Rapport - Ratio

Le rapport largeur/hauteur d' un téléviseur à définition standard

En mathématiques , un rapport indique combien de fois un nombre en contient un autre. Par exemple, s'il y a huit oranges et six citrons dans un bol de fruits, le rapport oranges/citrons est de huit à six (c'est-à-dire 8∶6, ce qui équivaut au rapport 4∶3). De même, le rapport citrons/oranges est de 6∶8 (ou 3∶4) et le rapport oranges/quantité totale de fruits est de 8∶14 (ou 4∶7).

Les nombres dans un rapport peuvent être des quantités de toute nature, telles que le nombre de personnes ou d'objets, ou telles que des mesures de longueurs, de poids, de temps, etc. Dans la plupart des contextes, les deux nombres sont limités à être positifs.

Un rapport peut être spécifiée soit en lui donnant les deux nombres constituant, écrites comme « un à b » ou « un : b », ou simplement en donnant la valeur de leur quotient une/b. Des quotients égaux correspondent à des rapports égaux.

Par conséquent, un rapport peut être considéré comme une paire ordonnée de nombres, une fraction avec le premier nombre au numérateur et le second au dénominateur, ou comme la valeur désignée par cette fraction. Les rapports de nombres , donnés par des nombres naturels (non nuls) , sont des nombres rationnels et peuvent parfois être des nombres naturels. Lorsque deux grandeurs sont mesurées avec la même unité, comme c'est souvent le cas, leur rapport est un nombre sans dimension . Un quotient de deux quantités mesurées avec des unités différentes s'appelle un taux .

Notation et terminologie

Le rapport des nombres A et B peut être exprimé par :

  • le rapport de A à B
  • A : B
  • A est à B (lorsqu'il est suivi de "comme C est à D  " ; voir ci-dessous)
  • une fraction avec A comme numérateur et B comme dénominateur qui représente le quotient (c'est-à-dire A divisé par B, ou ). Cela peut être exprimé sous forme de fraction simple ou décimale, ou en pourcentage, etc.

Un deux-points (:) est souvent utilisé à la place du symbole de rapport, Unicode U+2236 (∶).

Les nombres A et B sont parfois appelés termes du rapport , A étant l' antécédent et B le conséquent .

Une déclaration exprimant l'égalité des deux rapports A : B et C : D est appelée proportion , écrit A : B = C : D ou A : BC : D . Cette dernière forme, lorsqu'elle est parlée ou écrite en anglais, est souvent exprimée comme

( A est à B ) comme ( C est à D ).

A , B , C et D sont appelés les termes de la proportion. A et D sont appelés ses extrêmes , et B et C sont appelés ses moyennes . L'égalité des trois ou plusieurs rapports, comme A : B = C : D = E : F , est appelée une suite proportion .

Les rapports sont parfois utilisés avec trois termes ou même plus, par exemple, la proportion pour les longueurs de bord d'un " deux par quatre " qui mesure dix pouces de long est donc

(mesures non rabotées ; les deux premiers chiffres sont légèrement réduits lorsque le bois est raboté lisse)

un bon mélange de béton (en unités de volume) est parfois cité comme

Pour un mélange (plutôt sec) de 4/1 parties en volume de ciment à eau, on pourrait dire que le rapport ciment/eau est de 4∶1, qu'il y a 4 fois plus de ciment que d'eau, ou qu'il y a un quart (1/4) autant d'eau que de ciment.

La signification d'une telle proportion de rapports avec plus de deux termes est que le rapport de deux termes quelconques du côté gauche est égal au rapport des deux termes correspondants du côté droit.

Histoire et étymologie

Il est possible de retracer l'origine du mot "ratio" au grec ancien λόγος ( logos ). Les premiers traducteurs l'ont traduit en latin par ratio (« raison », comme dans le mot « rationnel »). Une interprétation plus moderne de la signification d'Euclide s'apparente davantage au calcul ou au calcul. Les écrivains médiévaux utilisaient le mot proportio ("proportion") pour indiquer ratio et proportionitas ("proportionnalité") pour l'égalité des rapports.

Euclid a recueilli les résultats apparaissant dans les Éléments à partir de sources antérieures. Les Pythagoriciens ont développé une théorie des rapports et des proportions appliquée aux nombres. La conception pythagoricienne du nombre n'incluait que ce que l'on appellerait aujourd'hui les nombres rationnels, mettant en doute la validité de la théorie en géométrie où, comme les pythagoriciens l'ont également découvert, des rapports incommensurables (correspondant aux nombres irrationnels ) existent. La découverte d'une théorie des rapports qui ne suppose pas la commensurabilité est probablement due à Eudoxe de Cnide . L'exposition de la théorie des proportions qui apparaît dans le livre VII des Éléments reflète la théorie antérieure des rapports des commensurables.

