Entier quadratique - Quadratic integer

En théorie des nombres , les entiers quadratiques sont une généralisation des entiers habituels aux corps quadratiques . Les entiers quadratiques sont des entiers algébriques de degré deux, c'est-à-dire des solutions d'équations de la forme

x ² + bx + c = 0

avec b et c (habituels) entiers. Lorsque des entiers algébriques sont considérés, les entiers habituels sont souvent appelés entiers rationnels .

Des exemples courants d'entiers quadratiques sont les racines carrées des entiers rationnels, tels que √ 2 , et le nombre complexe i = √ -1 , ce qui génère des nombres entiers gaussiens . Un autre exemple courant est la racine cubique non réelle de l'unité -1 + √ -3/2, qui génère les entiers d' Eisenstein .

Les entiers quadratiques apparaissent dans les solutions de nombreuses équations diophantiennes , telles que les équations de Pell , et d'autres questions liées aux formes quadratiques intégrales . L'étude des anneaux d'entiers quadratiques est fondamentale pour de nombreuses questions de la théorie algébrique des nombres .

Histoire

Les mathématiciens indiens médiévaux avaient déjà découvert une multiplication d'entiers quadratiques de même D , ce qui leur a permis de résoudre certains cas de l'équation de Pell .

La caractérisation donnée au § La représentation explicite des entiers quadratiques a été donnée pour la première fois par Richard Dedekind en 1871.

Définition

Un entier quadratique est un entier algébrique de degré deux. Plus explicitement, c'est un nombre complexe , qui résout une équation de la forme x ² + bx + c = 0 , avec b et c entiers . Chaque entier quadratique qui n'est pas un entier n'est pas rationnel - à savoir, c'est un nombre irrationnel réel si b ² - 4 c > 0 et non réel si b ² - 4 c < 0 - et se trouve dans un champ quadratique déterminé de manière unique , le extension de générée par la racine carrée de l' entier sans carré unique D qui satisfait b ² – 4 c = De ² pour un entier e . Si D est positif, l'entier quadratique est réel. Si D < 0, il est imaginaire (c'est-à-dire complexe et non réel). ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Les entiers quadratiques (y compris les entiers ordinaires), qui appartiennent à un corps quadratique , forment un domaine intégral appelé l' anneau des entiers de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}).}$

Bien que les entiers quadratiques appartenant à un corps quadratique donné forment un anneau , l'ensemble de tous les entiers quadratiques n'est pas un anneau car il n'est pas fermé par addition ou multiplication . Par exemple, et sont des entiers quadratiques, mais et ne le sont pas, car leurs polynômes minimaux ont le degré quatre. ${\style d'affichage 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\style d'affichage 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Représentation explicite

Ici et dans ce qui suit, les entiers quadratiques considérés appartiennent à un corps quadratique où D est un entier sans carré . Cela ne restreint pas la généralité, car l'égalité √ a ² D = a √ D (pour tout entier positif a ) implique${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}).}$

Un élément x de est un entier quadratique si et seulement s'il existe deux entiers a et b tels que soit ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

ou, si D – 1 est un multiple de 4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$avec a et b tous deux impairs

En d' autres termes, tout entier du second degré peut être écrit un + cob  , où a et  b sont des nombres entiers, et où ω est défini par:

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt { D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(comme D a été supposé sans carré, le cas est impossible, car cela impliquerait que D serait divisible par le carré 4). ${\displaystyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Norme et conjugaison

Un entier quadratique dans peut s'écrire ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

où a et  b sont soit des nombres entiers, soit, uniquement si D 1 (mod 4) , les deux moitiés d'entiers impairs . La norme d'un tel entier quadratique est

N ( a + b √ D ) = a ² – Db ² .

La norme d'un entier quadratique est toujours un entier. Si D < 0 , la norme d'un entier quadratique est le carré de sa valeur absolue en nombre complexe (ceci est faux si D > 0 ). La norme est une fonction complètement multiplicative , ce qui signifie que la norme d'un produit d'entiers quadratiques est toujours le produit de leurs normes.

