Système de coordonnées polaires - Polar coordinate system
En mathématiques , le système de coordonnées polaires est un à deux dimensions du système de coordonnées dans lequel chaque point de sur un plan est déterminée par une distance de partir d' un point de référence et un angle à partir d' une direction de référence. Le point de référence (analogue à l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes ) est appelé le pôle et le rayon du pôle dans la direction de référence est l' axe polaire . La distance entre le pôle est appelée la coordonnée radiale , la distance radiale ou simplement le rayon et l'angle est appelé la coordonnée angulaire , l' angle polaire , ou azimut . Angles en notation polaire sont généralement exprimés soit en degrés ou radians (2 π rad étant égal à 360 °).
Grégoire de Saint-Vincent et Bonaventura Cavalieri ont introduit indépendamment les concepts au milieu du XVIIe siècle, bien que le terme de coordonnées polaires ait été attribué à Gregorio Fontana au XVIIIe siècle. La motivation initiale pour l'introduction du système polaire était l'étude du mouvement circulaire et orbital .
Les coordonnées polaires sont les plus appropriées dans tout contexte où le phénomène considéré est intrinsèquement lié à la direction et à la longueur à partir d'un point central dans un plan, comme les spirales . Les systèmes physiques planaires avec des corps se déplaçant autour d'un point central, ou des phénomènes provenant d'un point central, sont souvent plus simples et plus intuitifs à modéliser en utilisant des coordonnées polaires.
Le système de coordonnées polaires est étendu à trois dimensions de deux manières : les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques .
Histoire
Les concepts d'angle et de rayon étaient déjà utilisés par les peuples anciens du premier millénaire avant notre ère . L' astronome grec et astrologue Hipparque (190-120 BC) a créé une table des accords fonctions donnant la longueur de la corde pour chaque angle, et il y a des références à son utilisation de coordonnées polaires pour établir la position des étoiles. Dans Sur les spirales , Archimède décrit la spirale d'Archimède , une fonction dont le rayon dépend de l'angle. Le travail grec, cependant, ne s'étendait pas à un système de coordonnées complet.
À partir du 8ème siècle après JC, les astronomes ont développé des méthodes pour estimer et calculer la direction de La Mecque ( qibla ) - et sa distance - à partir de n'importe quel endroit sur la Terre. À partir du IXe siècle, ils utilisaient des méthodes de trigonométrie sphérique et de projection cartographique pour déterminer ces quantités avec précision. Le calcul est essentiellement la conversion des coordonnées polaires équatoriales de La Mecque (c'est-à-dire sa longitude et sa latitude ) en ses coordonnées polaires (c'est-à-dire sa qibla et sa distance) par rapport à un système dont le méridien de référence est le grand cercle passant par l'emplacement donné et les pôles de la Terre et dont l'axe polaire est la ligne passant par l'emplacement et son point antipodal .
Il existe divers comptes rendus de l'introduction des coordonnées polaires dans le cadre d'un système de coordonnées formel. L'histoire complète du sujet est décrit dans Harvard professeur Julian Lowell Coolidge d » origine des coordonnées polaires. Grégoire de Saint-Vincent et Bonaventura Cavalieri ont introduit indépendamment les concepts au milieu du XVIIe siècle. Saint-Vincent a écrit à leur sujet en privé en 1625 et a publié son ouvrage en 1647, tandis que Cavalieri a publié le sien en 1635 avec une version corrigée apparaissant en 1653. Cavalieri a d'abord utilisé des coordonnées polaires pour résoudre un problème relatif à la zone à l'intérieur d'une spirale d'Archimède . Blaise Pascal a ensuite utilisé les coordonnées polaires pour calculer la longueur des arcs paraboliques .
Dans Method of Fluxions (écrit en 1671, publié en 1736), Sir Isaac Newton a examiné les transformations entre les coordonnées polaires, qu'il appelait la « septième manière ; pour les spirales », et neuf autres systèmes de coordonnées. Dans la revue Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli a utilisé un système avec un point sur une ligne, appelé respectivement pôle et axe polaire . Les coordonnées ont été spécifiées par la distance du pôle et l' angle de l' axe polaire . Les travaux de Bernoulli se sont étendus à la recherche du rayon de courbure des courbes exprimé dans ces coordonnées.
