Quaternion - Quaternion

Table de multiplication des quaternions
1 je j k
1 1 je j k
je je -1 k j
j j k -1 je
k k j je -1
Graphique de Cayley Q8 montrant les 6 cycles de multiplication par i , j et k . (Dans le fichier SVG , survolez ou cliquez sur un cycle pour le mettre en surbrillance.)

En mathématiques , le système de nombres quaternioniques étend les nombres complexes . Les quaternions ont été décrits pour la première fois par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843 et appliqués à la mécanique dans l' espace tridimensionnel . Hamilton a défini un quaternion comme le quotient de deux lignes dirigées dans un espace tridimensionnel, ou, de manière équivalente, comme le quotient de deux vecteurs . La multiplication des quaternions est non commutative .

Les quaternions sont généralement représentés sous la forme

a , b , c et d sont des nombres réels ; et i , j et k sont les quaternions de base .

Les quaternions sont utilisés en mathématiques pures , mais ont également des utilisations pratiques en mathématiques appliquées , en particulier pour les calculs impliquant des rotations tridimensionnelles , telles que l'infographie tridimensionnelle , la vision par ordinateur et l' analyse de texture cristallographique . Ils peuvent être utilisés conjointement avec d'autres méthodes de rotation, telles que les angles d'Euler et les matrices de rotation , ou en alternative, selon l'application.

Dans le langage mathématique moderne , les quaternions forment une algèbre de division normée associative à quatre dimensions sur les nombres réels, et donc aussi un domaine . L'algèbre des quaternions est souvent désignée par H (pour Hamilton ), ou au tableau gras par Elle peut également être donnée par les classifications algébriques de Clifford. En fait, ce fut la première algèbre de division non commutative à être découverte.

Selon le théorème de Frobenius , l'algèbre est l'un des deux seuls anneaux de division de dimension finie contenant un sous - anneau propre isomorphe aux nombres réels ; l'autre étant les nombres complexes. Ces anneaux sont aussi des algèbres euclidiennes de Hurwitz , dont les quaternions sont la plus grande algèbre associative . Une extension supplémentaire des quaternions donne les octonions non associatifs , qui est la dernière algèbre de division normée sur les nombres réels. (Les sédenions , l'extension des octonions, ont des diviseurs nuls et ne peuvent donc pas être une algèbre de division normée.)

Les quaternions unitaires peuvent être considérés comme un choix d'une structure de groupe sur la 3-sphère S 3 qui donne le groupe Spin(3) , qui est isomorphe à SU(2) et aussi à la couverture universelle de SO(3) .

Représentation graphique des produits d'unités de quaternions sous forme de rotations de 90° dans les plans de l'espace à 4 dimensions s'étendant sur deux de {1, i , j , k }. Le facteur gauche peut être considéré comme étant tourné par le facteur droit pour arriver au produit. Visuellement i   j = − ( j   i ) .
  • En bleu :
    • 1  i = i    (1/ i plan)
    • i j = k    ( i / k plan)
  • En rouge :
    • 1  j = j    (1/ j plan)
    • j i = − k    ( plan j / k )

Histoire

Plaque Quaternion sur Brougham (Broom) Bridge , Dublin , qui dit :

Ici, alors qu'il passait
le 16 octobre 1843,
Sir William Rowan Hamilton,
dans un éclair de génie, découvrit
la formule fondamentale de la
multiplication des quaternions
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1
& la coupa sur une pierre de ce pont

Les quaternions ont été introduits par Hamilton en 1843. Les précurseurs importants de ce travail comprenaient l'identité à quatre carrés d'Euler (1748) et la paramétrisation des rotations générales par quatre paramètres d' Olinde Rodrigues (1840), mais aucun de ces auteurs n'a traité les rotations à quatre paramètres comme un algèbre. Carl Friedrich Gauss avait également découvert des quaternions en 1819, mais cet ouvrage ne fut publié qu'en 1900.

Hamilton savait que les nombres complexes pouvaient être interprétés comme des points dans un plan , et il cherchait un moyen de faire de même pour les points dans l' espace tridimensionnel . Les points dans l'espace peuvent être représentés par leurs coordonnées, qui sont des triplets de nombres, et depuis de nombreuses années il savait additionner et soustraire des triplets de nombres. Cependant, depuis longtemps, il était bloqué sur le problème de la multiplication et de la division. Il ne pouvait pas comprendre comment calculer le quotient des coordonnées de deux points dans l'espace. En fait, Ferdinand Georg Frobenius a prouvé plus tard en 1877 que pour qu'une algèbre de division sur les nombres réels soit de dimension finie et associative, elle ne peut pas être tridimensionnelle, et il n'y a que trois de ces algèbres de division : (nombres complexes) et (quaternions ) qui ont respectivement les dimensions 1, 2 et 4.

La grande percée dans les quaternions eut finalement lieu le lundi 16 octobre 1843 à Dublin , alors que Hamilton se rendait à la Royal Irish Academy où il allait présider une réunion du conseil. Alors qu'il marchait le long du chemin de halage du Canal Royal avec sa femme, les concepts derrière les quaternions prenaient forme dans son esprit. Lorsque la réponse lui est venue, Hamilton n'a pas pu résister à l'envie de sculpter la formule des quaternions,

dans la pierre du pont Brougham alors qu'il s'y arrêtait. Bien que la sculpture ait disparu depuis, il y a un pèlerinage annuel depuis 1989 appelé Hamilton Walk pour les scientifiques et les mathématiciens qui marchent de l'observatoire Dunsink au pont du canal royal en souvenir de la découverte de Hamilton.

Le jour suivant, Hamilton a écrit une lettre à son ami et collègue mathématicien, John T. Graves, décrivant le train de pensée qui a conduit à sa découverte. Cette lettre a été publiée plus tard dans une lettre au London, Edinburgh et Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science ; Hamilton déclare :

Et ici m'est venue l'idée que nous devons admettre, dans un certain sens, une quatrième dimension de l'espace dans le but de calculer avec des triples... Un circuit électrique sembla se fermer, et une étincelle jaillit.

