Équation algébrique -Algebraic equation

En mathématiques , une équation algébrique ou équation polynomiale est une équation de la forme

${\style d'affichage P=0}$

où P est un polynôme à coefficients dans un domaine , souvent le domaine des nombres rationnels . Pour de nombreux auteurs, le terme équation algébrique désigne uniquement les équations univariées , c'est-à-dire les équations polynomiales ne faisant intervenir qu'une seule variable . En revanche, une équation polynomiale peut faire intervenir plusieurs variables. Dans le cas de plusieurs variables ( cas multivarié ), le terme équation polynomiale est généralement préféré à équation algébrique .

Par exemple,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

est une équation algébrique à coefficients entiers et

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0}$

est une équation polynomiale multivariée sur les rationnels.

Certaines équations polynomiales à coefficients rationnels , mais pas toutes , ont une solution qui est une expression algébrique qui peut être trouvée à l'aide d'un nombre fini d'opérations qui n'impliquent que ces mêmes types de coefficients (c'est-à-dire qui peuvent être résolues algébriquement ). Cela peut être fait pour toutes ces équations de degré un, deux, trois ou quatre; mais pour le degré cinq ou plus, cela ne peut être fait que pour certaines équations, pas toutes . De nombreuses recherches ont été consacrées à calculer efficacement des approximations précises des solutions réelles ou complexes d'une équation algébrique univariée (voir Algorithme de recherche de racine ) et des solutions communes de plusieurs équations polynomiales multivariées (voir Système d'équations polynomiales ).

Terminologie

Le terme « équation algébrique » date de l'époque où le principal problème de l' algèbre était de résoudre des équations polynomiales univariées . Ce problème a été complètement résolu au cours du 19e siècle; voir théorème fondamental de l'algèbre , théorème d' Abel-Ruffini et théorie de Galois .

Depuis lors, la portée de l'algèbre s'est considérablement élargie. Il comprend notamment l'étude d'équations faisant intervenir des racines n ièmes et, plus généralement, d' expressions algébriques . Cela rend le terme équation algébrique ambigu en dehors du contexte de l'ancien problème. Ainsi, le terme équation polynomiale est généralement préféré lorsque cette ambiguïté peut se produire, en particulier lorsque l'on considère des équations multivariées.

Histoire

L'étude des équations algébriques est probablement aussi ancienne que les mathématiques : les mathématiciens babyloniens , dès 2000 av. J.-C., pouvaient résoudre certaines sortes d' équations quadratiques (affichées sur des tablettes d'argile babyloniennes anciennes ).

Les équations algébriques univariées sur les rationnels (c'est-à-dire avec des coefficients rationnels ) ont une très longue histoire. Les anciens mathématiciens voulaient les solutions sous forme d' expressions radicales , comme pour la solution positive de . Les anciens Égyptiens savaient résoudre les équations de degré 2 de cette manière. Le mathématicien indien Brahmagupta (597–668 après JC) a décrit explicitement la formule quadratique dans son traité Brāhmasphuṭasiddhānta publié en 628 après JC, mais écrit en mots au lieu de symboles. Au IXe siècle , Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi et d'autres mathématiciens islamiques ont dérivé la formule quadratique , la solution générale des équations de degré 2, et ont reconnu l'importance du discriminant . A la Renaissance en 1545, Gerolamo Cardano publie la solution de Scipione del Ferro et Niccolò Fontana Tartaglia aux équations de degré 3 et celle de Lodovico Ferrari aux équations de degré 4 . Enfin Niels Henrik Abel prouva, en 1824, que les équations de degré 5 et plus n'ont pas de solutions générales utilisant des radicaux. La théorie de Galois , du nom d' Évariste Galois , a montré que certaines équations d'au moins le degré 5 n'ont même pas de solution idiosyncrasique en radicaux, et a donné des critères pour décider si une équation est en fait résoluble en utilisant des radicaux. ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

