Chaos quantique - Quantum chaos

Fait partie d'une série d'articles sur
Mécanique quantique
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ équation de Schrödinger
introduction Glossaire Histoire
Arrière-plan Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation bra-ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Complémentarité Décohérence Enchevêtrement Niveau d'énergie La mesure Non-localité Nombre quantique État Superposition Symétrie Tunneling Incertitude Fonction d'onde  ( effondrement )
Expériences L'inégalité de Bell Davisson-Germer Double fente Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach–Zehnder Popper Gomme quantique  ( choix différé ) Le chat de Schrödinger Stern–Gerlach Le choix différé de Wheeler
Formules Aperçu Heisenberg Interaction Matrice Espace des phases Schrödinger Sum-over-histories (chemin intégral)
Équations Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interprétations Aperçu bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie-Bohm Ensemble Variable-cachée De nombreux mondes Effondrement de l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
Sujets avancés Mécanique quantique relativiste Théorie quantique des champs Sciences de l'information quantique L'informatique quantique Chaos quantique Matrice de densité Théorie de la diffusion Mécanique statistique quantique Apprentissage automatique quantique
Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Née Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Au revoir Ehrenfest Einstein Everett Putain Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramer Pauli agneau Landau Laue Mosley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vienne Wigner Zeeman Zeilinger
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Le chaos quantique est le domaine de la physique qui tente de rapprocher les théories de la mécanique quantique et de la mécanique classique . La figure montre les idées principales fonctionnant dans chaque direction.

Le chaos quantique est une branche de la physique qui étudie comment les systèmes dynamiques classiques chaotiques peuvent être décrits en termes de théorie quantique. La question principale à laquelle le chaos quantique cherche à répondre est : « Quelle est la relation entre la mécanique quantique et le chaos classique ? Le principe de correspondance stipule que la mécanique classique est la limite classique de la mécanique quantique, en particulier dans la limite où le rapport de la constante de Planck à l' action du système tend vers zéro. Si cela est vrai, alors il doit y avoir des mécanismes quantiques sous-jacents au chaos classique (bien que cela puisse ne pas être une manière fructueuse d'examiner le chaos classique). Si la mécanique quantique ne démontre pas une sensibilité exponentielle aux conditions initiales, comment une sensibilité exponentielle aux conditions initiales peut-elle apparaître dans le chaos classique, qui doit être la limite du principe de correspondance de la mécanique quantique ?

En cherchant à répondre à la question fondamentale du chaos quantique, plusieurs approches ont été utilisées :

1. Développement de méthodes pour résoudre des problèmes quantiques où la perturbation ne peut pas être considérée comme petite en théorie des perturbations et où les nombres quantiques sont grands.
2. Corréler les descriptions statistiques des valeurs propres (niveaux d'énergie) avec le comportement classique du même hamiltonien (système).
3. Méthodes semi-classiques telles que la théorie de l'orbite périodique reliant les trajectoires classiques du système dynamique aux caractéristiques quantiques.
4. Application directe du principe de correspondance.

Histoire

Spectres expérimentaux de récurrence du lithium dans un champ électrique montrant la naissance de récurrences quantiques correspondant à des bifurcations d'orbites classiques.

Au cours de la première moitié du vingtième siècle, le comportement chaotique en mécanique a été reconnu (comme dans le problème des trois corps en mécanique céleste ), mais pas bien compris. Les fondements de la mécanique quantique moderne ont été posés à cette époque, laissant essentiellement de côté la question de la correspondance quantique-classique dans les systèmes dont la limite classique présente le chaos.

Approches

Comparaison des spectres de récurrence expérimentaux et théoriques du lithium dans un champ électrique à une énergie échelonnée de .${\style d'affichage \epsilon =-3.0}$

Les questions liées au principe de correspondance se posent dans de nombreuses branches différentes de la physique, allant de la physique nucléaire à la physique atomique , moléculaire et solide , et même à l' acoustique , aux micro - ondes et à l' optique . Cependant, la correspondance classique-quantique dans la théorie du chaos n'est pas toujours possible. Ainsi, certaines versions de l'effet papillon classique n'ont pas d'équivalent en mécanique quantique.