Hamilton a appelé un quadruple avec ces règles de multiplication un quaternion , et il a consacré la majeure partie du reste de sa vie à les étudier et à les enseigner. Le traitement de Hamilton est plus géométrique que l'approche moderne, qui met l'accent sur les propriétés algébriques des quaternions . Il fonda une école de « quaternionistes », et il tenta de vulgariser les quaternions dans plusieurs livres. Le dernier et le plus long de ses livres, Elements of Quaternions , comptait 800 pages ; il a été édité par son fils et publié peu de temps après sa mort.

Après la mort de Hamilton, le physicien mathématicien écossais Peter Tait est devenu le principal représentant des quaternions. A cette époque, les quaternions étaient un sujet d'examen obligatoire à Dublin. Les sujets de physique et de géométrie qui seraient maintenant décrits à l'aide de vecteurs, tels que la cinématique dans l'espace et les équations de Maxwell , ont été entièrement décrits en termes de quaternions. Il y avait même une association de recherche professionnelle, la Quaternion Society , consacrée à l'étude des quaternions et d'autres systèmes numériques hypercomplexes .

À partir du milieu des années 1880, les quaternions ont commencé à être déplacés par l' analyse vectorielle , qui avait été développée par Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside et Hermann von Helmholtz . L'analyse vectorielle a décrit les mêmes phénomènes que les quaternions, elle a donc emprunté généreusement quelques idées et terminologie à la littérature sur les quaternions. Cependant, l'analyse vectorielle était conceptuellement plus simple et plus propre sur le plan de la notation, et les quaternions ont finalement été relégués à un rôle mineur en mathématiques et en physique . Un effet secondaire de cette transition est que le travail de Hamilton est difficile à comprendre pour de nombreux lecteurs modernes. Les définitions originales de Hamilton ne sont pas familières et son style d'écriture était verbeux et difficile à suivre.

Cependant, les quaternions ont connu un renouveau depuis la fin du 20e siècle, principalement en raison de leur utilité pour décrire les rotations spatiales . Les représentations des rotations par quaternions sont plus compactes et plus rapides à calculer que les représentations par matrices . De plus, contrairement aux angles d'Euler, ils ne sont pas sensibles au « gimbal lock ». Pour cette raison, les quaternions sont utilisés en infographie , vision par ordinateur , robotique , théorie du contrôle , traitement du signal , contrôle d'attitude , physique , bioinformatique , dynamique moléculaire , simulations informatiques et mécanique orbitale . Par exemple, il est courant que les systèmes de contrôle d'attitude des engins spatiaux soient commandés en quaternions. Les quaternions ont reçu un autre coup de pouce de la théorie des nombres en raison de leurs relations avec les formes quadratiques .

Quaternions en physique

L'essai de 1984 de PR Girard Le groupe des quaternions et la physique moderne traite de certains rôles des quaternions en physique. L'essai montre comment divers groupes de covariance physique, à savoir SO(3) , le groupe de Lorentz, le groupe de la théorie générale de la relativité, l'algèbre de Clifford SU(2) et le groupe conforme, peuvent facilement être liés au groupe des quaternions en algèbre moderne . Girard a commencé par discuter des représentations de groupe et par représenter certains groupes spatiaux de la cristallographie . Il a procédé à la cinématique du mouvement du corps rigide . Ensuite, il a utilisé des quaternions complexes ( biquaternions ) pour représenter le groupe de Lorentz de la relativité restreinte, y compris la précession de Thomas . Il a cité cinq auteurs, à commencer par Ludwik Silberstein , qui a utilisé une fonction potentielle d'une variable de quaternion pour exprimer les équations de Maxwell dans une seule équation différentielle . Concernant la relativité générale, il a exprimé le vecteur Runge-Lenz . Il a mentionné les biquaternions de Clifford ( split-biquaternions ) comme une instance de l'algèbre de Clifford. Enfin, invoquant la réciproque d'un biquaternion, Girard a décrit des cartes conformes sur l' espace-temps . Parmi les cinquante références, Girard a inclus Alexander Macfarlane et son Bulletin of the Quaternion Society . En 1999, il montra comment les équations de la relativité générale d'Einstein pouvaient être formulées dans une algèbre de Clifford directement liée aux quaternions.

La découverte de 1924 selon laquelle, en mécanique quantique, le spin d'un électron et d'autres particules de matière (appelées spineurs ) peut être décrit à l'aide de quaternions a renforcé leur intérêt ; les quaternions ont permis de comprendre comment les rotations des électrons à 360° peuvent être distinguées de celles à 720° (le « truc des plaques »). En 2018, leur utilisation n'a pas dépassé les groupes de rotation .

Définition

Un quaternion est une expression de la forme

a , b , c , d , sont des nombres réels , et i , j , k , sont des symboles qui peuvent être interprétés comme des vecteurs unitaires pointant le long des trois axes spatiaux. En pratique, si l'un de a , b , c , d vaut 0, le terme correspondant est omis ; si a , b , c , d sont tous nuls, le quaternion est le quaternion nul , noté 0 ; si l'un des b , c , d est égal à 1, le terme correspondant s'écrit simplement i , j ou k .

Hamilton décrit un quaternion , composé d'une partie scalaire et d'une partie vectorielle. Le quaternion est appelé la partie vectorielle (parfois partie imaginaire ) de q , et a est la partie scalaire (parfois partie réelle ) de q . Un quaternion égal à sa partie réelle (c'est-à-dire que sa partie vectorielle est zéro) est appelé quaternion scalaire ou réel et est identifié avec le nombre réel correspondant. C'est-à-dire que les nombres réels sont intégrés dans les quaternions. (Plus correctement, le champ des nombres réels est isomorphe à un sous-ensemble des quaternions. Le champ des nombres complexes est également isomorphe à trois sous-ensembles de quaternions.) Un quaternion égal à sa partie vectorielle est appelé un quaternion vectoriel .