Le terme réel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du XVIIIe siècle. Le terme est apparu en anglais dans George Peacock « la traduction de 1816 de Lacroix » s Calcul différentiel et intégral . Alexis Clairaut a été le premier à penser aux coordonnées polaires en trois dimensions, et Leonhard Euler a été le premier à les développer réellement.
Conventions
La coordonnée radiale est souvent désigné par r ou ρ , et la coordonnée angulaire par φ , θ , ou t . La coordonnée angulaire est spécifié comme φ par ISO norme 31-11 . Cependant, dans la littérature mathématique, l'angle est souvent désigné par à la place.
Angles en notation polaire sont généralement exprimés soit en degrés ou radians (2 π rad étant égal à 360 °). Les diplômes sont traditionnellement utilisés dans la navigation , l' arpentage et de nombreuses disciplines appliquées, tandis que les radians sont plus courants en mathématiques et en physique mathématique .
L'angle φ est défini pour commencer à 0° à partir d'une direction de référence , et pour augmenter pour les rotations dans le sens des aiguilles d' une montre (cw) ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ccw). Par exemple, en mathématiques, la direction de référence est habituellement établi comme un rayon du pôle horizontalement vers la droite, et l'angle polaire augmente à angles positifs pour les rotations CCW, alors que dans la navigation ( palier , cap ) à 0 ° -heading est tiré verticalement vers le haut et l'angle augmente pour les rotations dans le sens horaire. Les angles polaires diminuent vers des valeurs négatives pour les rotations dans les orientations respectivement opposées.
Unicité des coordonnées polaires
L'ajout d'un nombre quelconque de tours complets (360°) à la coordonnée angulaire ne modifie pas la direction correspondante. De même, toute coordonnée polaire est identique à la coordonnée avec la composante radiale négative et la direction opposée (en ajoutant 180° à l'angle polaire). Par conséquent, le même point ( r , φ ) peut être exprimée par un nombre infini de différentes coordonnées polaires ( r , φ + n x 360 °) et (- r , φ + 180 ° + n × 360 °) = (- r , φ + (2 n + 1) x 180 °) , où n est un quelconque entier . De plus, le mât lui - même peut être exprimée comme (0, φ ) pour tout angle φ .
Lorsqu'une représentation unique est nécessaire pour tout point en dehors du pôle, il est habituel de limiter r aux nombres positifs ( r > 0 ) et φ soit à l' intervalle [0, 360°) soit à l'intervalle (−180°, 180°] , qui en radians sont [0, 2π) ou (−π, π] . Une autre convention, en référence au codomaine habituel de la fonction arctan , est de permettre des valeurs réelles non nulles arbitraires de la composante radiale et de restreindre l'angle polaire à (-90 °, 90 °] . Dans tous les cas , un azimut unique pour chaque pôle ( R = 0) doit être choisi, par exemple φ = 0.
Conversion entre les coordonnées polaires et cartésiennes
Les coordonnées polaires r et φ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant la fonction trigonométrique sinus et le cosinus:
Les coordonnées cartésiennes x et y peuvent être converties en coordonnées polaires r et φ avec r ≥ 0 et φ dans l'intervalle (- π , π ] par:
- (comme dans le théorème de Pythagore ou la norme euclidienne ), et
où atan2 est une variation commune de la fonction arctangente définie comme
Si r est calculé d'abord comme ci-dessus, alors cette formule pour φ peut être énoncée plus simplement en utilisant la fonction arccosinus :
Nombres complexes
Chaque nombre complexe peut être représenté comme un point dans le plan complexe , et peut donc être exprimé en spécifiant soit les coordonnées cartésiennes du point (appelées forme rectangulaire ou cartésienne) soit les coordonnées polaires du point (appelées forme polaire). Le nombre complexe z peut être représenté sous forme rectangulaire comme
où i est l' unité imaginaire , ou peut être écrit sous forme polaire comme
et de là, par la formule d' Euler , comme
où e est le nombre d'Euler et φ , exprimé en radians, est la valeur principale de la fonction de nombre complexe arg appliquée à x + iy . Pour convertir entre les formes rectangulaire et polaire d'un nombre complexe, les formules de conversion données ci-dessus peuvent être utilisées. Les notations cis et angulaires sont équivalentes :
Pour les opérations de multiplication , de division , d' exponentiation et d' extraction de racine de nombres complexes, il est généralement beaucoup plus simple de travailler avec des nombres complexes exprimés sous forme polaire plutôt que sous forme rectangulaire. Des lois de l'exponentiation :
- Multiplication
- Division
- Exponentiation ( formule de De Moivre )
- Extraction de racine (racine principale)
Équation polaire d'une courbe
L'équation définissant une courbe algébrique exprimée en coordonnées polaires est appelée équation polaire . Dans de nombreux cas, une telle équation peut simplement être spécifié en définissant r en fonction de φ . La courbe résultante est alors constituée de points de la forme ( r ( φ ), φ ) et peut être considérée comme le graphe de la fonction polaire r . On notera que, contrairement aux coordonnées cartésiennes, la variable indépendante φ est la deuxième entrée de la paire ordonnée.