Les observations importantes sont souvent associées aux systèmes quantiques chaotiques classiques sont la répulsion au niveau spectral , la localisation dynamique dans l'évolution temporelle (par exemple, les taux d'ionisation des atomes) et les intensités d'ondes stationnaires améliorées dans les régions de l'espace où la dynamique classique ne présente que des trajectoires instables (comme dans la diffusion ). Dans l'approche semi-classique du chaos quantique, les phénomènes sont identifiés en spectroscopie en analysant la distribution statistique des raies spectrales et en reliant les périodicités spectrales aux orbites classiques. D'autres phénomènes apparaissent dans l' évolution temporelle d'un système quantique, ou dans sa réponse à divers types de forces externes. Dans certains contextes, tels que l'acoustique ou les micro-ondes, les modèles d'ondes sont directement observables et présentent des distributions d' amplitude irrégulières .

Le chaos quantique traite généralement des systèmes dont les propriétés doivent être calculées à l'aide de techniques numériques ou de schémas d'approximation (voir par exemple la série de Dyson ). Des solutions simples et exactes sont exclues par le fait que les constituants du système s'influencent mutuellement de manière complexe ou dépendent de forces externes variant dans le temps.

Mécanique quantique en régimes non perturbatifs

Spectres de niveau d'énergie des atomes Rydberg réguliers (non chaotiques) calculés de l'hydrogène dans un champ électrique proche de n=15. Notez que les niveaux d'énergie peuvent se croiser en raison des symétries sous-jacentes du mouvement dynamique.

Spectres de niveau d'énergie des atomes de Rydberg chaotiques calculés du lithium dans un champ électrique proche de n=15. Notez que les niveaux d'énergie ne peuvent pas traverser en raison du noyau ionique (et du défaut quantique résultant) qui brise les symétries du mouvement dynamique.

Pour les systèmes conservateurs, le but de la mécanique quantique dans les régimes non perturbatifs est de trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'un hamiltonien de la forme

${\displaystyle H=H_{s}+\varepsilon H_{ns},\,}$

où est séparable dans un système de coordonnées, est non séparable dans le système de coordonnées dans lequel est séparé, et est un paramètre qui ne peut pas être considéré comme petit. Les physiciens ont historiquement abordé des problèmes de cette nature en essayant de trouver le système de coordonnées dans lequel l'hamiltonien non séparable est le plus petit, puis en traitant l'hamiltonien non séparable comme une perturbation. ${\displaystyle H_{s}}$${\displaystyle H_{ns}}$${\displaystyle H_{s}}$${\style d'affichage \epsilon }$

Trouver des constantes de mouvement afin que cette séparation puisse être effectuée peut être une tâche analytique difficile (parfois impossible). La résolution du problème classique peut donner des indications précieuses sur la résolution du problème quantique. S'il existe des solutions classiques régulières du même hamiltonien, alors il existe (au moins) des constantes de mouvement approximatives, et en résolvant le problème classique, nous obtenons des indices sur la façon de les trouver.

D'autres approches ont été développées ces dernières années. L'une consiste à exprimer l'hamiltonien dans différents systèmes de coordonnées dans différentes régions de l'espace, en minimisant la partie non séparable de l'hamiltonien dans chaque région. Les fonctions d'onde sont obtenues dans ces régions, et les valeurs propres sont obtenues en faisant correspondre les conditions aux limites.