L'ensemble des quaternions est constitué d'un espace vectoriel à 4 dimensions sur les nombres réels, avec comme base , par l'addition en composantes

et la multiplication scalaire par composantes

Une structure de groupe multiplicative, appelée produit de Hamilton , notée par juxtaposition, peut être définie sur les quaternions de la manière suivante :

  • Le vrai quaternion 1 est l' élément d'identité .
  • Les quaternions réels commutent avec tous les autres quaternions, c'est-à-dire aq = qa pour chaque quaternion q et chaque quaternion réel a . En terminologie algébrique cela veut dire que le corps des quaternions réels est le centre de cette algèbre de quaternions.
  • Le produit est d'abord donné pour les éléments de base (voir la sous-section suivante), puis étendu à tous les quaternions en utilisant la propriété distributive et la propriété du centre des quaternions réels. Le produit de Hamilton n'est pas commutatif , mais associatif , ainsi les quaternions forment une algèbre associative sur les nombres réels.
  • De plus, tout quaternion non nul a un inverse par rapport au produit de Hamilton :

Ainsi les quaternions forment une algèbre de division.

Multiplication des éléments de base

Table de multiplication
× 1 je j k
1 1 je j k
je je -1 k j
j j k -1 je
k k j je -1
La non commutativité est soulignée par des carrés de couleur

La multiplication avec 1 des éléments de base i , j et k est définie par le fait que 1 est une identité multiplicative , c'est-à-dire

Les autres produits des éléments de base sont définis à partir des règles de produit pour et

et

Ensuite, les autres règles de produit sont obtenues en remplaçant par et en appliquant l' associativité et l' anticommutativité de et (c'est-à-dire ), ce qui donne

Centre

Le centre d'un anneau non commutatif est le sous-anneau des éléments c tels que cx = xc pour tout x . Le centre de l'algèbre des quaternions est le sous-champ des quaternions réels. En fait, cela fait partie de la définition que les vrais quaternions appartiennent au centre. Inversement, si q = a + b i + c j + d k appartient au centre, alors

et c = d = 0 . Un calcul similaire avec j au lieu de i montre que l'on a aussi b = 0 . Ainsi q = a est un quaternion réel .

Les quaternions forment une algèbre de division. Cela signifie que la non-commutativité de la multiplication est la seule propriété qui rend les quaternions différents d'un corps . Cette non-commutativité a des conséquences inattendues, parmi lesquelles une équation polynomiale sur les quaternions peut avoir des solutions plus distinctes que le degré du polynôme. Par exemple, l'équation z 2 + 1 = 0 , a une infinité de solutions de quaternions, qui sont les quaternions z = b i + c j + d k tels que b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Ainsi ces "racines de –1" forment une sphère unité dans l'espace tridimensionnel des quaternions vectoriels.

Produit Hamilton

Pour deux éléments a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k et a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k , leur produit, appelé produit de Hamilton ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ), est déterminé par les produits des éléments de base et de la loi de distribution . La loi distributive permet de développer le produit pour qu'il soit une somme de produits d'éléments de base. Cela donne l'expression suivante :

Maintenant, les éléments de base peuvent être multipliés en utilisant les règles données ci-dessus pour obtenir :

Le produit de deux quaternions de rotation sera équivalent à la rotation a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k suivie de la rotation a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k .

Parties scalaires et vectorielles

Un quaternion de la forme a + 0 i + 0 j + 0 k , où a est un nombre réel, est appelé scalaire , et un quaternion de la forme 0 + b i + c j + d k , où b , c , et d sont des nombres réels, et au moins l'un de b , c ou d est différent de zéro, est appelé un quaternion vectoriel . Si a + b i + c j + d k est un quaternion quelconque, alors a est appelé sa partie scalaire et b i + c j + d k est appelé sa partie vectorielle . Même si chaque quaternion peut être considéré comme un vecteur dans un espace vectoriel à quatre dimensions, il est courant d'appeler la partie vectorielle des vecteurs dans un espace à trois dimensions. Avec cette convention, un vecteur est le même qu'un élément de l'espace vectoriel

Hamilton a également appelé quaternions vectoriels quaternions droits et nombres réels (considérés comme des quaternions avec une partie vectorielle nulle) quaternions scalaires .

Si un quaternion est divisé en une partie scalaire et une partie vectorielle, c'est-à-dire

alors les formules d'addition et de multiplication sont

où " " et " " désignent respectivement le produit scalaire et le produit croisé .

Conjugaison, norme et réciproque

La conjugaison des quaternions est analogue à la conjugaison des nombres complexes et à la transposition (également appelée inversion) d'éléments des algèbres de Clifford. Pour le définir, soit un quaternion. Le conjugué de q est le quaternion . Il est noté q , q t , , ou q . La conjugaison est une involution , ce qui signifie que c'est son propre inverse , donc conjuguer un élément renvoie deux fois l'élément d'origine. Le conjugué d'un produit de deux quaternions est le produit des conjugués dans l'ordre inverse . Autrement dit, si p et q sont des quaternions, alors ( pq ) = q p , pas p q .

La conjugaison d'un quaternion, en contraste frappant avec le cadre complexe, peut être exprimée par multiplication et addition de quaternions :

La conjugaison peut être utilisée pour extraire les parties scalaire et vectorielle d'un quaternion. La partie scalaire de p est 1/2( p + p ) , et la partie vectorielle de p est1/2( P - p * ) .

