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En mathématiques , un quasichamp est une structure algébrique où + et sont des opérations binaires sur Q, un peu comme un anneau de division , mais avec des conditions plus faibles. Tous les anneaux de division, et donc tous les corps , sont des quasi-champs. ${\style d'affichage (Q,+,\cdot )}$${\displaystyle \cdot }$

Définition

Un quasichamp est une structure, où + et sont des opérations binaires sur Q, satisfaisant ces axiomes : ${\style d'affichage (Q,+,\cdot )}$${\style d'affichage \cdot \,}$

• ${\style d'affichage (Q,+)\,}$est un groupe
• ${\style d'affichage (Q_{0},\cdot )}$est une boucle , où${\displaystyle Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q}$( distributivité gauche )
• ${\displaystyle a\cdot x=b\cdot x+c}$ a exactement une solution ${\displaystyle \forall a,b,c\in Q,a\neq b}$

Strictement parlant, c'est la définition d'un quasi-champ gauche . Un quasi-champ droit est défini de la même manière, mais satisfait à la place la distributivité droite. Un quasi-champ satisfaisant les deux lois distributives est appelé un demi - champ , au sens où le terme est utilisé en géométrie projective .

Bien que non supposé, on peut prouver que les axiomes impliquent que le groupe additif est abélien . Ainsi, lorsqu'on se réfère à un quasi - champ abélien , on veut dire qu'il est abélien. ${\style d'affichage (Q,+)}$${\style d'affichage (Q_{0},\cdot )}$

Noyau

Le noyau K d'un quasicorps Q est l'ensemble de tous les éléments c tels que :

• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}$

En restreignant les opérations binaires + et à K, on ​​peut montrer qu'il s'agit d'un anneau de division . ${\displaystyle \cdot }$${\style d'affichage (K,+,\cdot )}$

On peut maintenant faire un espace vectoriel de Q sur K, avec la multiplication scalaire suivante : ${\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

Comme un anneau de division finie est un corps fini par le théorème de Wedderburn , l'ordre du noyau d'un quasi-champ fini est une puissance première . La construction de l'espace vectoriel implique que l'ordre de tout quasi-champ fini doit également être une puissance première.

Exemples

Tous les anneaux de division, et donc tous les champs, sont des quasi-champs.

Un champ proche (à droite) qui est un quasi-champ (à droite) est appelé "champ proche plan".

Les quasi-champs les plus petits sont abéliens et uniques. Ce sont les corps finis d'ordres jusqu'à huit inclus. Les quasi-champs les plus petits qui ne sont pas des anneaux de division sont les quatre quasi-champs non abéliens d'ordre neuf ; ils sont présentés dans Hall, Jr. (1959) et Weibel (2007) . erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFHall,_Jr.1959 ( aide )

Plans projectifs

Étant donné un quasichamp , nous définissons une application ternaire par ${\style d'affichage Q}$${\displaystyle \scriptstyle T\colon Q\fois Q\fois Q\à Q\,}$

${\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}$

On peut alors vérifier que satisfait les axiomes d'un anneau ternaire plan . Associé à est son plan projectif correspondant . Les plans projectifs ainsi construits sont caractérisés comme suit ; les détails de cette relation sont donnés dans Hall, Jr. (1959) . Un plan projectif est un plan de translation par rapport à la droite à l'infini si et seulement si l'un (ou tous) de ses anneaux ternaires planaires associés sont des quasi-champs droits. On l'appelle un plan de cisaillement si l'un (ou tous) de ses anneaux ternaires sont des quasichamps à gauche. ${\style d'affichage (Q,T)}$${\style d'affichage (Q,T)}$erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFHall,_Jr.1959 ( aide )

Le plan ne détermine pas uniquement l'anneau ; les 4 quasi-champs non abéliens d'ordre 9 sont des anneaux ternaires pour l'unique plan de translation non-desarguesien d'ordre 9. Ceux-ci diffèrent par le quadrilatère fondamental utilisé pour construire le plan (voir Weibel 2007).

Histoire

Les quasi-champs étaient appelés "systèmes de Veblen-Wedderburn" dans la littérature avant 1975, car ils ont été étudiés pour la première fois dans l'article de 1907 (Veblen-Wedderburn 1907) par O. Veblen et J. Wedderburn . Des études de quasi-champs et leurs applications aux plans projectifs peuvent être trouvées dans Hall (1959) et Weibel (2007) .

Les références

• Hall, Marshall, Jr. (1959), Théorie des groupes , Macmillan, LCCN  59005035 , MR  0103215.
• Veblen, O.; Wedderburn, JHM (1907), "Géométries non desarguesiennes et non pascaliennes" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3) : 379-388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR  1988781
• Weibel, Charles (2007), "Survey of Non-Desarguesian Planes" , Avis de l'AMS , 54 (10) : 1294-1303

Voir également

• Champ proche
• Semi-terrain
• Bague de division alternative
• Systèmes Hall (avions Hall)
• avion moufang

Liens externes

• Quasifields de Hauke ​​Klein.