Quadrature (mathématiques) - Quadrature (mathematics)

Pour d'autres utilisations, voir Quadrature (homonymie) .

En mathématiques , la quadrature est un terme historique qui désigne le processus de détermination de l' aire . Ce terme est encore utilisé de nos jours dans le contexte des équations différentielles , où « résoudre une équation par quadrature » ou « réduction en quadrature » signifie exprimer sa solution en termes d' intégrales .

Les problèmes de quadrature ont été l'une des principales sources de problèmes dans le développement du calcul et introduisent des sujets importants dans l'analyse mathématique .

Histoire

La lune d'Hippocrate a été la première figure courbe à avoir son aire exacte calculée mathématiquement.

Les mathématiciens grecs comprenaient la détermination d'une aire d'une figure comme le processus de construction géométrique d'un carré ayant la même aire ( carré ), d'où le nom de quadrature pour ce processus. Les géomètres grecs n'ont pas toujours réussi (voir quadrature du cercle ), mais ils ont réalisé des quadratures de certaines figures dont les côtés n'étaient pas simplement des segments de droite, comme les lunes d'Hippocrate et la quadrature de la parabole . Selon une certaine tradition grecque, ces constructions devaient être réalisées à l'aide d'un compas et d'une règle , bien que tous les mathématiciens grecs n'adhèrent pas à ce dicton.

Pour une quadrature d'un rectangle de côté a et b il faut construire un carré de côté (la moyenne géométrique de a et b ). Pour cela il est possible d'utiliser : si l'on trace le cercle de diamètre fait en joignant des segments de droites de longueurs a et b , alors la hauteur ( BH sur le schéma) du segment de droite tracé perpendiculairement au diamètre, à partir du point de leur connexion au point où il croise le cercle, est égal à la moyenne géométrique de a et b . Une construction géométrique similaire résout les problèmes de quadrature d'un parallélogramme et d'un triangle.

Archimède a prouvé que l'aire d'un segment parabolique est 4/3 l'aire d'un triangle inscrit.

Les problèmes de quadrature pour les figures curvilignes sont beaucoup plus difficiles. La quadrature du cercle avec compas et règle s'est avérée impossible au 19ème siècle. Néanmoins, pour certaines figures, une quadrature peut être réalisée. Les quadratures de la surface d'une sphère et d'un segment de parabole découvertes par Archimède sont devenues la plus haute réalisation d'analyse dans l'antiquité.

  • L'aire de la surface d'une sphère est égale à quatre fois l'aire du cercle formé par un grand cercle de cette sphère.
  • L'aire d'un segment de parabole déterminée par une droite la coupant est 4/3 de l'aire d'un triangle inscrit dans ce segment.

Pour les preuves de ces résultats, Archimède a utilisé la méthode de l'épuisement attribuée à Eudoxe .

Dans l'Europe médiévale, la quadrature signifiait le calcul de l'aire par n'importe quelle méthode. Le plus souvent la méthode des indivisibles a été utilisée ; elle était moins rigoureuse que les constructions géométriques des Grecs, mais elle était plus simple et plus puissante. Avec son aide, Galileo Galilei et Gilles de Roberval ont trouvé la zone d'un arc cycloïde , Grégoire de Saint-Vincent a étudié la zone sous une hyperbole ( Opus Geometricum , 1647), et Alphonse Antonio de Sarasa , élève et commentateur de Saint-Vincent, a noté la relation de cette zone aux logarithmes .

John Wallis a algébré cette méthode ; il écrivit dans son Arithmetica Infinitorum (1656) des séries équivalentes à ce qu'on appelle aujourd'hui l' intégrale définie , et il calcula leurs valeurs. Isaac Barrow et James Gregory ont encore progressé : quadratures pour certaines courbes algébriques et spirales . Christiaan Huygens a réalisé avec succès une quadrature de la surface de certains solides de révolution .

La quadrature de l'hyperbole par Saint-Vincent et de Sarasa a fourni une nouvelle fonction , le logarithme népérien , d'une importance critique. Avec l'invention du calcul intégral est venu une méthode universelle pour le calcul des aires. En réponse, le terme quadrature est devenu traditionnel, et à la place l'expression moderne trouver l'aire est plus couramment utilisée pour ce qui est techniquement le calcul d'une intégrale définie univariée .

Voir également

Remarques

Les références