En théorie des probabilités , la loi des événements rares ou théorème limite de Poisson stipule que la distribution de Poisson peut être utilisée comme une approximation de la distribution binomiale , sous certaines conditions. Le théorème a été nommé d'après Siméon Denis Poisson (1781-1840). Une généralisation de ce théorème est le théorème de Le Cam.
Théorème
Soit une suite de nombres réels tels que la suite converge vers une limite finie . Puis:
Preuves
-
.
Depuis
et
Cela laisse
Preuve alternative
En utilisant l'approximation de Stirling , on peut écrire :
Location et :
Comme , donc :
Fonctions génératrices ordinaires
Il est également possible de démontrer le théorème en utilisant des fonctions génératrices ordinaires de la distribution binomiale :
en vertu du théorème du binôme . En prenant la limite tout en gardant le produit constant, on trouve
qui est l'OGF pour la distribution de Poisson. (La deuxième égalité tient en raison de la définition de la fonction exponentielle .)
Voir également
Les références