poisson a pensé qu'il avait trouvé une faille lorsqu'il a soutenu qu'une conséquence de la théorie de Fresnel était qu'il existerait un point lumineux sur l'axe dans l'ombre d'un obstacle circulaire, où il devrait y avoir une obscurité complète selon la théorie des particules de lumière. Comme la tache d'Arago n'est pas facilement observable dans les situations de tous les jours, Poisson l'a interprétée comme un résultat absurde et qu'elle devrait réfuter la théorie de Fresnel.

Cependant, le chef du comité, Dominique-François-Jean Arago (qui devint d'ailleurs plus tard Premier ministre de la France), a décidé d'effectuer l'expérience plus en détail. Il a moulé un disque métallique de 2 mm sur une plaque de verre avec de la cire. Il a réussi à observer le point prédit, ce qui a convaincu la plupart des scientifiques de la nature ondulatoire de la lumière et a donné la victoire à Fresnel.

Arago nota plus tard que le phénomène (plus tard connu sous le nom de « tache de Poisson » ou « tache d'Arago ») avait déjà été observé par Delisle et Maraldi un siècle plus tôt.

Il ne se un siècle plus tard (dans l' un des Albert Einstein de Annus Mirabilis papiers ) que la lumière doit être décrit comme à la fois une particule et une onde ( dualité onde-particule de lumière).

Théorie

Notation pour le calcul de l'amplitude d'onde au point P _{1 à} partir d'une source ponctuelle sphérique à P ₀ .

Au cœur de la théorie des ondes de Fresnel se trouve le principe de Huygens-Fresnel , qui stipule que chaque point non obstrué d'un front d'onde devient la source d'une ondelette sphérique secondaire et que l'amplitude du champ optique E en un point de l'écran est donnée par la superposition de toutes ces ondelettes secondaires en tenant compte de leurs phases relatives. Cela signifie que le champ en un point P ₁ de l'écran est donné par une intégrale surfacique :

${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\ mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$

où le facteur d'inclinaison qui assure que les ondelettes secondaires ne se propagent pas en arrière est donné par ${\displaystyle K(\chi )}$

${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$

et

A est l'amplitude de l'onde source

${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$est le nombre d'onde

S est la surface non obstruée.

Le premier terme en dehors de l'intégrale représente les oscillations de l'onde source à une distance r ₀ . De même, le terme à l'intérieur de l'intégrale représente les oscillations des ondelettes secondaires aux distances r ₁ .

Afin de dériver l'intensité derrière l'obstacle circulaire en utilisant cette intégrale, on suppose que les paramètres expérimentaux remplissent les exigences du régime de diffraction en champ proche (la taille de l'obstacle circulaire est grande par rapport à la longueur d'onde et petite par rapport aux distances g = P ₀ C et b = CP ₁ ). Aller aux coordonnées polaires donne alors l'intégrale pour un objet circulaire de rayon a (voir par exemple Born et Wolf) :

${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb} }2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\ frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$

L'intensité sur l'axe au centre de l'ombre d'un petit obstacle circulaire converge vers l'intensité non obstruée.

Cette intégrale peut être résolue numériquement (voir ci-dessous). Si g est grand et b est petit de sorte que l'angle n'est pas négligeable, on peut écrire l'intégrale pour le cas sur l'axe (P ₁ est au centre de l'ombre) comme (voir ): ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2 }}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$

L' intensité de la source , qui est le carré de l'amplitude du champ, est et l'intensité à l'écran . L'intensité sur l'axe en fonction de la distance b est donc donnée par : ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$

${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$

Cela montre que l'intensité sur l'axe au centre de l'ombre tend vers l'intensité de la source, comme si l'objet circulaire n'était pas du tout présent. De plus, cela signifie que le spot Arago est présent même à quelques diamètres d'obstacles derrière le disque.