La racine carrée du produit d'un quaternion avec son conjugué est appelée sa norme et est notée || q || (Hamilton a appelé cette quantité le tenseur de q , mais cela entre en conflit avec le sens moderne de " tenseur "). Dans les formules, cela s'exprime comme suit :

C'est toujours un nombre réel non négatif, et c'est la même chose que la norme euclidienne sur considérée comme l'espace vectoriel . La multiplication d'un quaternion par un nombre réel met à l'échelle sa norme par la valeur absolue du nombre. Autrement dit, si α est réel, alors

C'est un cas particulier du fait que la norme est multiplicative , ce qui signifie que

pour deux quaternions quelconques p et q . La multiplicativité est une conséquence de la formule du conjugué d'un produit. Alternativement, il découle de l'identité

(où i désigne l' unité imaginaire usuelle ) et donc de la propriété multiplicative des déterminants des matrices carrées.

Cette norme permet de définir la distance d ( p , q ) entre p et q comme la norme de leur différence :

Cela fait un espace métrique . L'addition et la multiplication sont continues dans la topologie métrique . En effet, pour tout scalaire, positif a il vaut

La continuité découle de la prise de a à zéro dans la limite. La continuité pour la multiplication se vérifie de la même manière.

Quaternion unitaire

Un quaternion unité est un quaternion de norme un. La division d'un quaternion non nul q par sa norme produit un quaternion unitaire U q appelé verseur de q :

Chaque quaternion a une décomposition polaire .

L'utilisation de la conjugaison et de la norme permet de définir l' inverse d'un quaternion non nul. Le produit d'un quaternion avec son réciproque doit être égal à 1, et les considérations ci-dessus impliquent que le produit de et est 1 (pour l'un ou l'autre ordre de multiplication). Donc l' inverse de q est défini comme étant

Cela permet de diviser deux quaternions p et q de deux manières différentes (lorsque q est non nul). C'est-à-dire que leur quotient peut être soit p q -1 soit q -1 p  ; en général, ces produits sont différents, selon l'ordre de multiplication, à l'exception du cas particulier où p et q sont des multiples scalaires l'un de l'autre (ce qui inclut le cas où p = 0 ). Par conséquent, la notationp/qest ambigu car il ne précise pas si q divise à gauche ou à droite (si  q −1 multiplie p à sa gauche ou à sa droite).

Propriétés algébriques

Graphique de Cayley de Q 8 . Les flèches rouges représentent la multiplication à droite par i , et les flèches vertes représentent la multiplication à droite par j .

L'ensemble de tous les quaternions est un espace vectoriel sur les nombres réels de dimension  4. La multiplication des quaternions est associative et se distribue sur l'addition vectorielle, mais à l'exception du sous-ensemble scalaire, elle n'est pas commutative. Par conséquent, les quaternions sont une algèbre associative non commutative sur les nombres réels. Même s'il contient des copies des nombres complexes, ce n'est pas une algèbre associative sur les nombres complexes.

Parce qu'il est possible de diviser les quaternions, ils forment une algèbre de division. Il s'agit d'une structure similaire à un champ à l' exception de la non-commutativité de la multiplication. Les algèbres de division associative de dimension finie sur les nombres réels sont très rares. Le théorème de Frobenius déclare qu'il y en a exactement trois : , , et . La norme fait des quaternions une algèbre normée , et les algèbres de division normée sur les nombres réels sont également très rares : le théorème de Hurwitz dit qu'il n'y en a que quatre : , , , et (les octonions). Les quaternions sont aussi un exemple d' algèbre de composition et d'algèbre de Banach unitaire .

Graphique tridimensionnel de Q 8 . Les flèches rouges, vertes et bleues représentent respectivement la multiplication par i , j et k . La multiplication par des nombres négatifs est omise pour plus de clarté.

Parce que le produit de deux vecteurs de base quelconques est plus ou moins un autre vecteur de base, l'ensemble {±1, ± i , ± j , ± k } forme un groupe sous multiplication. Ce groupe non abélien est appelé groupe quaternion et est noté Q 8 . L' anneau de groupe réel de Q 8 est un anneau qui est aussi un espace vectoriel à huit dimensions sur Il a un vecteur de base pour chaque élément de Les quaternions sont isomorphes à l' anneau quotient de par l' idéal engendré par les éléments 1 + (−1 ) , i + (− i ) , j + (− j ) et k + (− k ) . Ici, le premier terme de chacune des différences est l'un des éléments de base 1, i , j et k , et le second terme est l'un des éléments de base -1, − i , − j et k , et non les inverses additifs de 1, i , j et k .

Les quaternions et la géométrie de l'espace

La partie vectorielle d'un quaternion peut être interprétée comme un vecteur de coordonnées. Par conséquent, les opérations algébriques des quaternions reflètent la géométrie des opérations telles que le point vectoriel et les produits vectoriels peuvent être définis en termes de quaternions, ce qui permet d'appliquer techniques de quaternions partout où apparaissent des vecteurs spatiaux. Une application utile des quaternions a été d'interpoler les orientations des images clés en infographie.

Pour le reste de cette section, i , j et k désigneront à la fois les trois vecteurs de base imaginaires de et une base pour Remplacer i par i , j par j , et k par k envoie un vecteur à son inverse additif , donc l'inverse additif d'un vecteur est le même que son conjugué en tant que quaternion. Pour cette raison, la conjugaison est parfois appelée l' inverse spatial .

Pour deux quaternions vectoriels p = b 1 i + c 1 j + d 1 k et q = b 2 i + c 2 j + d 2 k leur produit scalaire , par analogie aux vecteurs dans est

Il peut également être exprimé d'une manière sans composant comme

Ceci est égal aux parties scalaires des produits pq , qp , p q et q p . Notez que leurs parties vectorielles sont différentes.