Une autre approche est la diagonalisation matricielle numérique. Si la matrice hamiltonienne est calculée sur une base complète, les valeurs propres et les vecteurs propres sont obtenus en diagonalisant la matrice. Cependant, tous les ensembles de base complets sont infinis et nous devons tronquer la base tout en obtenant des résultats précis. Ces techniques se résument au choix d'une base tronquée à partir de laquelle des fonctions d'onde précises peuvent être construites. Le temps de calcul requis pour diagonaliser une matrice est égal à , où est la dimension de la matrice, il est donc important de choisir la base la plus petite possible à partir de laquelle les fonctions d'onde pertinentes peuvent être construites. Il est également pratique de choisir une base dans laquelle la matrice est creuse et/ou les éléments de la matrice sont donnés par des expressions algébriques simples car le calcul des éléments de la matrice peut également être une charge de calcul. ${\style d'affichage N^{3}}$${\style d'affichage N}$

Un hamiltonien donné partage les mêmes constantes de mouvement pour la dynamique classique et quantique. Les systèmes quantiques peuvent également avoir des nombres quantiques supplémentaires correspondant à des symétries discrètes (telles que la conservation de la parité à partir de la symétrie de réflexion). Cependant, si nous trouvons simplement des solutions quantiques d'un hamiltonien qui n'est pas accessible par la théorie des perturbations, nous pouvons en apprendre beaucoup sur les solutions quantiques, mais nous avons peu appris sur le chaos quantique. Néanmoins, apprendre à résoudre de tels problèmes quantiques est une partie importante de la réponse à la question du chaos quantique.

Corréler les descriptions statistiques de la mécanique quantique avec le comportement classique

La distribution du plus proche voisin pour les spectres de niveau d'énergie des atomes de Rydberg dans un champ électrique en tant que défaut quantique est augmentée de 0,04 (a) à 0,32 (h). Le système devient plus chaotique à mesure que les symétries dynamiques sont brisées en augmentant le défaut quantique ; par conséquent, la distribution évolue de presque une distribution de Poisson (a) à celle de la conjecture de Wigner (h).

Les mesures statistiques du chaos quantique sont nées d'un désir de quantifier les caractéristiques spectrales des systèmes complexes. La théorie des matrices aléatoires a été développée pour tenter de caractériser les spectres de noyaux complexes. Le résultat remarquable est que les propriétés statistiques de nombreux systèmes avec des hamiltoniens inconnus peuvent être prédites en utilisant des matrices aléatoires de la classe de symétrie appropriée. De plus, la théorie des matrices aléatoires prédit également correctement les propriétés statistiques des valeurs propres de nombreux systèmes chaotiques avec des hamiltoniens connus. Cela le rend utile comme outil pour caractériser les spectres qui nécessitent de gros efforts numériques pour calculer.

Un certain nombre de mesures statistiques sont disponibles pour quantifier les caractéristiques spectrales de manière simple. Il est très intéressant de savoir s'il existe ou non des comportements statistiques universels de systèmes classiquement chaotiques. Les tests statistiques mentionnés ici sont universels, au moins pour les systèmes avec peu de degrés de liberté ( Berry et Tabor ont avancé des arguments solides pour une distribution de Poisson dans le cas d'un mouvement régulier et Heusler et al. conjecture de Bohigas-Giannoni-Schmit qui affirme l'universalité des fluctuations spectrales dans la dynamique chaotique). La distribution du plus proche voisin (NND) des niveaux d'énergie est relativement simple à interpréter et elle a été largement utilisée pour décrire le chaos quantique.

Les observations qualitatives des répulsions de niveau peuvent être quantifiées et liées à la dynamique classique en utilisant le NND, qui est considéré comme une signature importante de la dynamique classique dans les systèmes quantiques. On pense que la dynamique classique régulière se manifeste par une distribution de Poisson des niveaux d'énergie :

${\style d'affichage P(s)=e^{-s}.\ }$

De plus, les systèmes qui affichent un mouvement classique chaotique devraient être caractérisés par les statistiques d'ensembles de valeurs propres matriciels aléatoires. Pour les systèmes invariants par inversion du temps, les statistiques de niveau d'énergie d'un certain nombre de systèmes chaotiques se sont avérées en bon accord avec les prédictions de l'ensemble orthogonal gaussien (GOE) de matrices aléatoires, et il a été suggéré que ce phénomène est générique pour tous les systèmes chaotiques avec cette symétrie. Si l'espacement normalisé entre deux niveaux d'énergie est , la distribution normalisée des espacements est bien approximée par ${\style d'affichage s}$