Domaines d'étude

Les équations algébriques sont à la base d'un certain nombre de domaines des mathématiques modernes : La théorie algébrique des nombres est l'étude des équations algébriques (univariées) sur les rationnels (c'est-à-dire avec des coefficients rationnels ). La théorie de Galois a été introduite par Évariste Galois pour spécifier des critères permettant de décider si une équation algébrique peut être résolue en termes de radicaux. En théorie des champs , une extension algébrique est une extension telle que chaque élément est une racine d'une équation algébrique sur le champ de base. La théorie transcendantale des nombres est l'étude des nombres réels qui ne sont pas des solutions d'une équation algébrique sur les rationnels. Une équation diophantienne est une équation polynomiale (généralement multivariée) à coefficients entiers dont on s'intéresse aux solutions entières. La géométrie algébrique est l'étude des solutions dans un corps algébriquement clos d'équations polynomiales multivariées.

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions . En particulier, l'équation est équivalente à . Il s'ensuit que l'étude des équations algébriques équivaut à l'étude des polynômes. ${\displaystyle P=Q}$${\displaystyle PQ=0}$

Une équation polynomiale sur les rationnels peut toujours être convertie en une équation équivalente dans laquelle les coefficients sont des entiers . Par exemple, en multipliant par 42 = 2·3·7 et en regroupant ses termes dans le premier membre, l'équation polynomiale mentionnée précédemment devient ${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}$

Puisque sinus , exponentiation et 1/ T ne sont pas des fonctions polynomiales,

${\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}$

n'est pas une équation polynomiale dans les quatre variables x , y , z et T sur les nombres rationnels. Cependant, c'est une équation polynomiale dans les trois variables x , y et z sur le corps des fonctions élémentaires dans la variable T .

Théorie

Polynômes

Étant donné une équation en x inconnu

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$,

à coefficients dans un corps K , on peut dire de manière équivalente que les solutions de (E) dans K sont les racines dans K du polynôme

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X] }$.

On peut montrer qu'un polynôme de degré n dans un corps a au plus n racines. L'équation (E) a donc au plus n solutions.

Si K' est une extension de champ de K , on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans K et les solutions de (E) dans K sont aussi des solutions dans K' (la réciproque n'est pas vraie en général). Il est toujours possible de trouver une extension de corps de K appelée corps de rupture du polynôme P , dans lequel (E) admet au moins une solution.

Existence de solutions aux équations réelles et complexes

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que le champ des nombres complexes est fermé algébriquement, c'est-à-dire que toutes les équations polynomiales à coefficients complexes et degré au moins un ont une solution.

Il s'ensuit que toutes les équations polynomiales de degré 1 ou plus à coefficients réels ont une solution complexe . Par contre, une équation telle que n'a pas de solution dans (les solutions sont les unités imaginaires i et –i ). ${\displaystyle x^{2}+1=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Alors que les solutions réelles des équations réelles sont intuitives (ce sont les abscisses des points où la courbe y = P ( x ) coupe l' axe des x ), l'existence de solutions complexes aux équations réelles peut être surprenante et moins facile à appréhender. visualiser.

Cependant, un polynôme unitaire de degré impair doit nécessairement avoir une racine réelle. La fonction polynomiale associée en x est continue, et elle s'approche lorsque x s'approche et lorsque x s'approche de . D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il doit donc prendre la valeur zéro à un réel x , qui est alors une solution de l'équation polynomiale. ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle +\infty}$

Lien avec la théorie de Galois

Il existe des formules donnant les solutions de polynômes réels ou complexes de degré inférieur ou égal à quatre en fonction de leurs coefficients. Abel a montré qu'il n'est pas possible de trouver une telle formule en général (en n'utilisant que les quatre opérations arithmétiques et en prenant les racines) pour les équations de degré cinq ou plus. La théorie de Galois fournit un critère qui permet de déterminer si la solution d'une équation polynomiale donnée peut être exprimée à l'aide de radicaux.

