Topologie du produit - Product topology

En topologie et domaines connexes des mathématiques , un espace produit est le produit cartésien d'une famille d' espaces topologiques dotés d'une topologie naturelle appelée topologie produit . Cette topologie diffère d'une autre topologie, peut-être plus évidente, appelée topologie boîte , qui peut également être donnée à un espace produit et qui s'accorde avec la topologie produit lorsque le produit ne couvre qu'un nombre fini d'espaces. Cependant, la topologie produit est "correcte" en ce qu'elle fait de l'espace produit un produit catégoriel de ses facteurs, alors que la topologie boîte est trop fine ; en ce sens la topologie produit est la topologie naturelle sur le produit cartésien.

Définition

Tout au long, il y aura un ensemble d'index non vide et pour chaque index sera un espace topologique . Laisser

être le produit cartésien des ensembles et désigner les projections canoniques par La topologie produit , parfois appelée topologie de Tychonoff , sur est définie comme étant la topologie la plus grossière (c'est-à-dire la topologie avec le moins d'ensembles ouverts) pour laquelle toutes les projections sont continues . Le produit cartésien doté de la topologie produit est appelé l' espace produit . La topologie produit est aussi appelée topologie de convergence ponctuelle à cause du fait suivant : une suite (ou filet ) dans converge si et seulement si toutes ses projections vers les espaces convergent. En particulier, si l'on considère l'espace de toutes les fonctions à valeurs réelles sur la convergence dans la topologie du produit est le même que la convergence ponctuelle des fonctions.

Les ensembles ouverts dans la topologie produit sont des unions (finies ou infinies) d'ensembles de la forme où chacun est ouvert dans et pour un nombre fini seulement En particulier, pour un produit fini (en particulier, pour le produit de deux espaces topologiques), le ensemble de tous les produits cartésiens entre un élément de base de chacun donne une base pour la topologie du produit de C'est-à-dire, pour un produit fini, l'ensemble de tous où est un élément de la base (choisie) de est une base pour la topologie du produit de

La topologie du produit sur est la topologie générée par les ensembles de la forme où et est un sous-ensemble ouvert de En d'autres termes, les ensembles

forment une sous- base pour la topologie sur Un sous - ensemble de est ouvert si et seulement s'il s'agit d'une union (éventuellement infinie) d' intersections d'un nombre fini d'ensembles de la forme Les sont parfois appelés cylindres ouverts , et leurs intersections sont des ensembles de cylindres .

Le produit des topologies de chacun forme une base pour ce que l'on appelle la topologie boîte sur En général, la topologie boîte est plus fine que la topologie produit, mais pour les produits finis elles coïncident.

Exemples

Si la droite réelle est dotée de sa topologie standard alors la topologie produit sur le produit de copies de topologie euclidienne ordinaire sur

L' ensemble de Cantor est homéomorphe au produit d'un nombre dénombrable de copies de l' espace discret et l'espace des nombres irrationnels est homéomorphe au produit d'un nombre dénombrable de copies des nombres naturels , où à nouveau chaque copie porte la topologie discrète.

Plusieurs exemples supplémentaires sont donnés dans l'article sur la topologie initiale .

Propriétés

L'espace produit avec les projections canoniques, peut être caractérisé par la propriété universelle suivante : Si est un espace topologique, et pour tout est une application continue, alors il existe précisément une application continue telle que pour chacune le diagramme suivant commute :

Propriété caractéristique des espaces produits

Cela montre que l'espace produit est un produit de la catégorie des espaces topologiques . Il résulte de la propriété universelle ci-dessus qu'une application est continue si et seulement si est continue pour tous Dans de nombreux cas, il est plus facile de vérifier que les fonctions composantes sont continues. Vérifier si une carte est continue est généralement plus difficile ; on essaie d'utiliser le fait que les sont continus en quelque sorte.

En plus d'être continues, les projections canoniques sont des cartes ouvertes . Cela signifie que tout ouvert de l'espace produit reste ouvert quand il est projeté jusqu'au La réciproque est vraie: si est un sous - espace de l'espace produit dont les projections vers le bas pour tous les sont ouverts, puis n'a pas besoin d' être ouvert (pensez par exemple ) Les projections canoniques ne sont généralement pas des cartes fermées (considérons par exemple l'ensemble fermé dont les projections sur les deux axes sont ).

Supposons que est un produit de sous-ensembles arbitraires, où pour chaque Si tous sont non vides, alors est un sous-ensemble fermé de l'espace produit si et seulement si chaque est un sous-ensemble fermé de Plus généralement, la fermeture du produit de sous-ensembles arbitraires dans le produit l'espace est égal au produit des fermetures :

Tout produit d' espaces de Hausdorff est à nouveau un espace de Hausdorff.

Le théorème de Tychonoff , qui est équivalent à l' axiome du choix , énonce que tout produit d' espaces compacts est un espace compact. Une spécialisation du théorème de Tychonoff qui ne nécessite que le lemme de l'ultrafiltre (et non la pleine force de l'axiome de choix) déclare que tout produit d' espaces de Hausdorff compacts est un espace compact.

Si est fixe alors l'ensemble

est un sous-ensemble dense de l'espace produit .

Relation avec d'autres notions topologiques

Séparation
Compacité
  • Tout produit d'espaces compacts est compact ( théorème de Tychonoff )
  • Un produit d' espaces localement compacts n'a pas besoin d' être localement compact. Cependant, un produit arbitraire d'espaces localement compacts où tous sauf un nombre fini sont compacts est localement compact (cette condition est suffisante et nécessaire).
Connectivité
  • Chaque produit de connecté espaces (resp. Connectée chemin) est relié (resp chemin connecté.)
  • Chaque produit d'espaces héréditairement déconnectés est héréditairement déconnecté.
Espaces métriques

Axiome du choix

L'une des nombreuses façons d'exprimer l' axiome du choix est de dire qu'il équivaut à l'énoncé que le produit cartésien d'une collection d'ensembles non vides est non vide. La preuve que cela équivaut à l'énoncé de l'axiome en termes de fonctions de choix est immédiate : il suffit de choisir un élément dans chaque ensemble pour trouver un représentant dans le produit. A l'inverse, un représentant du produit est un ensemble qui contient exactement un élément de chaque composant.

L'axiome du choix se retrouve dans l'étude des espaces produits (topologiques) ; par exemple, le théorème de Tychonoff sur les ensembles compacts est un exemple plus complexe et subtil d'un énoncé qui nécessite l'axiome du choix et lui est équivalent dans sa formulation la plus générale, et montre pourquoi la topologie du produit peut être considérée comme la topologie la plus utile à mettre sur un produit cartésien.

Voir également

Remarques

Les références