Prisme (géométrie) - Prism (geometry)
Ensemble de prismes uniformes n- gonaux | |
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Exemple de prisme hexagonal uniforme |
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Taper | uniforme au sens de polyèdre semi- régulier |
Notation de polyèdre de Conway | P n |
Visages | 2 { n } + n {4} |
Bords | 3 n |
Sommets | 2 n |
Symbole Schläfli | { n }×{} ou t {2, n } |
Diagramme de Coxeter | |
Configuration des sommets | 4.4. m |
Groupe Symétrie | D n h , [ n ,2], (* n 22), ordre 4 n |
Groupe de rotation | D n , [ n ,2] + , ( n 22), ordre 2 n |
Double polyèdre | bipyramide n- gonale convexe double uniforme |
Propriétés | convexe, faces polygonales régulières , sommet-transitif , bases translatées, côtés ⊥ bases |
Exemple de filet à prisme enneagonal uniforme ( n = 9) |
En géométrie , un prisme est un polyèdre comprenant une base polygonale à n côtés , une seconde base qui est une copie translatée (déplacée rigidement sans rotation) de la première, et n autres faces , nécessairement toutes parallélogrammes , joignant les côtés correspondants des deux bases . Toutes les sections transversales parallèles aux bases sont des translations des bases. Les prismes sont nommés d'après leurs bases; exemple : un prisme à base pentagonale est appelé prisme pentagonal. Les prismes sont une sous-classe de prismatoïdes .
Comme beaucoup de termes géométriques de base, le mot prisme ( grec : πρίσμα , romanisé : prisma , lit. « quelque chose de scié ») a été utilisé pour la première fois dans les éléments d'Euclide . Euclide a défini le terme dans le livre XI comme « une figure solide contenue par deux plans opposés, égaux et parallèles, tandis que les autres sont des parallélogrammes ». Cependant, cette définition a été critiquée pour ne pas être assez spécifique par rapport à la nature des bases, ce qui a causé une confusion parmi les auteurs de géométrie ultérieurs.
Prisme oblique
Un prisme oblique est un prisme dans lequel les bords et les faces de jonction ne sont pas perpendiculaires aux faces de base.
Exemple : un parallélépipède est un prisme oblique dont la base est un parallélogramme , ou de manière équivalente un polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes.
Prisme droit, prisme uniforme
Prisme droit
Un prisme droit est un prisme dans lequel les arêtes et les faces de jonction sont perpendiculaires aux faces de base. Ceci s'applique si toutes les faces jointes sont rectangulaires .
Le double d'un droit n -prism est un droit n - bipyramide .
Un prisme droit (avec des côtés rectangulaires) avec des bases régulières de n -gones a le symbole de Schläfli { }×{ n }. Il se rapproche d'un solide cylindrique lorsque n tend vers l' infini .
Cas spéciaux
- Un prisme rectangulaire droit (avec une base rectangulaire) est également appelé un cuboïde , ou officieusement une boîte rectangulaire . Un prisme rectangulaire droit a le symbole de Schläfli { }×{ }×{ }.
- Un prisme carré droit (avec une base carrée) est également appelé un cuboïde carré , ou officieusement une boîte carrée .
Remarque : certains textes peuvent appliquer le terme prisme rectangulaire ou prisme carré à la fois à un prisme à base rectangulaire droit et à un prisme à base carrée droit.
Prisme uniforme
Un prisme uniforme ou prisme semi - régulier est un prisme droit avec des bases régulières et des côtés carrés , puisque de tels prismes sont dans l'ensemble des polyèdres uniformes .
Un prisme n -gonal uniforme a le symbole de Schläfli t{2, n }.
Des prismes droits à bases régulières et de longueurs d'arêtes égales forment l'une des deux séries infinies de polyèdres semi-réguliers , l'autre série étant des antiprismes .
Nom du prisme | Prisme diagonal | (Trigonal) Prisme triangulaire |
(Tétragonal) Prisme carré |
Prisme pentagonal | Prisme hexagonal | Prisme heptagonal | Prisme octogonal | Prisme ennéagonal | Prisme décagonal | Prisme hendécagonal | Prisme dodécagonal | ... | Prisme apérogonal |
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Image polyèdre | ... | ||||||||||||
Image de carrelage sphérique | Image de carrelage plan | ||||||||||||
Configuration des sommets. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | .4.4 |
Diagramme de Coxeter | ... |
Le volume
Le volume d'un prisme est le produit de l' aire de la base et de la distance entre les deux faces de la base, ou la hauteur (dans le cas d'un prisme non droit, notez qu'il s'agit de la distance perpendiculaire).