L'existence de théories multiples semble inutilement complexe puisque les ratios sont, dans une large mesure, identifiés aux quotients et à leurs valeurs prospectives. Cependant, il s'agit d'un développement relativement récent, comme le montre le fait que les manuels de géométrie modernes utilisent encore une terminologie et une notation distinctes pour les rapports et les quotients. Les raisons en sont doubles : premièrement, il y avait la réticence mentionnée précédemment à accepter les nombres irrationnels comme vrais nombres, et deuxièmement, l'absence d'un symbolisme largement utilisé pour remplacer la terminologie déjà établie des rapports a retardé la pleine acceptation des fractions comme alternative jusqu'à ce que le 16ème siècle.

Les définitions d'Euclide

Le livre V des Éléments d' Euclide a 18 définitions, qui se rapportent toutes à des ratios. De plus, Euclide utilise des idées qui étaient si courantes qu'il n'a pas inclus de définitions pour elles. Les deux premières définitions disent qu'une partie d'une quantité est une autre quantité qui la « mesure » et inversement, un multiple d'une quantité est une autre quantité qu'elle mesure. Dans la terminologie moderne, cela signifie qu'un multiple d'une quantité est cette quantité multipliée par un entier supérieur à un - et une partie d'une quantité (c'est-à-dire une partie aliquote ) est une partie qui, multipliée par un entier supérieur à un, donne le quantité.

Euclide ne définit pas le terme "mesure" tel qu'il est utilisé ici. Cependant, on peut en déduire que si une quantité est prise comme unité de mesure et qu'une deuxième quantité est donnée comme un nombre entier de ces unités, alors la première quantité mesure le seconde. Ces définitions sont reprises, presque mot pour mot, comme les définitions 3 et 5 du livre VII.

La définition 3 décrit ce qu'est un rapport d'une manière générale. Ce n'est pas rigoureux au sens mathématique et certains l'ont attribué aux éditeurs d'Euclide plutôt qu'à Euclide lui-même. Euclide définit un rapport comme entre deux quantités du même type , donc par cette définition les rapports de deux longueurs ou de deux aires sont définis, mais pas le rapport d'une longueur et d'une aire. La définition 4 rend cela plus rigoureux. Il déclare qu'un rapport de deux quantités existe, lorsqu'il y a un multiple de chacune qui dépasse l'autre. En notation moderne, un rapport existe entre les quantités p et q , s'il existe des entiers m et n tels que mp > q et nq > p . Cette condition est connue sous le nom de propriété d'Archimède .

La définition 5 est la plus complexe et la plus difficile. Il définit ce que signifie l'égalité de deux ratios. Aujourd'hui, cela peut être fait en déclarant simplement que les rapports sont égaux lorsque les quotients des termes sont égaux, mais une telle définition n'aurait eu aucun sens pour Euclide. Dans la notation moderne, la définition d'Euclide de l' égalité est que les quantités données p , q , r et s , p : qr  : s si et seulement si, pour tous entiers positifs m et n , np < mq , np = mq , ou np > mq selon nr < ms , nr = ms , ou nr > ms , respectivement. Cette définition a des affinités avec les coupes de Dedekind car, avec n et q tous deux positifs, np est égal à mq commep/q est au nombre rationnel m/m(en divisant les deux termes par nq ).

La définition 6 dit que les quantités qui ont le même rapport sont proportionnelles ou en proportion . Euclide utilise le grec ἀναλόγον (analogue), celui-ci a la même racine que λόγος et est lié au mot anglais « analogique ».

Définition 7 définit ce que cela signifie pour un rapport soit inférieur ou supérieur à un autre et est basée sur les idées présentent dans la définition 5. Dans la notation moderne , il dit que les quantités donné p , q , r et s , p : q > r : s s'il y a des nombres entiers positifs m et n afin que np > mq et nms .

Comme pour la définition 3, la définition 8 est considérée par certains comme une insertion ultérieure par les éditeurs d'Euclide. Il définit trois termes p , q et r être en proportion lorsque p : qq : r . Ceci est étendue à 4 termes p , q , r et s comme p : qq : rr : s , et ainsi de suite. Les suites qui ont la propriété que les rapports de termes consécutifs sont égaux sont appelées progressions géométriques . Définitions 9 et 10 appliquent, en disant que si p , q et r sont en proportion alors p : r est le rapport en double de p : q et si p , q , r et s sont en proportion alors p : s est le rapport triple de p : q .