${\displaystyle P(s)={\frac {\pi }{2}}se^{-\pi s^{2}/4}.}$

De nombreux systèmes hamiltoniens qui sont classiquement intégrables (non chaotiques) ont des solutions quantiques qui donnent des distributions de voisins les plus proches qui suivent les distributions de Poisson. De même, de nombreux systèmes qui présentent un chaos classique ont été trouvés avec des solutions quantiques produisant une distribution de Wigner-Dyson , soutenant ainsi les idées ci-dessus. Une exception notable est le lithium diamagnétique qui, bien que présentant un chaos classique, démontre des statistiques de Wigner (chaotique) pour les niveaux d'énergie de parité paire et des statistiques de Poisson (régulières) pour la distribution des niveaux d'énergie de parité impaire.

Méthodes semi-classiques

Théorie de l'orbite périodique

Spectre de récurrence à parité paire ( transformée de Fourier de la densité d'états ) de l'hydrogène diamagnétique montrant des pics correspondant aux orbites périodiques du système classique. Le spectre est à une énergie échelonnée de -0,6. Les pics marqués R et V sont des répétitions de l'orbite fermée perpendiculaire et parallèle au champ, respectivement. Les pics marqués O correspondent à l'orbite périodique quasi circulaire qui fait le tour du noyau.

Amplitudes de récurrence relative des récurrences paires et impaires de l'orbite quasi circulaire. Les losanges et les signes plus correspondent respectivement aux trimestres pairs et impairs. La ligne continue est A/cosh(nX/8). La ligne pointillée est A/sinh(nX/8) où A = 14,75 et X = 1,18.

La théorie des orbites périodiques donne une recette pour calculer les spectres à partir des orbites périodiques d'un système. Contrairement à la méthode de quantification d'action d' Einstein-Brillouin-Keller , qui s'applique uniquement aux systèmes intégrables ou quasi intégrables et calcule les valeurs propres individuelles de chaque trajectoire, la théorie de l'orbite périodique est applicable aux systèmes intégrables et non intégrables et affirme que chaque l'orbite périodique produit une fluctuation sinusoïdale de la densité d'états.

Le résultat principal de ce développement est une expression de la densité d'états qui est la trace de la fonction de Green semi-classique et est donnée par la formule de trace de Gutzwiller :

${\displaystyle g_{c}(E)=\sum _{k}T_{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2\sinh {(\chi _{ nk}/2)}}}\,e^{i(nS_{k}-\alpha _{nk}\pi /2)}.}$

Récemment, il y a eu une généralisation de cette formule pour les hamiltoniens matriciels arbitraires qui implique un terme de type phase de Berry provenant du spin ou d'autres degrés de liberté internes. L'indice distingue les orbites périodiques primitives : les orbites de période la plus courte d'un ensemble donné de conditions initiales. est la période de l'orbite périodique primitive et est son action classique. Chaque orbite primitive se retrace, conduisant à une nouvelle orbite avec action et une période qui est un multiple entier de la période primitive. Par conséquent, chaque répétition d'une orbite périodique est une autre orbite périodique. Ces répétitions sont classées séparément par la somme intermédiaire sur les indices . est l' indice de Maslov de l'orbite . Le facteur d'amplitude, , représente la racine carrée de la densité des orbites voisines. Les trajectoires voisines d'une orbite périodique instable divergent exponentiellement dans le temps de l'orbite périodique. La quantité caractérise l'instabilité de l'orbite. Une orbite stable se déplace sur un tore dans l'espace des phases, et des trajectoires voisines s'enroulent autour d'elle. Pour les orbites stables, devient , où est le nombre d'enroulements de l'orbite périodique. , où est le nombre de fois que les orbites voisines coupent l'orbite périodique au cours d'une période. Cela présente une difficulté car à une bifurcation classique . Cela fait diverger la contribution de cette orbite à la densité d'énergie. Cela se produit également dans le contexte du spectre de photo- absorption . ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage T_{k}}$${\style d'affichage S_{k}}$${\style d'affichage nS_{k}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \alpha _{nk}}$${\displaystyle 1/\sinh {(\chi _{nk}/2)}}$${\displaystyle \chi _{nk}}$${\displaystyle \sinh {(\chi _{nk}/2)}}$${\displaystyle \sin {(\chi _{nk}/2)}}$${\displaystyle \chi _{nk}}$${\displaystyle \chi _{nk}=2\pi m}$${\style d'affichage m}$${\displaystyle \sin {(\chi _{nk}/2)}=0}$