Différentes formes de symétrie peuvent être déduites de l'équation d'une fonction polaire r :
- Si r (− φ ) = r ( φ ) la courbe sera symétrique par rapport au rayon horizontal (0°/180°);
- Si r ( π − φ ) = r ( φ ) il sera symétrique par rapport au rayon vertical (90°/270°) :
- Si r ( φ − α) = r ( φ ) il sera symétrique en rotation de dans le sens horaire et antihoraire autour du pôle.
En raison de la nature circulaire du système de coordonnées polaires, de nombreuses courbes peuvent être décrites par une équation polaire assez simple, alors que leur forme cartésienne est beaucoup plus complexe. Parmi les plus connues de ces courbes figurent la rose polaire , la spirale d'Archimède , la lemniscate , le limaçon et la cardioïde .
Pour le cercle, la ligne et la rose polaire ci-dessous, il est entendu qu'il n'y a aucune restriction sur le domaine et l'étendue de la courbe.
Cercle
L'équation générale d'un cercle de centre en ( r 0 , ) et de rayon a est
Cela peut être simplifié de diverses manières, pour se conformer à des cas plus spécifiques, tels que l'équation
pour un cercle de centre au pôle et de rayon a .
Lorsque r 0 = a , ou lorsque l'origine se trouve sur le cercle, l'équation devient
Dans le cas général, l'équation peut être résolue pour r , donnant
La solution avec un signe moins devant la racine carrée donne la même courbe.
Ligne
Les lignes radiales (celles qui traversent le pôle) sont représentées par l'équation
où est l'angle d'élévation de la ligne ; c'est-à-dire , où est la pente de la droite dans le système de coordonnées cartésiennes. La ligne non radiale qui croise la ligne radiale perpendiculairement au point a l'équation
Autrement dit est le point où la tangente coupe le cercle imaginaire de rayon
Rose polaire
Une rose polaire est une courbe mathématique qui ressemble à une fleur à pétales, et qui peut être exprimée comme une simple équation polaire,
pour toute constante γ 0 (y compris 0). Si k est un nombre entier, ces équations produiront une rose à k pétales si k est impair , ou une rose à 2 k pétales si k est pair. Si k est rationnel, mais pas un entier, une forme semblable à une rose peut se former mais avec des pétales qui se chevauchent. Notez que ces équations ne définissent jamais une rose à 2, 6, 10, 14, etc. pétales. La variable a représente directement la longueur ou l'amplitude des pétales de rose, tandis que k se rapporte à leur fréquence spatiale. La constante 0 peut être considérée comme un angle de phase.
Spirale d'Archimède
La spirale d'Archimède est une spirale découverte par Archimède qui peut également être exprimée comme une simple équation polaire. Il est représenté par l'équation
Changer le paramètre a fera tourner la spirale, tandis que b contrôle la distance entre les bras, qui pour une spirale donnée est toujours constante. La spirale d'Archimède a deux bras, un pour φ > 0 et un pour φ < 0 . Les deux bras sont reliés en douceur au poteau. Si a = 0 , prendre l'image miroir d'un bras à travers la ligne 90°/270° produira l'autre bras. Cette courbe est remarquable comme l'une des premières courbes, après les sections coniques , à être décrite dans un traité mathématique, et comme un excellent exemple d'une courbe mieux définie par une équation polaire.