Nombre de termes et utilisation des fractions

En général, une comparaison des quantités d'un rapport à deux entités peut être exprimée sous la forme d'une fraction dérivée du rapport. Par exemple, dans un rapport de 2∶3, la quantité, la taille, le volume ou la quantité de la première entité est celle de la deuxième entité.

S'il y a 2 oranges et 3 pommes, le rapport des oranges aux pommes est de 2∶3, et le rapport des oranges au nombre total de morceaux de fruits est de 2∶5. Ces ratios peuvent aussi s'exprimer sous forme de fractions : il y a 2/3 autant d'oranges que de pommes, et 2/5 des morceaux de fruits sont des oranges. Si le concentré de jus d'orange doit être dilué avec de l'eau dans le rapport 1∶4, alors une partie de concentré est mélangée avec quatre parties d'eau, ce qui donne cinq parties au total ; la quantité de concentré de jus d'orange est 1/4 de la quantité d'eau, tandis que la quantité de concentré de jus d'orange est 1/5 du liquide total. Dans les ratios comme dans les fractions, il est important de savoir clairement ce qui est comparé à quoi, et les débutants font souvent des erreurs pour cette raison.

Des fractions peuvent également être déduites de ratios avec plus de deux entités ; cependant, un rapport avec plus de deux entités ne peut pas être complètement converti en une seule fraction, car une fraction ne peut comparer que deux quantités. Une fraction distincte peut être utilisée pour comparer les quantités de deux entités quelconques couvertes par le ratio : par exemple, à partir d'un ratio de 2∶3∶7, nous pouvons déduire que la quantité de la deuxième entité est celle de la troisième entité.

Proportions et pourcentages

Si nous multiplions toutes les quantités impliquées dans un rapport par le même nombre, le rapport reste valide. Par exemple, un rapport de 3∶2 est le même que 12∶8. Il est habituel soit de réduire les termes au plus petit dénominateur commun , soit de les exprimer en parties pour cent ( pour cent ).

Si un mélange contient les substances A, B, C et D dans le rapport 5∶9∶4∶2 alors il y a 5 parties de A pour 9 parties de B, 4 parties de C et 2 parties de D. Comme 5+9 +4+2=20, le mélange total contient 5/20 de A (5 parties sur 20), 9/20 de B, 4/20 de C et 2/20 de D. Si nous divisons tous les nombres par le total et multipliez par 100, nous avons converti en pourcentages : 25 % A, 45 % B, 20 % C et 10 % D (équivalent à écrire le rapport sous la forme 25∶45∶20∶10).

Si les deux ou plusieurs quantités de rapport englobent toutes les quantités dans une situation particulière, on dit que "le tout" contient la somme des parties : par exemple, un panier de fruits contenant deux pommes et trois oranges et aucun autre fruit n'est fait composé de deux parts de pommes et trois parts d'oranges. Dans ce cas, , ou 40% de l'ensemble sont des pommes et , ou 60% de l'ensemble sont des oranges. Cette comparaison d'une quantité spécifique à « l'ensemble » s'appelle une proportion.

Si le rapport ne comporte que deux valeurs, il peut être représenté sous forme de fraction, notamment sous forme de fraction décimale. Par exemple, les téléviseurs plus anciens ont un rapport hauteur /largeur de 4∶3 , ce qui signifie que la largeur est de 4/3 de la hauteur (cela peut également être exprimé sous la forme 1,33∶1 ou simplement 1,33 arrondi à deux décimales). Les téléviseurs à écran large les plus récents ont un rapport hauteur/largeur de 16∶9, soit 1,78 arrondi à deux décimales. L'un des formats de films grand écran les plus populaires est le 2,35∶1 ou simplement le 2,35. La représentation des rapports sous forme de fractions décimales simplifie leur comparaison. En comparant les 1.33, 1.78 et 2.35, il est évident quel format offre une image plus large. Une telle comparaison ne fonctionne que lorsque les valeurs comparées sont cohérentes, par exemple en exprimant toujours la largeur par rapport à la hauteur.

Réduction

Les rapports peuvent être réduits (comme le sont les fractions) en divisant chaque quantité par les facteurs communs de toutes les quantités. Comme pour les fractions, la forme la plus simple est considérée comme celle dans laquelle les nombres dans le rapport sont les plus petits entiers possibles.

Ainsi, le rapport 40∶60 est équivalent en sens au rapport 2∶3, ce dernier étant obtenu à partir du premier en divisant les deux quantités par 20. Mathématiquement, on écrit 40∶60 = 2∶3, ou de manière équivalente 40∶60∷ 2∶3. L'équivalent verbal est "40 est à 60 comme 2 est à 3."