Le volume est donc :
où B est la surface de base et h est la hauteur. Le volume d'un prisme dont la base est un n à flancs polygone régulier avec des côtés de longueur s est donc:
Superficie
La surface aire d'un prisme droit est la suivante :
où B est l'aire de la base, h la hauteur et P le périmètre de la base .
La surface d'un prisme droit dont la base est un habitué n à flancs polygone avec des côtés de longueur s et la hauteur h est donc:
Diagrammes de Schlegel
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
Symétrie
Le groupe de symétrie d'un prisme droit à n côtés de base régulière est D n h d'ordre 4 n , sauf dans le cas d'un cube, qui a le plus grand groupe de symétrie O h d'ordre 48, qui a trois versions de D 4h comme sous-groupes . Le groupe de rotation est D n d'ordre 2 n , sauf dans le cas d'un cube, qui a le plus grand groupe de symétrie O d'ordre 24, qui a trois versions de D 4 comme sous-groupes.
Le groupe de symétrie D n h contient une inversion ssi n est pair.
Les hosohèdres et les dièdres possèdent également une symétrie dièdre, et un prisme n -gonal peut être construit via la troncature géométrique d'un hosohèdre n -gonal, ainsi que par la cantellation ou l' expansion d'un dièdre n -gonal.
Prisme tronqué
Un prisme tronqué est un prisme avec des faces supérieure et inférieure non parallèles .
Prisme tordu
Un prisme torsadé est un polyèdre non convexe construit à partir d'un n -prisme uniforme avec chaque face latérale coupée en deux sur la diagonale carrée, en tordant le haut, généralement parπ/m radians (180/m degrés) dans la même direction, provoquant des côtés concaves.
Un prisme tordu ne peut pas être disséqué en tétraèdres sans ajouter de nouveaux sommets. Le cas le plus petit : la forme triangulaire, est appelé polyèdre de Schönhardt .
Un prisme torsadé n -gonal est topologiquement identique à l' antiprisme uniforme n -gonal , mais a la moitié du groupe de symétrie : D n , [ n ,2] + , d'ordre 2 n . Il peut être vu comme un antiprisme non convexe, avec des tétraèdres supprimés entre des paires de triangles.
3-gonal | 4-gonal | 12-gonal | |
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polyèdre de Schönhardt |
Prisme carré torsadé |
Antiprisme carré |
Antiprisme dodécagonal tordu |
Frustum
Un tronc de cône est une construction similaire à un prisme, avec des faces latérales trapézoïdales et des polygones supérieurs et inférieurs de tailles différentes.
prisme étoilé
Un prisme en étoile est un polyèdre non convexe construit par deux faces polygonales en étoile identiques en haut et en bas, parallèles et décalées d'une distance et reliées par des faces rectangulaires. Un prisme étoilé uniforme aura le symbole de Schläfli { p / q } × { }, avec p rectangle et 2 { p / q } faces. Il est topologiquement identique à un prisme p- gonal.
{ }×{ } 180 ×{ } | t un {3}×{ } | {5/2}×{ } | {7/2}×{ } | {7/3}×{ } | {8//3}×{ } | |
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J 2h , commande 8 | J 3h , commande 12 | J 5h , commande 20 | J 7h , commande 28 | J 8h , commande 32 | ||
Prisme croisé
Un prisme croisé est un polyèdre non convexe construit à partir d'un prisme, où les sommets d'une base sont inversés autour du centre de cette base (ou tournés de 180°). Cela transforme les faces rectangulaires latérales en rectangles croisés . Pour une base de polygone régulier, l'apparence est un n -gonal sablier . Tous les bords obliques passent par un seul centre de corps. Remarque : aucun sommet ne se trouve à ce centre du corps. Un prisme croisé est topologiquement identique à un prisme n- gonal.