Calcul des images de diffraction

Pour calculer l'image de diffraction complète qui est visible sur l'écran, il faut considérer l'intégrale de surface de la section précédente. On ne peut plus exploiter la symétrie circulaire, puisque la ligne entre la source et un point arbitraire sur l'écran ne passe pas par le centre de l'objet circulaire. Avec la fonction d'ouverture qui vaut 1 pour les parties transparentes du plan objet et 0 sinon (c'est-à-dire qu'elle vaut 0 si la ligne directe entre la source et le point sur l'écran passe par l'objet circulaire bloquant.) l'intégrale qui doit être résolue est donné par: ${\displaystyle g(r,\theta )}$

${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\ mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \, d\rho \,d\theta .}$

Le calcul numérique de l'intégrale à l'aide de la règle trapézoïdale ou de la règle de Simpson n'est pas efficace et devient numériquement instable surtout pour les configurations à grand nombre de Fresnel . Cependant, il est possible de résoudre la partie radiale de l'intégrale de sorte que seule l'intégration sur l'angle d'azimut reste à faire numériquement. Pour un angle particulier, il faut résoudre l'intégrale de la ligne du rayon avec origine au point d'intersection de la ligne P ₀ P ₁ avec le plan objet circulaire. La contribution pour un rayon particulier avec un angle d'azimut et passant une partie transparente du plan objet de à est : ${\displaystyle \theta _{1}}$${\style d'affichage r=s}$${\style d'affichage r=t}$

${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi } {2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$

Ainsi, pour chaque angle, il faut calculer le( s ) point( s ) d' intersection du rayon avec l'objet circulaire, puis additionner les contributions pour un certain nombre d'angles compris entre 0 et . Les résultats d'un tel calcul sont présentés dans les images suivantes. ${\displaystyle I(\theta _{1})}$${\style d'affichage 2\pi }$

Les images montrent des taches Arago simulées dans l'ombre d'un disque de diamètre variable (4 mm, 2 mm, 1 mm – de gauche à droite) à une distance de 1 m du disque. La source ponctuelle a une longueur d'onde de 633 nm (ex. Laser He-Ne) et est située à 1 m du disque. La largeur de l'image correspond à 16 mm.

Aspects expérimentaux

Intensité et taille

Pour une source ponctuelle idéale , l'intensité du spot Arago est égale à celle du front d'onde non perturbé . Seule la largeur du pic d'intensité du spot Arago dépend des distances entre la source, l'objet circulaire et l'écran, ainsi que de la longueur d'onde de la source et du diamètre de l'objet circulaire. Cela signifie que l'on peut compenser une diminution de la longueur d' onde de la source en augmentant la distance l entre l'objet circulaire et l'écran ou en réduisant le diamètre de l'objet circulaire.

La répartition latérale de l'intensité sur l'écran a en fait la forme d'une fonction de Bessel zéroth au carré du premier type lorsqu'elle est proche de l' axe optique et en utilisant une source d'onde plane (source ponctuelle à l'infini) :

${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$

où

r est la distance du point P ₁ sur l'écran à l'axe optique

d est le diamètre de l'objet circulaire

est la longueur d'onde

b est la distance entre l'objet circulaire et l'écran.

Les images suivantes montrent la distribution d'intensité radiale des images de spot Arago simulées ci-dessus :

Les lignes rouges dans ces trois graphiques correspondent aux images simulées ci-dessus, et les lignes vertes ont été calculées en appliquant les paramètres correspondants à la fonction de Bessel au carré donnée ci-dessus.

Taille de source finie et cohérence spatiale

La principale raison pour laquelle le spot Arago est difficile à observer dans les ombres circulaires des sources lumineuses conventionnelles est que ces sources lumineuses sont de mauvaises approximations des sources ponctuelles. Si la source d'onde a une taille finie S alors le spot Arago aura une étendue qui est donnée par Sb / g , comme si l'objet circulaire agissait comme une lentille. Dans le même temps, l'intensité du spot Arago est réduite par rapport à l'intensité du front d'onde non perturbé. En définissant l'intensité relative comme l'intensité divisée par l'intensité du front d'onde non perturbé, l'intensité relative pour une source circulaire étendue de diamètre w peut être exprimée exactement à l'aide de l'équation suivante : ${\displaystyle I_{\text{rel}}}$

