Preuves liées à la distribution du chi carré - Proofs related to chi-squared distribution

Ce qui suit sont des preuves de plusieurs caractéristiques liées à la distribution du chi carré .

Dérivations du pdf

Dérivation du pdf pour un degré de liberté

Soit la variable aléatoire Y définie par Y = X ² où X a une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance 1 (c'est-à-dire X  ~  N (0,1)).

Puis,
${\ displaystyle {\ begin {Alignat} {2} {\ text {for}} ~ y <0, & ~~ P (Y <y) = 0 ~~ {\ text {et}} \\ {\ text { pour}} ~ y \ geq 0, & ~~ P (Y <y) = P (X ^ {2} <y) = P (| X | <{\ sqrt {y}}) = P (- {\ sqrt {y}} <X <{\ sqrt {y}}) \\ ~~ & = F_ {X} ({\ sqrt {y}}) - F_ {X} (- {\ sqrt {y}}) = F_ {X} ({\ sqrt {y}}) - (1-F_ {X} ({\ sqrt {y}})) = 2F_ {X} ({\ sqrt {y}}) - 1 \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} f_ {Y} (y) & = 2 {\ frac {d} {dy}} F_ {X} ({\ sqrt {y}}) - 0 = 2 {\ frac { d} {dy}} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ sqrt {y}} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {\ frac {-t ^ {2}} {2}} dt \ right) \\ & = 2 {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}}} ({ \ sqrt {y}}) '_ {y} = 2 {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} {\ sqrt {\ pi}}}} e ^ {- {\ frac {y} {2 }}} \ left ({\ frac {1} {2}} y ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ right) = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} y ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}}} \ end {aligné}}}$

Où et sont les cdf et pdf des variables aléatoires correspondantes. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$

Puis ${\ displaystyle Y = X ^ {2} \ sim \ chi _ {1} ^ {2}.}$

Preuve alternative directement en utilisant le changement de formule variable

Le changement de formule variable (implicitement dérivée ci-dessus), pour une transformation monotone , est: ${\ Displaystyle y = g (x)}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ sum _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {dg_ {i} ^ {- 1 } (y)} {dy}} \ right |.}$

Dans ce cas, le changement n'est pas monotone, car chaque valeur de a deux valeurs correspondantes de (une positive et négative). Cependant, en raison de la symétrie, les deux moitiés se transformeront de manière identique, c'est-à-dire ${\ displaystyle \ scriptstyle Y}$${\ displaystyle \ scriptstyle X}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {dg ^ {- 1} (y)} {dy}} \ right | .}$

Dans ce cas, la transformation est:, et son dérivé est ${\ displaystyle x = g ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}}$${\ displaystyle {\ frac {dg ^ {- 1} (y)} {dy}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$

Alors ici:

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- y / 2} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y} }}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi y}}} e ^ {- y / 2}.}$

Et on obtient la distribution chi-carré, prenant note de la propriété de la fonction gamma : . ${\ displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$

Dérivation du pdf pour deux degrés de liberté

Il existe plusieurs méthodes pour dériver une distribution chi-carré avec 2 degrés de liberté. En voici une basée sur la distribution à 1 degré de liberté.

Supposons que et soient deux variables indépendantes satisfaisant et , de sorte que les fonctions de densité de probabilité de et soient respectivement: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ sim \ chi _ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle y \ sim \ chi _ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} x ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {x} {2}}}}$

et

${\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} y ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}}}}$

Simplement, nous pouvons dériver la distribution conjointe de et : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi}} (xy) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {x + y } {2}}}}$

où est remplacé par . De plus, laissez et , nous pouvons obtenir cela: ${\ displaystyle \ Gamma ({\ frac {1} {2}}) ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle A = xy}$${\ displaystyle B = x + y}$

${\ displaystyle x = {\ frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

et

${\ displaystyle y = {\ frac {B - {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

ou, inversement

${\ displaystyle x = {\ frac {B - {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

et

${\ displaystyle y = {\ frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

Puisque les deux politiques de changement de variable sont symétriques, nous prenons celle du haut et multiplions le résultat par 2. Le déterminant jacobien peut être calculé comme suit:

${\ displaystyle \ operatorname {Jacobien} \ left ({\ frac {x, y} {A, B}} \ right) = {\ begin {vmatrix} - (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} & {\ frac {1 + B (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {2}} \\ (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} & {\ frac {1-B (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}} }} {2}} \\\ end {vmatrix}} = (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

Maintenant, nous pouvons passer à : ${\ Displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle f (A, B)}$

${\ displaystyle f (A, B) = 2 \ times {\ frac {1} {2 \ pi}} A ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {B} {2}}} (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

où la constante principale 2 est de prendre en compte les deux politiques de changement de variable. Enfin, nous intégrons pour obtenir la distribution de , c'est -à- dire : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x + y}$

${\ displaystyle f (B) = 2 \ fois {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {B ^ {2}} {4}} A ^ {- {\ frac {1} {2}}} (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} dA}$

Soit , l'équation peut être changée en: ${\ displaystyle A = {\ frac {B ^ {2}} {4}} \ sin ^ {2} (t)}$

${\ displaystyle f (B) = 2 \ fois {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {2}} \, dt}$

Le résultat est donc:

${\ displaystyle f (B) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2}}}$

Dérivation du pdf pour k degrés de liberté

Considérez que les k échantillons représentent un point unique dans un espace à k dimensions. La distribution du chi carré pour k degrés de liberté sera alors donnée par: ${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle P (Q) \, dQ = \ int _ {\ mathcal {V}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} (N (x_ {i}) \, dx_ {i}) = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ frac {e ^ {- (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2}) / 2 }} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} \, dx_ {1} \, dx_ {2} \ cdots dx_ {k}}$

où est la distribution normale standard et est ce volume élémentaire de la coquille à Q ( x ), qui est proportionnel à la  surface ( k - 1) dimensionnelle dans l' espace k pour lequel ${\ displaystyle N (x)}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle Q = \ sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} ^ {2}}$

On peut voir que cette surface est la surface d'une k bille ou de dimension, alternativement, une n-sphère où n  =  k  - 1 avec un rayon , et que le terme de l'exposant est simplement exprimée en termes de Q . Puisqu'il s'agit d'une constante, elle peut être supprimée de l'intérieur de l'intégrale. ${\ displaystyle R = {\ sqrt {Q}}}$

${\ displaystyle P (Q) \, dQ = {\ frac {e ^ {- Q / 2}} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} \ int _ {\ mathcal {V}} dx_ { 1} \, dx_ {2} \ cdots dx_ {k}}$

L'intégrale est maintenant simplement la surface A  de la sphère ( k - 1) multipliée par l'épaisseur infinitésimale de la sphère qui est

${\ displaystyle dR = {\ frac {dQ} {2Q ^ {1/2}}}.}$

L'aire d'une  sphère ( k - 1) est:

${\ displaystyle A = {\ frac {2R ^ {k-1} \ pi ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2)}}}$

Substituer, réaliser cela et annuler des termes donne: ${\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)}$

${\ displaystyle P (Q) \, dQ = {\ frac {e ^ {- Q / 2}} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} A \, dR = {\ frac {1} { 2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} Q ^ {k / 2-1} e ^ {- Q / 2} \, dQ}$