L'utilisation de la formule de trace pour calculer un spectre nécessite une sommation sur toutes les orbites périodiques d'un système. Ceci présente plusieurs difficultés pour les systèmes chaotiques : 1) Le nombre d'orbites périodiques prolifère de façon exponentielle en fonction de l'action. 2) Il existe un nombre infini d'orbites périodiques, et les propriétés de convergence de la théorie des orbites périodiques sont inconnues. Cette difficulté est également présente lors de l'application de la théorie de l'orbite périodique aux systèmes réguliers. 3) Les orbites à longue période sont difficiles à calculer car la plupart des trajectoires sont instables et sensibles aux erreurs d'arrondi et aux détails de l'intégration numérique.

Gutzwiller a appliqué la formule de trace pour aborder le problème de Kepler anisotrope (une seule particule dans un potentiel avec un tenseur de masse anisotrope ) de manière semi-classique. Il a trouvé un accord avec les calculs quantiques pour les états bas (jusqu'à ) pour les petites anisotropies en utilisant seulement un petit ensemble d'orbites périodiques faciles à calculer, mais l'accord était médiocre pour les grandes anisotropies. ${\style d'affichage 1/r}$${\style d'affichage n=6}$

Les figures ci-dessus utilisent une approche inversée pour tester la théorie de l'orbite périodique. La formule de trace affirme que chaque orbite périodique contribue un terme sinusoïdal au spectre. Plutôt que de traiter les difficultés de calcul entourant les orbites à longue période pour essayer de trouver la densité d'états (niveaux d'énergie), on peut utiliser la théorie des perturbations de la mécanique quantique standard pour calculer les valeurs propres (niveaux d'énergie) et utiliser la transformée de Fourier pour rechercher le modulations du spectre qui sont la signature des orbites périodiques. Interpréter le spectre revient alors à trouver les orbites qui correspondent aux pics de la transformée de Fourier.

Esquisse approximative sur la façon d'arriver à la formule de trace de Gutzwiller

1. Commencez par l'approximation semi-classique de la fonction de Green dépendante du temps (le propagateur de Van Vleck).
2. Réalisez que pour les caustiques, la description diverge et utilisez l'aperçu de Maslov (approximativement la transformation de Fourier en espace de quantité de mouvement (approximation de phase stationnaire avec ha petit paramètre) pour éviter de tels points et ensuite retransformer en espace de position peut remédier à une telle divergence, mais donne cependant une phase facteur).
3. Transformez la fonction de Greens en espace d'énergie pour obtenir la fonction de Greens dépendante de l'énergie (à nouveau approximation de la transformée de Fourier en utilisant l'approximation de la phase stationnaire). De nouvelles divergences peuvent apparaître et doivent être corrigées en utilisant la même méthode que l'étape 3
4. Utilisez (traçage sur les positions) et recalculez-le en approximation de phase stationnaire pour obtenir une approximation de la densité d'états .${\displaystyle d(E)=-{\frac {1}{\pi }}\Im (\operatorname {Tr} (G(x,x^{\prime },E))}$${\style d'affichage d(E)}$

Remarque : Prendre la trace vous indique que seules les orbites fermées contribuent, l'approximation de la phase stationnaire vous donne des conditions restrictives à chaque fois que vous la faites. À l'étape 4, il vous limite aux orbites où les impulsions initiale et finale sont les mêmes, c'est-à-dire les orbites périodiques. Il est souvent agréable de choisir un système de coordonnées parallèle à la direction du mouvement, comme cela se fait dans de nombreux livres.