Le produit vectoriel de p et q par rapport à l'orientation déterminée par la base ordonnée i , j et k est

(Rappelons que l'orientation est nécessaire pour déterminer le signe.) Ceci est égal à la partie vectorielle du produit pq (en quaternions), ainsi qu'à la partie vectorielle de q p . Il a aussi la formule

Pour le commutateur , [ p , q ] = pqqp , de deux quaternions vectoriels on obtient

En général, soient p et q des quaternions et écrivons

p s et q s sont les parties scalaires, et p v et q v sont les parties vectorielles de p et q . On a alors la formule

Cela montre que la non-commutativité de la multiplication des quaternions provient de la multiplication des quaternions vectoriels. Il montre également que deux quaternions commutent si et seulement si leurs parties vectorielles sont colinéaires. Hamilton a montré que ce produit calcule le troisième sommet d'un triangle sphérique à partir de deux sommets donnés et de leurs longueurs d'arc associées, qui est également une algèbre de points en géométrie elliptique .

Les quaternions unitaires peuvent être identifiés avec des rotations et ont été appelés verseurs par Hamilton. Voir également Quaternions et rotation spatiale pour plus d'informations sur la modélisation des rotations tridimensionnelles à l'aide de quaternions.

Voir Hanson (2005) pour la visualisation des quaternions.

Représentations matricielles

Tout comme les nombres complexes peuvent être représentés sous forme de matrices , les quaternions le peuvent aussi. Il existe au moins deux manières de représenter les quaternions sous forme de matrices de telle sorte que l'addition et la multiplication de quaternions correspondent à l'addition et à la multiplication de matrice . L'une consiste à utiliser des matrices complexes 2 × 2 et l'autre consiste à utiliser des matrices réelles 4 × 4 . Dans chaque cas, la représentation donnée fait partie d'une famille de représentations liées linéairement. Dans la terminologie de l' algèbre abstraite , ce sont injective homomorphismes de l' anneaux de la matrice M (2, ℂ) et M (4, ℝ) , respectivement.

En utilisant des matrices complexes 2 × 2, le quaternion a + bi + cj + dk peut être représenté comme

Notez que le "i" des nombres complexes est distinct du "i" des quaternions.

Cette représentation a les propriétés suivantes :

  • Contraindre deux quelconques de b , c et d à zéro produit une représentation de nombres complexes. Par exemple, le réglage c = d = 0 produit une représentation matricielle complexe diagonale de nombres complexes, et le réglage b = d = 0 produit une représentation matricielle réelle.
  • La norme d'un quaternion (la racine carrée du produit avec son conjugué, comme pour les nombres complexes) est la racine carrée du déterminant de la matrice correspondante.
  • Le conjugué d'un quaternion correspond au transposé conjugué de la matrice.
  • Par restriction cette représentation donne un isomorphisme entre le sous-groupe des quaternions unitaires et leur image SU(2) . Topologiquement, les quaternions unitaires sont la 3-sphère, donc l'espace sous-jacent de SU(2) est aussi une 3-sphère. Le groupe SU(2) est important pour décrire le spin en mécanique quantique ; voir matrices de Pauli .
  • Il existe une forte relation entre les unités de quaternions et les matrices de Pauli. Obtenez les huit matrices unitaires de quaternions en prenant a , b , c et d , mettez trois d'entre elles à zéro et la quatrième à 1 ou -1. La multiplication de deux matrices de Pauli donne toujours une matrice d'unités de quaternions, toutes sauf -1. On obtient -1 via i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 ; par exemple la dernière égalité est

En utilisant 4 × 4 matrices réelles, ce même quaternion peut être écrit comme

Cependant, la représentation des quaternions dans M(4,ℝ) n'est pas unique. Par exemple, le même quaternion peut également être représenté comme

Il existe 48 représentations matricielles distinctes de cette forme dans lesquelles l'une des matrices représente la partie scalaire et les trois autres sont toutes antisymétriques. Plus précisément, il existe 48 ensembles de quadruples de matrices avec ces contraintes de symétrie telles qu'une fonction envoyant 1, i , j et k aux matrices du quadruple est un homomorphisme, c'est-à-dire qu'elle envoie des sommes et des produits de quaternions aux sommes et produits de matrices. Dans cette représentation, le conjugué d'un quaternion correspond à la transposée de la matrice. La quatrième puissance de la norme d'un quaternion est le déterminant de la matrice correspondante. Comme avec la représentation complexe 2 × 2 ci-dessus, les nombres complexes peuvent à nouveau être produits en contraignant les coefficients de manière appropriée ; par exemple, sous forme de matrices diagonales de blocs avec deux blocs 2 × 2 en définissant c = d = 0 .

Chaque représentation matricielle 4×4 des quaternions correspond à une table de multiplication des quaternions unitaires. Par exemple, la dernière représentation matricielle donnée ci-dessus correspond à la table de multiplication

× une b c
une une -b -c
-d -d une c -b
b b c une d
c c b une

qui est isomorphe — par — à

× 1 k je j
1 1 k je j
k k 1 j je
je je j 1 k
j j je k 1

Contraindre une telle table de multiplication à avoir l'identité dans la première ligne et la première colonne et pour que les signes des en-têtes de ligne soient opposés à ceux des en-têtes de colonne, alors il y a 3 choix possibles pour la deuxième colonne (ignorant le signe), 2 possibles choix pour la troisième colonne (ignorant signe), et 1 choix possible pour la quatrième colonne (ignorant signe); cela fait 6 possibilités. Ensuite, la deuxième colonne peut être choisie positive ou négative, la troisième colonne peut être choisie positive ou négative et la quatrième colonne peut être choisie positive ou négative, ce qui donne 8 possibilités pour le signe. En multipliant les possibilités pour les positions des lettres et pour leurs signes, on obtient 48. Ensuite, remplacer 1 par a , i par b , j par c et k par d et supprimer les en-têtes de ligne et de colonne donne une représentation matricielle de a + b i + c j + d k .

