Reeve tétraèdre - Reeve tetrahedron
En géométrie , le tétraèdre de Reeve est un polyèdre , dans un espace tridimensionnel avec des sommets en (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0) et (1, 1, r ) où r est un entier positif. Il porte le nom de John Reeve , qui l'a utilisé pour montrer que les généralisations de dimension supérieure du théorème de Pick n'existent pas.
Contre-exemple aux généralisations du théorème de Pick
Chaque sommet du tétraèdre Reeve repose sur un point fondamental du réseau (un point dans ℤ 3 ). Aucun autre point de réseau fondamental ne se trouve à la surface ou à l'intérieur du tétraèdre . Le volume du tétraèdre Reeve est de r / 6 . En 1957, Reeve a utilisé ce tétraèdre pour montrer qu'il existe des tétraèdres avec quatre points de réseau comme sommets, et ne contenant aucun autre point de réseau, mais avec un volume arbitrairement grand.
En deux dimensions, l'aire de chaque polyèdre avec des sommets de réseau est déterminée comme une formule du nombre de points de réseau à ses sommets, à sa frontière et à son intérieur, selon le théorème de Pick . Les tétraèdres Reeve impliquent qu'il ne peut y avoir de formule correspondante pour le volume en trois dimensions ou plus. Une telle formule serait incapable de distinguer les tétraèdres Reeve avec différents choix de r les uns des autres, mais leurs volumes sont différents les uns des autres.
Malgré ce résultat négatif, il est possible (comme Reeve l'a montré) de concevoir une formule plus compliquée pour le volume du polyèdre de réseau qui combine le nombre de points de réseau dans le polyèdre, le nombre de points d'un réseau plus fin dans le polyèdre et la caractéristique d'Euler du polyèdre.
Polynôme d'Ehrhart
Le polynôme d'Ehrhart de n'importe quel polyèdre de réseau compte le nombre de points de réseau qu'il contient lorsqu'il est mis à l'échelle par un facteur entier. Le polynôme d'Ehrhart du tétraèdre Reeve T r de hauteur r est
Ainsi, pour r ≥ 13 , le coefficient de t dans le polynôme d'Ehrhart de T r est négatif. Cet exemple montre que les polynômes d'Ehrhart peuvent parfois avoir des coefficients négatifs.