${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{ 2}\gauche({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$

où et sont les fonctions de Bessel du premier genre. R est le rayon du disque projetant l'ombre, la longueur d'onde et g la distance entre la source et le disque. Pour les grandes sources, l'approximation asymptotique suivante s'applique : ${\style d'affichage J_{0}}$${\style d'affichage J_{1}}$${\style d'affichage \lambda }$

${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$

Déviation de la circularité

Si la section transversale de l'objet circulaire s'écarte légèrement de sa forme circulaire (mais il a toujours une arête vive sur une plus petite échelle), la forme du point de source ponctuelle Arago change. En particulier, si l'objet a une section transversale ellipsoïdale, la tache d'Arago a la forme d'une développée . Notez que ce n'est le cas que si la source est proche d'une source ponctuelle idéale. A partir d'une source étendue, la tache d'Arago n'est que marginalement affectée, car on peut interpréter la tache d'Arago comme une fonction d'étalement des points . Par conséquent, l'image de la source étendue n'est délavée qu'en raison de la convolution avec la fonction d'étalement des points, mais elle ne diminue pas dans l'ensemble de l'intensité.

La rugosité de surface de l'objet circulaire

Le spot d'Arago est très sensible aux écarts à petite échelle par rapport à la section circulaire idéale. Cela signifie qu'une petite quantité de rugosité de surface de l'objet circulaire peut complètement annuler le point lumineux. Ceci est illustré dans les trois schémas suivants qui sont des simulations du spot Arago à partir d'un disque de 4 mm de diamètre ( g  =  b  = 1 m) :

La simulation comprend une ondulation sinusoïdale régulière de forme circulaire d'amplitude respectivement 10 µm, 50 µm et 100 µm. Notez que l'ondulation de bord de 100 um supprime presque complètement le point lumineux central.

Cet effet peut être mieux compris en utilisant le concept de zone de Fresnel . Le champ transmis par un segment radial issu d'un point du bord de l'obstacle apporte une contribution dont la phase est proche de la position du point de bord par rapport aux zones de Fresnel. Si la variance du rayon de l'obstacle est beaucoup plus petite que la largeur de la zone de Fresnel près du bord, les contributions des segments radiaux sont approximativement en phase et interfèrent de manière constructive. Cependant, si l'ondulation de bord aléatoire a une amplitude comparable ou supérieure à la largeur de cette zone de Fresnel adjacente, les contributions des segments radiaux ne sont plus en phase et s'annulent, réduisant l'intensité du spot Arago.

La zone de Fresnel adjacente est approximativement donnée par :

${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$

L'ondulation du bord ne doit pas dépasser 10% de cette largeur pour voir un spot Arago proche de l'idéal. Dans les simulations ci-dessus avec le disque de 4 mm de diamètre, la zone de Fresnel adjacente a une largeur d'environ 77 µm.

Spot Arago avec ondes de matière

En 2009, l'expérience du spot Arago a été démontrée avec un faisceau d'expansion supersonique de molécules de deutérium (un exemple d' ondes de matière neutre ). Les particules matérielles se comportant comme des ondes sont connues de la mécanique quantique . La nature ondulatoire des particules remonte en fait à l' hypothèse de de Broglie ainsi qu'aux expériences de Davisson et Germer . Une tache Arago d'électrons, qui constituent également des ondes de matière, peut être observée au microscope électronique à transmission lors de l'examen de structures circulaires d'une certaine taille.

L'observation d'un spot Arago avec de grosses molécules, prouvant ainsi leur nature ondulatoire, est un sujet de recherche actuel.

Autres applications

Outre la démonstration du comportement des vagues, le spot Arago a également quelques autres applications. L'une des idées est d'utiliser le spot Arago comme référence en ligne droite dans les systèmes d'alignement. Une autre consiste à sonder les aberrations des faisceaux laser en utilisant la sensibilité du spot aux aberrations du faisceau . Enfin, l' aragoscope a été proposé comme méthode pour améliorer considérablement la résolution limitée par la diffraction des télescopes spatiaux.

Voir également

• Aragoscope
• Disque occultant

Les références