Le théorème des quatre carrés de Lagrange

Les quaternions sont également utilisés dans l'une des preuves du théorème des quatre carrés de Lagrange en théorie des nombres , qui stipule que chaque entier non négatif est la somme de quatre carrés entiers. En plus d'être un théorème élégant à part entière, le théorème des quatre carrés de Lagrange a des applications utiles dans les domaines des mathématiques en dehors de la théorie des nombres, comme la théorie de la conception combinatoire. La preuve basée sur les quaternions utilise les quaternions de Hurwitz, un sous-anneau de l'anneau de tous les quaternions pour lequel il existe un analogue de l' algorithme d'Euclide .

Quaternions comme paires de nombres complexes

Les quaternions peuvent être représentés comme des paires de nombres complexes. De ce point de vue, les quaternions sont le résultat de l'application de la construction de Cayley-Dickson aux nombres complexes. Il s'agit d'une généralisation de la construction des nombres complexes sous forme de paires de nombres réels.

Soit un espace vectoriel à deux dimensions sur les nombres complexes. Choisissez une base constituée de deux éléments 1 et j . Un vecteur dans peut être écrit en fonction des éléments de base 1 et j comme

Si nous définissons j 2 = −1 et i j = − j i , alors nous pouvons multiplier deux vecteurs en utilisant la loi de distribution. Utiliser k comme notation abrégée pour le produit i j conduit aux mêmes règles de multiplication que les quaternions habituels. Par conséquent, le vecteur de nombres complexes ci-dessus correspond au quaternion a + bi + c j + d k . Si nous écrivons les éléments de sous forme de paires ordonnées et les quaternions sous forme de quadruples, alors la correspondance est

Racines carrées

Racines carrées de -1

Dans les nombres complexes, il n'y a que deux nombres, i et − i , dont le carré est −1 . Dans il y a une infinité de racines carrées de moins un : la solution de quaternion pour la racine carrée de −1 est la sphère unité dans Pour voir cela, soit q = a + b i + c j + d k un quaternion, et supposons que son carré est -1. En termes de a , b , c et d , cela signifie

Pour satisfaire les trois dernières équations, soit a = 0 ou b , c , et d sont tous 0. Ce dernier est impossible car a est un nombre réel et la première équation impliquerait que a 2 = -1 . Par conséquent, a = 0 et b 2 + c 2 + d 2 = 1 . En d'autres termes : Un quaternion carré à -1 si et seulement si c'est un quaternion vectoriel de norme 1. Par définition, l'ensemble de tous ces vecteurs forme la sphère unité.

Seuls les quaternions réels négatifs ont une infinité de racines carrées. Tous les autres n'en ont que deux (ou un dans le cas de 0).

En tant qu'union de plans complexes

Chaque paire de racines carrées de -1 crée une copie distincte des nombres complexes à l'intérieur des quaternions. Si q 2 = −1 , alors la copie est déterminée par la fonction

Ceci est une injective homomorphisme d'anneaux à partir de laquelle définit un champ isomorphisme de sur sa photo . Les images des plongements correspondant à q et − q sont identiques.

Chaque quaternion non réel génère une sous - algèbre des quaternions qui est isomorphe à et est donc un sous-espace planaire d' écriture q comme somme de sa partie scalaire et de sa partie vectorielle :

Décomposer davantage la partie vectorielle comme le produit de sa norme et de son verseur :

(Notez que ce n'est pas la même chose que .) Le verseur de la partie vectorielle de q , , est un verseur droit avec –1 comme carré. Une simple vérification montre que

définit un homomorphisme injectif d' algèbres normées de dans les quaternions. Sous cet homomorphisme, q est l'image du nombre complexe .

Comme l' union des images de tous ces homomorphismes, cela permet de visualiser les quaternions comme une union de plans complexes se coupant sur la droite réelle . Chacun de ces plans complexes contient exactement une paire de points antipodaux de la sphère des racines carrées de moins un.

Sous-anneaux commutatifs

La relation des quaternions entre eux dans les sous-plans complexes de peut également être identifiée et exprimée en termes de sous-anneaux commutatifs . Plus précisément, puisque deux quaternions p et q ne commutent (c'est-à-dire, pq = qp ) que s'ils se trouvent dans le même sous-plan complexe de , le profil de en tant qu'union de plans complexes apparaît lorsque l'on cherche à trouver tous les sous-anneaux commutatifs de l' anneau de quaternions .

Racines carrées de quaternions arbitraires

Tout quaternion (représenté ici en représentation scalaire-vecteur) a au moins une racine carrée qui résout l'équation . En regardant les parties scalaire et vectorielle de cette équation séparément, on obtient deux équations qui, une fois résolues, donnent les solutions

où est la norme de et est la norme de . Pour tout quaternion scalaire , cette équation fournit les racines carrées correctes si est interprétée comme un vecteur unitaire arbitraire.

Par conséquent, les quaternions non nuls et non scalaires, ou les quaternions scalaires positifs, ont exactement deux racines, tandis que 0 a exactement une racine (0), et les quaternions scalaires négatifs ont une infinité de racines, qui sont les quaternions vecteurs situés sur , c'est-à-dire, où la partie scalaire est nulle et la partie vectorielle est située sur la 2-sphère de rayon .

Fonctions d'une variable quaternion

Les ensembles de Julia et les ensembles de Mandelbrot peuvent être étendus aux Quaternions, mais ils doivent utiliser des coupes transversales pour être rendus visuellement en 3 dimensions. Cet ensemble de Julia est coupé au niveau du plan xy .

Comme les fonctions d'une variable complexe , les fonctions d'une variable quaternion suggèrent des modèles physiques utiles. Par exemple, les champs électriques et magnétiques originaux décrits par Maxwell étaient des fonctions d'une variable de quaternion. Des exemples d'autres fonctions incluent l'extension de l' ensemble de Mandelbrot et des ensembles de Julia dans un espace à 4 dimensions.