Théorie de l'orbite fermée

Le spectre de récurrence expérimental (cercles) est comparé aux résultats de la théorie de l'orbite fermée de John Delos et Jing Gao pour les atomes de lithium Rydberg dans un champ électrique. Les pics marqués de 1 à 5 sont des répétitions de l'orbite des électrons parallèles au champ allant du noyau au point de retournement classique dans la direction ascendante.

La théorie de l'orbite fermée a été développée par JB Delos, ML Du, J. Gao et J. Shaw. Elle est similaire à la théorie de l'orbite périodique, sauf que la théorie de l'orbite fermée ne s'applique qu'aux spectres atomiques et moléculaires et donne la densité de force de l'oscillateur (spectre de photo-absorption observable) à partir d'un état initial spécifié, tandis que la théorie de l'orbite périodique donne la densité de États.

Seules les orbites qui commencent et se terminent au noyau sont importantes dans la théorie des orbites fermées. Physiquement, ceux-ci sont associés aux ondes sortantes qui sont générées lorsqu'un électron étroitement lié est excité à un état élevé. Pour les atomes et molécules de Rydberg , chaque orbite fermée au noyau est également une orbite périodique dont la période est égale soit au temps de fermeture, soit au double du temps de fermeture.

Selon la théorie de l'orbite fermée, la densité de force d'oscillateur moyenne à constante est donnée par un fond lisse plus une somme oscillatoire de la forme ${\style d'affichage \epsilon }$

${\displaystyle f(w)=\sum _{k}\sum _{n=1}^{\infty }D_{\it {nk}}^{i}\sin(2\pi nw{\tilde { S_{k}}}-\phi _{\it {nk}}).}$

${\displaystyle \phi _{\it {nk}}}$est une phase qui dépend de l'indice de Maslov et d'autres détails des orbites. est l'amplitude de récurrence d'une orbite fermée pour un état initial donné (notée ). Il contient des informations sur la stabilité de l'orbite, ses directions initiale et finale, et l'élément matriciel de l'opérateur dipôle entre l'état initial et une onde de Coulomb à énergie nulle. Pour les systèmes de mise à l'échelle tels que les atomes de Rydberg dans les champs forts, la transformée de Fourier d'un spectre d'intensité d'oscillateur calculé à fixe en fonction de est appelée spectre de récurrence, car elle donne des pics qui correspondent à l'action mise à l'échelle des orbites fermées et dont les hauteurs correspondent à . ${\displaystyle D_{\it {nk}}^{i}}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage \epsilon }$${\style d'affichage w}$${\displaystyle D_{\it {nk}}^{i}}$

La théorie de l'orbite fermée a trouvé un large accord avec un certain nombre de systèmes chaotiques, y compris l'hydrogène diamagnétique, l'hydrogène dans des champs électriques et magnétiques parallèles, le lithium diamagnétique, le lithium dans un champ électrique, l' ion dans des champs électriques et magnétiques croisés et parallèles, le baryum dans un champ électrique et de l'hélium dans un champ électrique. ${\displaystyle H^{-}}$

Systèmes unidimensionnels et potentiel

Pour le cas d'un système unidimensionnel avec la condition aux limites la densité d'états obtenue à partir de la formule de Gutzwiller est liée à l'inverse du potentiel du système classique par ici est la densité d'états et V(x) est le potentiel classique de la particule, la demi-dérivée de l'inverse du potentiel est liée à la densité d'états comme dans le potentiel de Wu-Sprung . ${\style d'affichage y(0)=0}$${\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {dN( x)}{dx}}}$${\style d'affichage {\frac {dN(x)}{dx}}}$

Itinéraires récents

Une question ouverte reste la compréhension du chaos quantique dans les systèmes qui ont des espaces de Hilbert locaux de dimension finie pour lesquels les limites semi-classiques standard ne s'appliquent pas. Des travaux récents ont permis d'étudier analytiquement de tels systèmes quantiques à plusieurs corps .