Sections coniques
Une section conique avec un foyer sur le pôle et l'autre quelque part sur le rayon 0° (de sorte que le grand axe de la conique se trouve le long de l'axe polaire) est donnée par :
où e est l' excentricité et est le demi-latus rectum (la distance perpendiculaire à un foyer du grand axe à la courbe). Si e > 1 , cette équation définit une hyperbole ; si e = 1 , il définit une parabole ; et si e < 1 , il définit une ellipse . Le cas particulier e = 0 de ce dernier aboutit à un cercle de rayon .
Intersection de deux courbes polaires
Les graphiques de deux fonctions polaires et ont des intersections possibles de trois types :
- A l'origine, si les équations et ont au moins une solution chacune.
- Tous les points où sont les solutions de l'équation où est un entier.
- Tous les points où sont les solutions de l'équation où est un entier.
Calcul
Le calcul peut être appliqué aux équations exprimées en coordonnées polaires.
La coordonnée angulaire φ est exprimée en radians dans cette section, qui est le choix classique lorsque vous faites le calcul.
Calculs différentiels
En utilisant x = r cos φ et y = r sin φ , on peut dériver une relation entre les dérivées en coordonnées cartésiennes et polaires. Pour une fonction donnée, u ( x , y ), il s'ensuit que (en calculant ses dérivées totales )
ou
On a donc les formules suivantes :
En utilisant la transformation des coordonnées inverses, une relation réciproque analogue peut être dérivée entre les dérivées. Étant donné une fonction u ( r , φ ), il s'ensuit que
ou
On a donc les formules suivantes :
Pour trouver la pente cartésien de la ligne tangente à une courbe polaire r ( φ ) à un moment donné, la courbe est d' abord exprimée sous la forme d' un système d' équations paramétriques .
Différencier les deux équations par rapport à φ donne
En divisant la deuxième équation par la première, on obtient la pente cartésienne de la tangente à la courbe au point ( r ( φ ), φ ) :
Pour d'autres formules utiles, notamment la divergence, le gradient et le laplacien en coordonnées polaires, voir coordonnées curvilignes .
Calcul intégral (longueur d'arc)
La longueur de l' arc (longueur d'un segment de ligne) définie par une fonction polaire est trouvé par l'intégration sur la courbe r ( φ ). Soit L cette longueur le long de la courbe partant des points A jusqu'au point B , où ces points correspondent à φ = a et φ = b tels que 0 < b − a < 2 π . La longueur de L est donnée par l'intégrale suivante
Calcul intégral (aire)
Soit R la région délimitée par une courbe r ( φ ) et les rayons φ = a et φ = b , où 0 < b − a ≤ 2 π . Alors, l'aire de R est
Ce résultat peut être trouvé comme suit. Tout d'abord, l'intervalle [ a , b ] est divisé en n sous-intervalles, où n est un nombre entier positif. Ainsi Δ φ , la mesure d'angle de chaque sous-intervalle, est égal à b − a (la mesure d'angle totale de l'intervalle), divisé par n , le nombre de sous-intervalles. Pour chaque sous-intervalle i = 1, 2, ..., n , soit φ i le milieu du sous-intervalle, et construisons un secteur avec le centre au pôle, le rayon r ( φ i ), l'angle au centre φ et la longueur de l'arc r ( φ i ) ô φ . La superficie de chaque secteur construit est donc égale à
Par conséquent, la superficie totale de tous les secteurs est
Au fur et à mesure que le nombre de sous-intervalles n augmente, l'approximation de la zone s'améliore. En prenant n → ∞ , la somme devient la somme de Riemann pour l'intégrale ci-dessus.
Un dispositif mécanique qui calcule la zone intégrales est le planimètre , qui mesure la zone de figures planes en les traçant: cette intégration des répétitions en coordonnées polaires par l' ajout d' un joint de sorte que les deux-éléments d' assemblage effets du théorème de Green , convertissant l'intégrale polaire quadratique une intégrale linéaire.