Fonctions exponentielles, logarithmiques et puissance

Étant donné un quaternion,

l'exponentielle est calculée comme

et le logarithme est

Il s'ensuit que la décomposition polaire d'un quaternion peut s'écrire

où l' angle

et le vecteur unitaire est défini par :

Tout quaternion unitaire peut être exprimé sous forme polaire comme :

.

La puissance d'un quaternion élevée à un exposant arbitraire (réel) x est donnée par :

Norme géodésique

La distance géodésique d g ( p , q ) entre les quaternions unitaires p et q est définie comme :

et équivaut à la valeur absolue de la moitié de l'angle sous-tendu par p et q le long d'un grand arc de la sphère S 3 . Cet angle peut également être calculé à partir du produit scalaire de quaternions sans le logarithme comme :

Groupes de rotation tridimensionnels et quadridimensionnels

Le mot « conjugaison », outre le sens donné ci-dessus, peut également signifier prendre un élément a à r a r -1r est un quaternion non nul. Tous les éléments conjugués à un élément donné (dans ce sens du mot conjugué) ont la même partie réelle et la même norme de la partie vectorielle. (Ainsi le conjugué dans l'autre sens est l'un des conjugués dans ce sens.)

Ainsi le groupe multiplicatif des quaternions non nuls agit par conjugaison sur la copie de constitué de quaternions de partie réelle égale à zéro. Conjugaison par un quaternion unitaire (un quaternion de valeur absolue 1) avec la partie réelle cos ( & phiv ) est une rotation d'un angle 2 φ , l'axe de rotation étant la direction de la partie de vecteur. Les avantages des quaternions sont :

L'ensemble de tous les quaternions unitaires ( verseurs ) forme une 3-sphère S 3 et un groupe (un groupe de Lie ) sous multiplication, couvrant doublement le groupe SO(3,ℝ) des matrices orthogonales 3×3  réelles de déterminant  1 puisque deux unités les quaternions correspondent à chaque rotation sous la correspondance ci-dessus. Voir l' astuce de l' assiette .

L'image d'un sous-groupe de verseurs est un groupe de points , et inversement, la pré-image d'un groupe de points est un sous-groupe de verseurs. La préimage d'un groupe de points finis est appelée du même nom, avec le préfixe binaire . Par exemple, la préimage du groupe icosaédrique est le groupe icosaédrique binaire .

Le groupe des verseurs est isomorphe à SU(2) , le groupe des matrices unitaires complexes 2×2 de déterminant  1.

Soit A l'ensemble des quaternions de la forme a + b i + c j + d k a, b, c et d sont soit tous des entiers, soit tous des demi-entiers . L'ensemble A est un anneau (en fait un domaine ) et un réseau et est appelé l'anneau des quaternions de Hurwitz. Il y a 24 quaternions unitaires dans cet anneau, et ce sont les sommets d'une cellule régulière de 24 avec le symbole de Schläfli {3,4,3}. Ils correspondent à la double couverture du groupe de symétrie de rotation du tétraèdre régulier . De même, les sommets d'une cellule 600 régulière avec le symbole de Schläfli {3,3,5 } peuvent être pris comme unités icosiennes , correspondant à la double couverture du groupe de symétrie de rotation de l' icosaèdre régulier . La double couverture du groupe de symétrie de rotation de l' octaèdre régulier correspond aux quaternions qui représentent les sommets de la cellule 288 disphénoïdale .

Algèbres de quaternions

Les quaternions peuvent être généralisés en d'autres algèbres appelées algèbres de quaternions . Soit F un corps quelconque de caractéristique différente de 2, et a et b des éléments de F ; une algèbre associative unitaire à quatre dimensions peut être définie sur F de base 1, i , j , et ij , où i 2 = a , j 2 = b et ij = − ji (donc (ij) 2 = − ab ).

Les algèbres de quaternions sont isomorphes à l'algèbre des matrices 2×2  sur F ou forment des algèbres de division sur F , selon le choix de a et b .

Quaternions comme partie paire de Cl 3,0 (ℝ)

L'utilité des quaternions pour les calculs géométriques peut être généralisée à d' autres dimensions , en identifiant les quaternions comme la partie même de l'algèbre de Clifford Ceci est une algèbre de multivecteur associative construit à partir d' éléments de base fondamentaux σ 1 , σ 2 , σ 3 en utilisant les règles de l' article

Si ces éléments de base fondamentaux sont pris pour représenter des vecteurs dans l'espace 3D, alors il s'avère que la réflexion d'un vecteur r dans un plan perpendiculaire à un vecteur unitaire w peut s'écrire :

Deux réflexions font une rotation d'un angle deux fois l'angle entre les deux plans de réflexion, donc

correspond à une rotation de 180° dans le plan contenant σ 1 et σ 2 . Ceci est très similaire à la formule de quaternion correspondante,

En fait, les deux sont identiques, si l'on fait l'identification

et il est simple de confirmer que cela préserve les relations de Hamilton

Dans cette image, les « quaternions vectoriels » (c'est-à-dire les quaternions imaginaires purs) ne correspondent pas à des vecteurs mais à des bivecteurs – des quantités avec une magnitude et des orientations associées à des plans 2D particuliers  plutôt qu'à des directions 1D  . La relation avec les nombres complexes devient également plus claire : en 2D, avec deux directions vectorielles σ 1 et σ 2 , il n'y a qu'un seul élément de base bivecteur σ 1 σ 2 , donc un seul imaginaire. Mais en 3D, avec trois directions vectorielles, il y a trois éléments de base bivecteurs σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , donc trois imaginaires.

Ce raisonnement va plus loin. Dans l'algèbre de Clifford, il existe six éléments de base bivecteurs, car avec quatre directions vectorielles de base différentes, six paires différentes et donc six plans linéairement indépendants différents peuvent être définis. Les rotations dans de tels espaces utilisant ces généralisations de quaternions, appelées rotors , peuvent être très utiles pour des applications impliquant des coordonnées homogènes . Mais ce n'est qu'en 3D que le nombre de bivecteurs de base est égal au nombre de vecteurs de base, et chaque bivecteur peut être identifié comme un pseudovecteur .

Il y a plusieurs avantages à placer des quaternions dans ce cadre plus large :

  • Les rotors font naturellement partie de l'algèbre géométrique et sont facilement compris comme le codage d'une double réflexion.
  • En algèbre géométrique, un rotor et les objets sur lesquels il agit vivent dans le même espace. Cela élimine le besoin de changer les représentations et de coder de nouvelles structures et méthodes de données, ce qui est traditionnellement requis lors de l'augmentation de l'algèbre linéaire avec des quaternions.
  • Les rotors sont universellement applicables à n'importe quel élément de l'algèbre, pas seulement les vecteurs et autres quaternions, mais aussi les lignes, les plans, les cercles, les sphères, les rayons, etc.
  • Dans le modèle conforme de la géométrie euclidienne, les rotors permettent le codage de la rotation, de la translation et de la mise à l'échelle dans un seul élément de l'algèbre, agissant universellement sur n'importe quel élément. En particulier, cela signifie que les rotors peuvent représenter des rotations autour d'un axe arbitraire, alors que les quaternions sont limités à un axe passant par l'origine.
  • Les transformations codées par rotor rendent l'interpolation particulièrement simple.
  • Les rotors se transportent naturellement dans les espaces pseudo-euclidiens , par exemple, l' espace de Minkowski de la relativité restreinte . Dans de tels espaces, les rotors peuvent être utilisés pour représenter efficacement les boosts de Lorentz et pour interpréter les formules impliquant les matrices gamma .

Pour plus de détails sur les utilisations géométriques des algèbres de Clifford, voir Algèbre géométrique .

Groupe Brauer

Les quaternions sont "essentiellement" la seule algèbre centrale simple (CSA) (non triviale) sur les nombres réels, en ce sens que chaque CSA sur les nombres réels est Brauer équivalent soit aux nombres réels, soit aux quaternions. Explicitement, le groupe de Brauer des nombres réels se compose de deux classes, représentées par les nombres réels et les quaternions, où le groupe de Brauer est l'ensemble de tous les CSA, jusqu'à la relation d'équivalence d'un CSA étant un anneau matriciel sur un autre. D'après le théorème d'Artin-Wedderburn (en particulier, la partie de Wedderburn), les CSA sont toutes des algèbres matricielles sur une algèbre de division, et donc les quaternions sont la seule algèbre de division non triviale sur les nombres réels.

Les CSA - anneaux sur un corps, qui sont de simples algèbres (n'ont pas d'idéaux bilatéral non triviaux, tout comme avec les champs) dont le centre est exactement le champ - sont un analogue non commutatif des champs d'extension et sont plus restrictifs que les extensions d'anneaux générales . Le fait que les quaternions soient la seule CSA non triviale sur les nombres réels (à équivalence près) peut être comparé au fait que les nombres complexes sont la seule extension de champ non triviale des nombres réels.

Citations

Je la regarde comme une inélégance, ou une imperfection, dans les quaternions, ou plutôt dans l'état où elle s'est jusque-là déployée, chaque fois qu'il devient ou semble devenir nécessaire d'avoir recours à x, y, z, etc.

-  William Rowan Hamilton

On dit que le temps n'a qu'une dimension et que l'espace a trois dimensions. ... Le quaternion mathématique participe de ces deux éléments ; dans le langage technique, on peut dire qu'il s'agit de « temps plus espace » ou « espace plus temps » : et en ce sens, il a, ou au moins implique une référence à, quatre dimensions. Et comment l'Un du Temps, de l'Espace le Trois, Pouvoir dans la Chaîne des Symboles ceint être .

-  William Rowan Hamilton

Quaternions est venu de Hamilton après que son très bon travail ait été fait ; et, bien que magnifiquement ingénieux, ont été un mal sans mélange pour ceux qui les ont touchés de quelque manière que ce soit, y compris Clerk Maxwell .

J'en suis venu plus tard à voir qu'en ce qui concernait l'analyse vectorielle que j'avais demandée, le quaternion non seulement n'était pas nécessaire, mais était un mal positif d'une ampleur non négligeable ; et qu'en évitant l'établissement de l'analyse vectorielle a été rendu tout à fait simple et son fonctionnement également simplifié, et qu'il pourrait être commodément harmonisé avec le travail cartésien ordinaire.

—  Olivier Heaviside (1893)

Ni les matrices, ni les quaternions et les vecteurs ordinaires n'ont été bannis de ces dix chapitres [supplémentaires]. Car, malgré la puissance incontestée du calcul tensoriel moderne, ces langages mathématiques plus anciens continuent, à mon avis, d'offrir des avantages remarquables dans le domaine restreint de la relativité restreinte. De plus, en science comme dans la vie de tous les jours, la maîtrise de plus d'une langue est également précieuse, car elle élargit nos vues, est propice à la critique à l'égard de, et préserve de l'hypostase [faible-fondation] de la matière exprimée par des mots ou des symboles mathématiques.

—  Ludwik Silberstein (1924)

... les quaternions semblent dégager un air de décadence du XIXe siècle, en tant qu'espèce plutôt infructueuse dans la lutte pour la vie des idées mathématiques. Les mathématiciens, certes, gardent toujours une place chaleureuse dans leur cœur pour les propriétés algébriques remarquables des quaternions mais, hélas, un tel enthousiasme ne signifie pas grand-chose pour le physicien à la tête plus dure.

—  Simon L. Altmann (1986)

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Livres et éditions

Liens et monographies

Liens externes