Les thèmes traditionnels du chaos quantique concernent les statistiques spectrales (caractéristiques universelles et non universelles), et l'étude des fonctions propres ( ergodicité quantique , cicatrices ) de divers hamiltoniens chaotiques . ${\style d'affichage H(x,p;R)}$

D'autres études concernent la dépendance paramétrique ( ) de l'hamiltonien, comme reflété par exemple dans les statistiques des croisements évités, et le mélange associé comme reflété dans la densité locale d'états (paramétrique) (LDOS). Il existe une vaste littérature sur la dynamique des paquets d'ondes, y compris l'étude des fluctuations, des récurrences, des problèmes d'irréversibilité quantique, etc. Une place particulière est réservée à l'étude de la dynamique des cartes quantifiées : la carte standard et le rotateur botté sont considérés comme des problèmes prototypes. ${\style d'affichage R}$

Les travaux sont également axés sur l'étude des systèmes chaotiques entraînés, où l'hamiltonien est dépendant du temps, en particulier dans les régimes de réponse adiabatique et linéaire. Des efforts importants sont également consacrés à la formulation d'idées de chaos quantique pour des systèmes quantiques à N corps à interaction forte , loin des régimes semi-classiques. ${\style d'affichage H(x,p;R(t))}$

Conjecture Berry-Tabor

En 1977, Berry et Tabor ont fait une conjecture mathématique « générique » encore ouverte qui, énoncée grossièrement, est : Dans le cas « générique » de la dynamique quantique d'un écoulement géodésique sur une surface de Riemann compacte, les valeurs propres de l'énergie quantique se comportent comme une séquence de variables aléatoires indépendantes à condition que la dynamique classique sous-jacente soit complètement intégrable .

Voir également

• Cicatrice (physique)

Les références

Autres ressources

• Martin C. Gutzwiller (1971). « Orbites périodiques et conditions de quantification classiques ». Journal de physique mathématique . 12 (3): 343. bibcode : 1971JMP .... 12..343G . doi : 10.1063/1.1665596 .
• Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics , (1990) Springer-Verlag , New York ISBN  0-387-97173-4 .
• Hans-Jürgen Stöckmann , Quantum Chaos: An Introduction , (1999) Cambridge University Press ISBN  0-521-59284-4 .
• Eugène Paul Wigner ; Dirac, PAM (1951). « Sur la distribution statistique des largeurs et des espacements des niveaux de résonance nucléaire ». Actes mathématiques de la Cambridge Philosophical Society . 47 (4): 790. bibcode : 1951PCPS ... 47..790W . doi : 10.1017/S0305004100027237 .
• Fritz Haake, Quantum Signatures of Chaos 2e éd., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN  3-540-67723-2 .
• Karl-Fredrik Berggren et Sven Aberg, "Quantum Chaos Y2K Proceedings of Nobel Symposium 116" (2001) ISBN  978-981-02-4711-9
• LE Reichl , "La transition vers le chaos : dans les systèmes classiques conservateurs : Manifestations quantiques", Springer (2004), ISBN  978-0387987880

Liens externes

• Quantum Chaos de Martin Gutzwiller (1992 et 2008, Scientific American )
• Quantum Chaos Martin Gutzwiller Scholarpedia 2(12): 3146. doi:10.4249/scholarpedia.3146
• Catégorie : Scholarpedia du chaos quantique
• Qu'est-ce que... Quantum Chaos de Ze'ev Rudnick (janvier 2008, Notices of the American Mathematical Society )
• Brian Hayes, "Le spectre de Riemannium"; American Scientist Volume 91, Numéro 4, juillet-août 2003, pp. 296-300 . Discute de la relation avec la fonction zêta de Riemann .
• Fonctions propres dans les systèmes quantiques chaotiques par Arnd Bäcker.
• ChaosBook.org