Un rapport qui a des nombres entiers pour les deux quantités et qui ne peut pas être réduit davantage (en utilisant des nombres entiers) est dit sous la forme la plus simple ou dans les termes les plus bas.

Parfois, il est utile d'écrire un rapport sous la forme 1∶ x ou x ∶1, où x n'est pas nécessairement un nombre entier, pour permettre des comparaisons de différents rapports. Par exemple, le rapport 4∶5 peut être écrit comme 1∶1,25 (divisant les deux côtés par 4) Alternativement, il peut être écrit comme 0,8∶1 (divisant les deux côtés par 5).

Lorsque le contexte rend le sens clair, un rapport sous cette forme est parfois écrit sans le 1 et le symbole du rapport (∶), bien que, mathématiquement, cela en fasse un facteur ou un multiplicateur .

Ratios irrationnels

Des rapports peuvent également être établis entre des quantités incommensurables (quantités dont le rapport, comme valeur d'une fraction, équivaut à un nombre irrationnel ). Le premier exemple découvert, trouvé par les pythagoriciens , est le rapport de la longueur de la diagonale d à la longueur d'un côté s d'un carré , qui est la racine carrée de 2 , formellement Un autre exemple est le rapport d'un cercle . circonférence à son diamètre, qui est appelé π , et est non seulement un nombre irrationnel algébriquement , mais un transcendantal irrationnel .

Le nombre d' or de deux (principalement) longueurs a et b est également bien connu , qui est défini par la proportion

ou équivalent

En prenant les rapports sous forme de fractions et comme ayant la valeur x , donne l'équation

ou

qui a la solution positive et irrationnelle Ainsi, au moins l'un de a et b doit être irrationnel pour qu'ils soient dans le nombre d'or. Un exemple d'occurrence du nombre d'or en mathématiques est la valeur limite du rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs : même si tous ces rapports sont des rapports de deux entiers et sont donc rationnels, la limite de la séquence de ces rapports rationnels est le nombre d'or irrationnel.

De même, le rapport d'argent de a et b est défini par la proportion

correspond à

Cette équation a la solution positive et irrationnelle, donc encore une fois au moins une des deux quantités a et b dans le rapport d'argent doit être irrationnelle.

Chances

Les chances (comme dans le jeu) sont exprimées sous forme de ratio. Par exemple, une cote de « 7 à 3 contre » (7∶3) signifie qu'il y a sept chances que l'événement ne se produise pas sur trois chances qu'il se produise. La probabilité de réussite est de 30%. Dans tous les dix essais, il devrait y avoir trois victoires et sept défaites.

Unités

Les rapports peuvent être sans unité , car dans le cas où ils concernent des quantités en unités de même dimension , même si leurs unités de mesure sont initialement différentes. Par exemple, le rapport 1 minute 40 secondes peut être réduit en changeant la première valeur à 60 secondes, de sorte que le rapport devient 60 secondes 40 secondes . Une fois que les unités sont identiques, elles peuvent être omises et le rapport peut être réduit à 3∶2.

D'autre part, il existe des rapports sans dimension, également appelés taux . En chimie, les rapports de concentration massique sont généralement exprimés en fractions poids/volume. Par exemple, une concentration de 3 % p/v signifie généralement 3 g de substance dans 100 ml de solution. Cela ne peut pas être converti en un rapport sans dimension, comme dans les fractions poids/poids ou volume/volume.

Coordonnées triangulaires

Les emplacements des points par rapport à un triangle avec les sommets A , B et C et les côtés AB , BC et CA sont souvent exprimés sous forme de rapport étendu sous forme de coordonnées triangulaires .

En coordonnées barycentriques , un point de coordonnées , , est le point sur lequel une feuille de métal en apesanteur de la forme et de la taille du triangle s'équilibrerait exactement si des poids étaient placés sur les sommets, avec le rapport des poids en A et B étant αβ , le rapport des poids en B et C étant βγ , et donc le rapport des poids en A et C étant αγ .

En coordonnées trilinéaires , un point de coordonnées x  : y  : z a des distances perpendiculaires au côté BC (en face du sommet A ) et au côté CA (en face du sommet B ) dans le rapport x  ∶ y , les distances au côté CA et au côté AB (à travers de C ) dans le rapport y  ∶ z , et donc les distances aux côtés BC et AB dans le rapport x  ∶ z .

Étant donné que toutes les informations sont exprimées en termes de rapports (les nombres individuels notés α, β, , x, y et z n'ont aucune signification en eux-mêmes), une analyse triangulaire utilisant des coordonnées barycentriques ou trilinéaires s'applique quelle que soit la taille du triangle. .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes