Modèle à effets aléatoires - Random effects model

Fait partie d'une série sur
Analyse de régression
Des modèles
Régression linéaire Régression simple Régression polynomiale Modèle linéaire général
Modèle linéaire généralisé Choix discret Régression binomiale Régression binaire Régression logistique Régression logistique multinomiale Logit mixte Probit Probit multinomial Logit commandé Probit commandé Poisson
Modèle à plusieurs niveaux Effets fixes Effets aléatoires Modèle linéaire à effets mixtes Modèle non linéaire à effets mixtes
Régression non linéaire Non paramétrique Semi-paramétrique Robuste Quantile Isotonique Composants principaux Plus petit angle Local Segmenté
Erreurs dans les variables
Estimation
Moindres carrés Linéaire Non-linéaire
Ordinaire Pondéré Généralisé
Partiel Le total Non négatif Régression de crête Régularisé
Écarts les moins absolus Repondéré itérativement bayésien multivarié bayésien
Arrière-plan
Validation de la régression Réponse moyenne et prédite Erreurs et résidus Qualité de l'ajustement Résidu studentisé Théorème de Gauss-Markov
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v t e

En statistique , un modèle à effets aléatoires , également appelé modèle à composantes de variance , est un modèle statistique où les paramètres du modèle sont des variables aléatoires . C'est une sorte de modèle linéaire hiérarchique , qui suppose que les données analysées sont tirées d'une hiérarchie de différentes populations dont les différences se rapportent à cette hiérarchie. En économétrie , les modèles à effets aléatoires sont utilisés dans l' analyse de panel de données hiérarchiques ou de panel lorsque l'on suppose qu'il n'y a pas d'effets fixes (cela permet des effets individuels). Un modèle à effets aléatoires est un cas particulier de modèle mixte .

Comparez cela aux définitions de la biostatistique , car les biostatisticiens utilisent des effets « fixes » et « aléatoires » pour désigner respectivement la moyenne de la population et les effets spécifiques au sujet (et où ces derniers sont généralement supposés être des variables latentes inconnues ).

Description qualitative

Les modèles à effets aléatoires aident à contrôler l' hétérogénéité non observée lorsque l'hétérogénéité est constante dans le temps et n'est pas corrélée avec des variables indépendantes. Cette constante peut être supprimée des données longitudinales par différenciation, car prendre une différence première supprimera toutes les composantes invariantes dans le temps du modèle.

Deux hypothèses communes peuvent être faites sur l'effet spécifique individuel : l'hypothèse des effets aléatoires et l'hypothèse des effets fixes. L'hypothèse des effets aléatoires est que l'hétérogénéité individuelle non observée n'est pas corrélée avec les variables indépendantes. L'hypothèse d'effet fixe est que l'effet spécifique individuel est corrélé avec les variables indépendantes.

Si l'hypothèse des effets aléatoires est vérifiée, l'estimateur à effets aléatoires est plus efficace que le modèle à effets fixes. Cependant, si cette hypothèse n'est pas vérifiée, l'estimateur des effets aléatoires n'est pas cohérent .

Exemple simple

Supposons que m grandes écoles élémentaires soient choisies au hasard parmi des milliers dans un grand pays. Supposons également que n élèves du même âge soient choisis au hasard dans chaque école sélectionnée. Leurs scores à un test d'aptitude standard sont vérifiés. Soit Y _ij le score du j ème élève de la i ème école. Une façon simple de modéliser les relations de ces quantités est

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +U_{i}+W_{ij},\,}$

où μ est le score moyen de test pour l'ensemble de la population. Dans ce modèle, U _i est l' effet aléatoire propre à l'école : il mesure la différence entre le score moyen de l'école i et le score moyen de l'ensemble du pays. Le terme W _ij est l'effet aléatoire spécifique à l'individu, c'est-à-dire l'écart du score du j -ème élève par rapport à la moyenne de la i -ème école.

Le modèle peut être complété par l'inclusion de variables explicatives supplémentaires, qui saisiraient les différences de scores entre les différents groupes. Par example:

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\beta _{1}\mathrm {Sexe} _{ij}+\beta _{2}\mathrm {ParentsEduc} _{ij}+U_{i}+W_{ ij},\,}$

où Sex _ij est la variable muette pour les garçons/filles et ParentsEduc _ij enregistre, disons, le niveau d'éducation moyen des parents d'un enfant. Il s'agit d'un modèle mixte et non d'un modèle à effets purement aléatoires, car il introduit des termes à effets fixes pour le sexe et l'éducation des parents.

Composants d'écart

La variance de Y _ij est la somme des variances τ ² et σ ² de U _i et W _ij respectivement.

Laisser

${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

être la moyenne, non pas de tous les scores de la i ème école, mais de ceux de la i ème école qui sont inclus dans l' échantillon aléatoire . Laisser

${\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{ n}Y_{ij}}$

être la grande moyenne .

Laisser

${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^ {2}\,}$

${\displaystyle SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{ 2}\,}$

être respectivement la somme des carrés due aux différences au sein des groupes et la somme des carrés due à la différence entre les groupes. On peut alors montrer que

${\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}}$

et

${\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.}$

Ces « carrés moyens attendus » peuvent être utilisés comme base pour l' estimation des « composantes de la variance » σ ² et τ ² .

La τ ² paramètre est aussi appelé le coefficient de corrélation intra .

Impartialité

En général, les effets aléatoires sont efficaces et doivent être utilisés (par rapport aux effets fixes) si les hypothèses qui les sous-tendent sont considérées comme satisfaites. Pour que les effets aléatoires fonctionnent dans l'exemple de l'école, il est nécessaire que les effets spécifiques à l'école ne soient pas corrélés aux autres covariables du modèle. Cela peut être testé en exécutant des effets fixes, puis des effets aléatoires, et en effectuant un test de spécification Hausman . Si le test est rejeté, les effets aléatoires sont biaisés et les effets fixes constituent la procédure d'estimation correcte.

Applications

Les modèles à effets aléatoires utilisés dans la pratique comprennent le modèle Bühlmann des contrats d'assurance et le modèle Fay-Herriot utilisé pour l' estimation sur petits domaines .

Voir également

• modèle Bühlmann
• Modélisation linéaire hiérarchique
• Effets fixes
• MINQUE
• Estimation de la covariance
• Variance conditionnelle

Lectures complémentaires

• Baltagi, Badi H. (2008). Analyse économétrique des données de panel (4e éd.). New York, NY : Wiley. p. 17-22. ISBN 978-0-470-51886-1.
• Hsiao, Cheng (2003). Analyse des données de panel (2e éd.). New York, NY : Cambridge University Press. pp.  73 -92. ISBN 0-521-52271-4.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2002). Analyse économétrique des données transversales et de panel . Cambridge, MA : Presse du MIT. p.  257-265 . ISBN 0-262-23219-7.

Les références

Liens externes

• Modèles à effets fixes et aléatoires
• Comment mener une méta-analyse : modèles à effets fixes et aléatoires