Tout entier quadratique a + b √ D a un conjugué

${\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.}$

Un entier quadratique a la même norme que son conjugué, et cette norme est le produit de l'entier quadratique et de son conjugué. Le conjugué d'une somme ou d'un produit d'entiers quadratiques est la somme ou le produit (respectivement) des conjugués. Cela signifie que la conjugaison est un automorphisme de l'anneau des entiers de — voir § Anneaux d'entiers quadratiques , ci-dessous. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Anneaux entiers quadratiques

Tout entier sans carré (différent de 0 et 1) D définit un anneau d'entiers quadratiques , qui est le domaine intégral constitué des entiers algébriques contenus dans It est l'ensemble Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, où si D = 4 k +1 , et ω = √ D sinon. Il est souvent notée , car elle est la anneau des entiers de Q ( √ D ), qui est la fermeture intégrale de Z dans l'anneau Z [ ω ] est constitué de toutes les racines de toutes les équations x ² + Bx + C = 0 dont le discriminant B ² − 4 C est le produit de D par le carré d'un nombre entier. En particulier √ D appartient à Z [ ω ] , étant une racine de l'équation x ² − D = 0 , qui a 4 D comme discriminant. ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).}$ ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).}$

La racine carrée de tout entier est un entier quadratique, car chaque entier peut s'écrire n = m ² D , où D est un entier sans carré et sa racine carrée est une racine de x ² − m ² D = 0 .

Le théorème fondamental de l'arithmétique n'est pas vrai dans de nombreux anneaux d'entiers quadratiques. Cependant, il existe une factorisation unique pour les idéaux , qui s'exprime par le fait que chaque anneau d'entiers algébriques est un domaine de Dedekind . Étant les exemples les plus simples d'entiers algébriques, les entiers quadratiques sont généralement les exemples de départ de la plupart des études de la théorie algébrique des nombres .

Les anneaux entiers quadratiques se divisent en deux classes selon le signe de D . Si D > 0 , tous les éléments de sont réels et l'anneau est un anneau d'entier quadratique réel . Si D < 0 , les seuls éléments réels de sont les entiers ordinaires et l'anneau est un anneau d'entiers quadratiques complexes . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

Pour les anneaux entiers quadratiques réels, le numéro de classe , qui mesure l'échec de la factorisation unique, est donné dans OEIS A003649 ; pour le cas imaginaire, elles sont données dans OEIS A000924 .

Unités

Un entier quadratique est une unité dans l'anneau des entiers de si et seulement si sa norme est 1 ou –1 . Dans le premier cas son inverse multiplicatif est son conjugué. C'est la négation de son conjugué dans le second cas. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Si D < 0 , l'anneau des entiers de a au plus six unités. Dans le cas des entiers gaussiens ( D = –1 ), les quatre unités sont 1, –1, √ –1 , – √ –1 . Dans le cas des entiers d'Eisenstein ( D = –3 ), les six unités sont ±1,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$± 1 ± √ -3/2. Pour tous les autres D négatifs , il n'y a que deux unités, qui sont 1 et –1 .

Si D > 0 , l'anneau des entiers de a une infinité d'unités égales à ± u ⁱ , où i est un entier arbitraire et u est une unité particulière appelée unité fondamentale . Étant donné une unité fondamentale u , il existe trois autres unités fondamentales, son conjugué et aussi et Communément, on appelle l' unité fondamentale, l'unique qui a une valeur absolue supérieure à 1 (comme un nombre réel). Il est l'unité de base unique qui peut être écrit sous la forme d' un + b √ D , avec un et b positifs (entiers ou demi - entiers de). ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle {\overline {u}},}$${\style d'affichage -u}$${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Les unités fondamentales pour la 10 plus petite sans carrée positive D sont 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(le nombre d' or ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Pour D plus grand , les coefficients de l'unité fondamentale peuvent être très grands. Par exemple, pour D = 19, 31, 43 , les unités de base sont respectivement de 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 et 3482 + 531 √ 43 .

Exemples d'anneaux entiers quadratiques complexes

Pour D  < 0, est un nombre complexe ( imaginaire ou non réel). Par conséquent, il est naturel de traiter un anneau entier quadratique comme un ensemble de nombres complexes algébriques .

• Un exemple classique est , les entiers gaussiens , qui ont été introduits par Carl Gauss vers 1800 pour énoncer sa loi de réciprocité biquadratique.${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$
• Les éléments dans sont appelés entiers d'Eisenstein .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

Les deux anneaux mentionnés ci-dessus sont des anneaux d'entiers de champs cyclotomiques Q (ζ ₄ ) et Q (ζ ₃ ) de manière correspondante. En revanche, Z [ √ −3 ] n'est même pas un domaine de Dedekind .

Les deux exemples ci-dessus sont des anneaux idéaux principaux et également des domaines euclidiens pour la norme. Ce n'est pas le cas pour

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$

qui n'est même pas un domaine de factorisation unique . Ceci peut être montré comme suit.