Généralisation
En utilisant les coordonnées cartésiennes , un élément de surface infinitésimale peut être calculé comme dA = dx dy . La règle de substitution pour les intégrales multiples stipule que, lors de l'utilisation d'autres coordonnées, le déterminant jacobien de la formule de conversion de coordonnées doit être pris en compte :
Par conséquent, un élément de zone en coordonnées polaires peut être écrit comme
Or, une fonction, qui est donnée en coordonnées polaires, peut être intégrée comme suit :
Ici, R est la même région que ci - dessus, à savoir, la région délimitée par une courbe r ( φ ) et les rayons φ = a et φ = b . La formule de l'aire de R est récupérée en prenant f identiquement égal à 1.
Une application plus surprenante de ce résultat donne l' intégrale gaussienne , notée ici K :
Calcul vectoriel
Le calcul vectoriel peut également être appliqué aux coordonnées polaires. Pour un mouvement plan, laisser le vecteur de position ( r cos ( & phiv ), r sin ( φ )) , avec r et φ en fonction du temps t .
On définit les vecteurs unitaires
en direction et
dans le plan du mouvement perpendiculaire à la direction radiale, où est un vecteur unitaire normal au plan du mouvement.
Puis
Termes centrifuges et Coriolis
Le terme est parfois appelé l' accélération centripète , et le terme que l' accélération de Coriolis . Par exemple, voir Shankar.
Remarque : ces termes, qui apparaissent lorsque l'accélération est exprimée en coordonnées polaires, sont une conséquence mathématique de la différenciation ; ils apparaissent chaque fois que des coordonnées polaires sont utilisées. Dans la dynamique des particules planes, ces accélérations apparaissent lors de la mise en place de la deuxième loi du mouvement de Newton dans un référentiel en rotation. Ici, ces termes supplémentaires sont souvent appelés forces fictives ; fictifs car ils sont simplement le résultat d'un changement de cadre de coordonnées. Cela ne veut pas dire qu'ils n'existent pas, mais qu'ils n'existent que dans le référentiel tournant.
Cadre co-rotatif
Pour une particule en mouvement planaire, une approche pour attacher une signification physique à ces termes est basée sur le concept d'un cadre de référence co-rotatif instantané . Pour définir un référentiel co-rotatif, on sélectionne d'abord une origine à partir de laquelle la distance r ( t ) à la particule est définie. Un axe de rotation est mis en place qui est perpendiculaire au plan de mouvement de la particule, et passant par cette origine. Puis, à l'instant t choisi , la vitesse de rotation du référentiel co-rotatif est amenée à correspondre à la vitesse de rotation de la particule autour de cet axe, dφ / dt . Ensuite, les termes de l'accélération dans le référentiel inertiel sont liés à ceux du référentiel co-rotatif. Soit l'emplacement de la particule dans le repère inertiel soit ( r ( t ), φ ( t )), et dans le cadre de la co-rotation soit ( r (t), φ '(t) ). Parce que le cadre co-rotatif tourne à la même vitesse que la particule, dφ ′/ dt = 0. La force centrifuge fictive dans le cadre co-rotatif est mrΩ 2 , radialement vers l'extérieur. La vitesse de la particule dans le référentiel co-rotatif est également radialement vers l'extérieur, car dφ ′/ dt = 0. La force de Coriolis fictive a donc une valeur −2 m ( dr / dt )Ω, pointée dans le sens de l'augmentation de φ seulement . Ainsi, en utilisant ces forces dans la deuxième loi de Newton, nous trouvons :
où sur les points représentent les différenciations temporelles, et F est la force réelle nette (par opposition aux forces fictives). En termes de composantes, cette équation vectorielle devient :
qui peut être comparé aux équations du référentiel inertiel :
Cette comparaison, plus la reconnaissance que par la définition du référentiel co-rotatif à l'instant t il a une vitesse de rotation Ω = dφ / dt , montre que nous pouvons interpréter les termes dans l'accélération (multipliée par la masse de la particule) que l'on trouve dans le référentiel inertiel comme le négatif des forces centrifuges et de Coriolis qui seraient vues dans le référentiel co-rotatif instantané et non inertiel.