{ }×{ } 180 ×{ } 180 | t a {3}×{ } 180 | {3}×{ } 180 | {4}×{ } 180 | {5}×{ } 180 | {5/2}×{ } 180 | {6}×{ } 180 | |
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J 2h , commande 8 | D 3d , ordre 12 | J 4h , commande 16 | D 5d , ordre 20 | D 6d , ordre 24 | |||
Prisme toroïdal
Un prisme toroïdal est un polyèdre non convexe comme un prisme croisé , mais sans faces de base inférieure et supérieure, et avec de simples faces latérales rectangulaires fermant le polyèdre. Cela ne peut être fait que pour les polygones de base à côtés pairs. Ce sont des tores topologiques, avec Euler caractéristique de zéro. Le réseau polyédrique topologique peut être découpé dans deux rangées d'un pavage carré (avec configuration de sommets 4.4.4.4 ) : une bande de n carrés, chacun attaché à un rectangle croisé . Un prisme toroïdal n- gonal a 2 n sommets, 2 n faces : n carrés et n rectangles croisés, et 4 n arêtes. Il est topologiquement auto-dual .
J 4h , commande 16 | J 6h , commande 24 |
v =8, e =16, f =8 | v =12, e =24, f =12 |
Polytope prismatique
Un polytope prismatique est une généralisation de dimension supérieure d'un prisme. Un polytope prismatique à n dimensions est construit à partir de polytopes à deux ( n − 1 ) dimensions, traduits dans la dimension suivante.
Les éléments prismatiques n -polytopes sont doublés à partir des éléments ( n − 1 )-polytopes, puis en créant de nouveaux éléments à partir de l'élément inférieur suivant.
Prenons un n -polytope avec f i i -face éléments ( i = 0, ..., n ). Son prisme ( n + 1 )-polytope aura 2 f i + f i -1 i éléments de face. (Avec f −1 = 0 , f n = 1 .)
Par dimension :
- Prenons un polygone à n sommets, n arêtes. Son prisme a 2 n sommets, 3 n arêtes et 2 + n faces.
- Prenons un polyèdre avec v sommets, e arêtes et f faces. Son prisme a 2 sommets v , 2 arêtes e + v , 2 faces f + e et 2 + f cellules.
- Prenons un polychore avec v sommets, e arêtes, f faces et c cellules. Son prisme a 2 sommets v , 2 arêtes e + v , 2 faces f + e , 2 cellules c + f et 2 + c hypercellules.
Polytope prismatique uniforme
Un n- polytope régulier représenté par le symbole de Schläfli { p , q , ..., t } peut former un ( n + 1 )-polytope prismatique uniforme représenté par un produit cartésien de deux symboles de Schläfli : { p , q , ... , t }×{}.
Par dimension :
- Un prisme 0-polytopique est un segment de droite , représenté par un symbole de Schläfli vide {}.
- Un prisme 1-polytopique est un rectangle , composé de 2 segments de droite translatés. Il est représenté par le produit Schläfli symbole {}×{}. S'il est carré , la symétrie peut être réduite : {}×{} = {4}.
- Un prisme polygonal est un prisme tridimensionnel composé de deux polygones translatés reliés par des rectangles. Un polygone régulier { p } peut construire un prisme n -gonal uniforme représenté par le produit { p }×{}. Si p = 4 , avec une symétrie des côtés carrés il devient un cube : {4}×{} = {4, 3}.
- Exemple : Prisme pentagonal , {5}×{}, deux pentagones parallèles reliés par 5 côtés rectangulaires .
- Un prisme polyédrique est un prisme à 4 dimensions composé de deux polyèdres traduits reliés par des cellules de prisme à 3 dimensions. Un polyèdre régulier { p , q } peut construire le prisme polychorique uniforme, représenté par le produit { p , q }×{}. Si le polyèdre est un cube, et les côtés sont des cubes, il devient un tesseract : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Exemple : Prisme dodécaédrique , {5, 3}×{}, deux dodécaèdres parallèles reliés par 12 côtés de prisme pentagonaux .
- ...
Des polytopes prismatiques d'ordre supérieur existent également en tant que produits cartésiens de deux polytopes quelconques. La dimension d'un produit polytope est le produit des dimensions de ses éléments. Les premiers exemples existent dans l'espace à 4 dimensions ; ils sont appelés duoprismes en tant que produit de deux polygones. Les duoprismes réguliers sont représentés par { p }×{ q }.
Voir également
Les références
- Anthony Pugh (1976). Polyèdres : Une approche visuelle . Californie : University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapitre 2 : Polyèdres d'Archimède, prismes et antiprismes
Liens externes
- Weisstein, Eric W. "Prisme" . MathWorld .
- Maquettes papier de prismes et antiprismes Filets gratuits de prismes et antiprismes
- Maquettes papier de prismes et antiprismes Utilisation de filets générés par Stella