Dans nous avons ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Les facteurs 3, et sont irréductibles , car ils ont tous une norme de 9, et s'ils n'étaient pas irréductibles, ils auraient un facteur de norme 3, ce qui est impossible, la norme d'un élément différent de ±1 étant d'au moins 4 Ainsi la factorisation de 9 en facteurs irréductibles n'est pas unique. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Les idéaux et ne sont pas principaux , car un simple calcul montre que leur produit est l'idéal engendré par 3, et, s'ils étaient principaux, cela impliquerait que 3 ne serait pas irréductible. ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\rangle }$${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\rangle }$

Exemples d'anneaux entiers quadratiques réels

Pour D > 0 , ω est un positif irrationnel nombre réel, et le cycle entier quadratique correspondant est un ensemble de algébrique des nombres réels . Les solutions de l' équation de Pell X ² − D  Y ² = 1 , une équation diophantienne qui a été largement étudiée, sont les unités de ces anneaux, pour D 2, 3 (mod 4 ) .

• Pour D = 5 , =1+ √ 5/2est le nombre d' or . Cette bague a été étudiée par Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Ses unités ont la forme ±ω ⁿ , où n est un entier arbitraire. Cet anneau résulte également de l'étude de la symétrie de rotation d'ordre 5 sur le plan euclidien, par exemple les pavages de Penrose .
• Le mathématicien indien Brahmagupta a traité l'équation de Pell X ² − 61  Y ² = 1 , correspondant à l'anneau est Z [ √ 61 ] . Certains résultats ont été présentés à la communauté européenne par Pierre Fermat en 1657.

Anneaux principaux des entiers quadratiques

La propriété de factorisation unique n'est pas toujours vérifiée pour les anneaux d'entiers quadratiques, comme vu ci-dessus pour le cas de Z [ √ −5 ] . Cependant, comme pour tout domaine de Dedekind , un anneau d'entiers quadratiques est un domaine de factorisation unique si et seulement si c'est un domaine idéal principal . Cela se produit si et seulement si le numéro de classe du champ quadratique correspondant est un.

Les anneaux imaginaires d'entiers quadratiques qui sont les principaux anneaux idéaux ont été complètement déterminés. Ce sont pour ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 .

Ce résultat a d'abord été conjecturé par Gauss et prouvé par Kurt Heegner , bien que la preuve de Heegner n'ait pas été crue jusqu'à ce que Harold Stark ait donné une preuve ultérieure en 1967. (Voir le théorème de Stark-Heegner .) Il s'agit d'un cas particulier du célèbre problème des nombres de classe .

Il existe de nombreux entiers positifs connus D > 0 , pour lesquels l'anneau des entiers quadratiques est un anneau idéal principal. Cependant, la liste complète n'est pas connue; on ne sait même pas si le nombre de ces anneaux idéaux principaux est fini ou non.

Anneaux euclidiens d'entiers quadratiques

Lorsqu'un anneau d'entiers quadratiques est un domaine idéal principal , il est intéressant de savoir s'il s'agit d'un domaine euclidien . Ce problème a été complètement résolu comme suit.

Équipé de la norme comme fonction euclidienne , est un domaine euclidien pour moins D lorsque ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = -1, -2, -3, -7, -11 ,

et, pour D positif , lorsque

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (séquence A048981 dans l' OEIS ).

Il n'y a pas d'autre anneau d'entiers quadratiques qui soit euclidien avec la norme comme fonction euclidienne.

Pour D moins , un anneau d'entiers quadratiques est euclidien si et seulement si la norme est une fonction euclidienne pour lui. Il s'ensuit que, pour

D = −19, −43, −67, −163 ,

les quatre anneaux correspondants d'entiers quadratiques sont parmi les rares exemples connus de domaines idéaux principaux qui ne sont pas des domaines euclidiens.

D'autre part, l' hypothèse de Riemann généralisée implique qu'un anneau d' entiers réels quadratiques qui est un domaine idéal principal est aussi un domaine euclidien pour une fonction euclidienne, qui peut en effet différer de la norme habituelle. Les valeurs D = 14, 69 étaient les premières pour lesquelles l'anneau d'entiers quadratiques s'est avéré être euclidien, mais pas norm-euclidien.

Remarques

Les références

• Bourbaki, Nicolas (1994). Éléments de l'histoire des mathématiques . Traduit par Meldrum, John. Berlin : Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 éd.), Vieweg. Récupéré le 5 août 2009
• Dummit, DS, et Foote, RM, 2004. Algèbre abstraite , 3e éd.
• Artin, M, Algèbre , 2e éd., Ch 13.

Lectures complémentaires

• JS Milne. Théorie algébrique des nombres , Version 3.01, 28 septembre 2008. notes de cours en ligne