Solution explicite d'équations numériques

Approcher

La solution explicite d'une équation réelle ou complexe de degré 1 est triviale. Résoudre une équation de degré n supérieur revient à factoriser le polynôme associé, c'est-à-dire à réécrire (E) sous la forme

${\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0}$,

où les solutions sont alors les . Le problème est alors d'exprimer le en termes de . ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

Cette approche s'applique plus généralement si les coefficients et les solutions appartiennent à un domaine intégral .

Technique générale

Affacturage

Si une équation P ( x ) = 0 de degré n a une racine rationnelle α , le polynôme associé peut être factorisé pour donner la forme P ( X ) = ( X – α) Q ( X ) (en divisant P ( X ) par X – α ou en écrivant P ( X ) – P (α) comme une combinaison linéaire de termes de la forme X ^k – α ^k , et en factorisant X – α Résoudre P ( x ) = 0 revient donc à résoudre le degré n – 1 équation Q ( x ) = 0. Voir par exemple le cas n = 3 .

Élimination du terme sous-dominant

Pour résoudre une équation de degré n ,

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$,

une étape préliminaire courante consiste à éliminer le terme degré -n - 1 : en posant , l'équation (E) devient ${\displaystyle x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}}$

${\displaystyle a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}x+b_{0}=0}$.

Leonhard Euler a développé cette technique pour le cas n = 3 mais elle est également applicable au cas n = 4 , par exemple.

Équations du second degré

Pour résoudre une équation quadratique de la forme on calcule le discriminant Δ défini par . ${\displaystyle hache^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle\Delta =b^{2}-4ac}$

Si le polynôme a des coefficients réels, il a :

• deux racines réelles distinctes si  ;${\displaystyle \Delta >0}$
• une vraie racine double si  ;${\displaystyle\Delta =0}$
• pas de racine réelle si , mais deux racines conjuguées complexes.${\displaystyle \Delta <0}$

Équations cubiques

La méthode la plus connue pour résoudre des équations cubiques, en écrivant les racines en termes de radicaux, est la formule de Cardano .

Équations quartiques

Pour des discussions détaillées sur certaines méthodes de résolution, voir :

• Transformation de Tschirnhaus (méthode générale, succès non garanti);
• Méthode Bezout (méthode générale, sans garantie de succès);
• Méthode Ferrari (solutions pour le degré 4) ;
• méthode d'Euler (solutions pour le degré 4) ;
• méthode de Lagrange (solutions pour le degré 4) ;
• méthode de Descartes (solutions pour le degré 2 ou 4) ;

Une équation quartique avec peut être réduite à une équation quadratique par un changement de variable à condition qu'elle soit biquadratique ( b = d = 0 ) ou quasi-palindromique ( e = a , d = b ). ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}$${\displaystyle a\neq 0}$

Certaines équations cubiques et quartiques peuvent être résolues à l'aide de fonctions trigonométriques ou hyperboliques .

Équations de degré supérieur

Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont montré indépendamment qu'en général un polynôme de degré 5 ou plus n'est pas résoluble à l'aide de radicaux. Certaines équations particulières ont des solutions, telles que celles associées aux polynômes cyclotomiques de degrés 5 et 17.

Charles Hermite , quant à lui, a montré que les polynômes de degré 5 peuvent être résolus à l'aide de fonctions elliptiques .

Sinon, on peut trouver des approximations numériques des racines en utilisant des algorithmes de recherche de racine , comme la méthode de Newton .

Voir également

• Fonction algébrique
• Nombre algébrique
• Recherche de racine
• Équation linéaire (degré = 1)
• Équation quadratique (degré = 2)
• Équation cubique (degré = 3)
• Équation quartique (degré = 4)
• Équation quintique (degré = 5)
• Équation sextique (degré = 6)
• Équation septique (degré = 7)
• Système d'équations linéaires
• Système d'équations polynomiales
• Équation diophantienne linéaire
• Équation linéaire sur un anneau
• Théorème de Cramer (courbes algébriques) , sur le nombre de points généralement suffisant pour déterminer une courbe bivariée du n -ième degré

Les références

• "Équation algébrique" , ​​Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Équation algébrique" . MathWorld .