Pour le mouvement général d'une particule (par opposition au mouvement circulaire simple), les forces centrifuges et de Coriolis dans le cadre de référence d'une particule se réfèrent généralement au cercle osculateur instantané de son mouvement, et non à un centre fixe de coordonnées polaires. Pour plus de détails, voir force centripète .
Géométrie différentielle
Dans la terminologie moderne de la géométrie différentielle , fournissent des coordonnées polaires de coordonnées graphiques pour la variété différentiable ℝ 2 \ {(0,0)}, le plan moins l'origine. Dans ces coordonnées, le tenseur métrique euclidien est donné par
Extensions en 3D
Le système de coordonnées polaires est étendu en trois dimensions avec deux systèmes de coordonnées différents, le système de coordonnées cylindrique et sphérique .
Applications
Les coordonnées polaires sont bidimensionnelles et ne peuvent donc être utilisées que lorsque les positions des points se trouvent sur un seul plan bidimensionnel. Ils sont les plus appropriés dans tout contexte où le phénomène considéré est intrinsèquement lié à la direction et à la longueur à partir d'un point central. Par exemple, les exemples ci-dessus montrent comment les équations polaires élémentaires suffisent à définir des courbes - comme la spirale d'Archimède - dont l'équation dans le système de coordonnées cartésiennes serait beaucoup plus complexe. De plus, de nombreux systèmes physiques, tels que ceux qui concernent les corps se déplaçant autour d'un point central ou les phénomènes provenant d'un point central, sont plus simples et plus intuitifs à modéliser à l'aide de coordonnées polaires. La motivation initiale pour l'introduction du système polaire était l'étude du mouvement circulaire et orbital .
Les coordonnées polaires sont souvent utilisées dans la navigation car la destination ou la direction du voyage peut être donnée sous forme d'angle et de distance par rapport à l'objet considéré. Par exemple, les avions utilisent une version légèrement modifiée des coordonnées polaires pour la navigation. Dans ce système, celui généralement utilisé pour toute sorte de navigation, le rayon 0° est généralement appelé cap 360, et les angles continuent dans le sens des aiguilles d'une montre, plutôt que dans le sens inverse, comme dans le système mathématique. Le cap 360 correspond au nord magnétique , tandis que les caps 90, 180 et 270 correspondent respectivement à l'est, au sud et à l'ouest magnétiques. Ainsi, un aéronef parcourant 5 milles nautiques plein Est parcourra 5 unités au cap 90 (lu zéro-neuf-zéro par le contrôle aérien ).
La modélisation
Les systèmes affichant une symétrie radiale fournissent des paramètres naturels pour le système de coordonnées polaires, le point central faisant office de pôle. Un excellent exemple de cette utilisation est l' équation d'écoulement des eaux souterraines lorsqu'elle est appliquée à des puits à symétrie radiale. Les systèmes avec une force radiale sont également de bons candidats pour l'utilisation du système de coordonnées polaires. Ces systèmes comprennent des champs gravitationnels , qui obéissent à la loi de l' inverse des carrés , ainsi que des systèmes avec des sources ponctuelles , telles que des antennes radio .
Les systèmes radialement asymétriques peuvent également être modélisés avec des coordonnées polaires. Par exemple, un microphone « s motif capteur illustre sa réponse proportionnelle à un son entrant à partir d' une direction donnée, et ces motifs peuvent être représentés sous forme de courbes polaires. La courbe pour un microphone cardioïde standard, le plus commun microphone unidirectionnel, peut être représentée par r = 0,5 + 0.5sin ( φ ) à sa fréquence de conception cible. Le modèle se déplace vers l'omnidirectionnalité à des fréquences plus basses.
Voir également
- Coordonnées curvilignes
- Liste des transformations de coordonnées canoniques
- Coordonnées log-polaires
- Décomposition polaire
- Cercle unité
Les références
Références générales
- Adams, Robert ; Christophe Essex (2013). Calcul : un cours complet (Huitième éd.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
- Anton, Howard ; Irl Bivens; Stephen Davis (2002). Calcul (septième éd.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
- Finney, Ross; George Thomas ; Franklin Demana; Bert Waits (juin 1994). Calcul : graphique, numérique, algébrique (édition de la version à variable unique). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.