Erreur d'approximation - Approximation error
L' erreur d'approximation dans certaines données est l'écart entre une valeur exacte et une approximation de celle-ci. Une erreur d'approximation peut se produire car :
- la mesure des données n'est pas précise en raison des instruments. (par exemple, la lecture précise d'un morceau de papier est de 4,5 cm mais comme la règle n'utilise pas de décimales, vous l'arrondissez à 5 cm.) ou
- approximations
Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique , la stabilité numérique d'un algorithme indique comment l'erreur est propagée par l'algorithme.
Définition formelle
On distingue couramment entre l'erreur relative et l'erreur absolue.
Étant donné une certaine valeur v et son approximation v approx , l' erreur absolue est
où les barres verticales indiquent la valeur absolue . Si l' erreur relative est
et le pourcentage d'erreur est
En mots, l'erreur absolue est l' amplitude de la différence entre la valeur exacte et l'approximation. L'erreur relative est l'erreur absolue divisée par l'amplitude de la valeur exacte. Le pourcentage d'erreur est l'erreur relative exprimée en termes de pour 100.
Une borne d'erreur est une limite supérieure de la taille relative ou absolue d'une erreur d'approximation.
Généralisations
Ces définitions peuvent être étendues au cas où et sont des vecteurs à n dimensions , en remplaçant la valeur absolue par une norme n .
Exemples
Par exemple, si la valeur exacte est 50 et l'approximation est 49,9, alors l'erreur absolue est de 0,1 et l'erreur relative est de 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. Un autre exemple serait si, en mesurant un bécher de 6 ml, la valeur lue était de 5 ml. La lecture correcte étant de 6 ml, cela signifie que le pourcentage d'erreur dans cette situation particulière est, arrondi, de 16,7 %.
L'erreur relative est souvent utilisée pour comparer des approximations de nombres de tailles très différentes ; par exemple, une approximation du nombre 1 000 avec une erreur absolue de 3 est, dans la plupart des applications, bien pire qu'une approximation du nombre 1 000 000 avec une erreur absolue de 3 ; dans le premier cas l'erreur relative est de 0,003 et dans le second elle n'est que de 0,000003.
Il faut garder à l'esprit deux caractéristiques de l'erreur relative. Premièrement, l'erreur relative n'est pas définie lorsque la vraie valeur est zéro telle qu'elle apparaît dans le dénominateur (voir ci-dessous). Deuxièmement, l'erreur relative n'a de sens que lorsqu'elle est mesurée sur une échelle de rapport (c'est-à-dire une échelle qui a un vrai zéro significatif), sinon elle serait sensible aux unités de mesure. Par exemple, lorsqu'une erreur absolue dans une mesure de température donnée en degrés Celsius est de 1 °C et que la vraie valeur est de 2 °C, l'erreur relative est de 0,5 et le pourcentage d'erreur est de 50 %. Pour ce même cas, lorsque la température est donnée en échelle Kelvin , la même erreur absolue de 1 K avec la même valeur vraie de 275,15 K donne une erreur relative de 3,63 × 10 − 3 et un pourcentage d'erreur de seulement 0,363 %. La température Celsius est mesurée sur une échelle d'intervalle , tandis que l'échelle Kelvin a un vrai zéro et est donc une échelle de rapport.
Instruments
Dans la plupart des instruments indicateurs, la précision est garantie jusqu'à un certain pourcentage de la lecture à pleine échelle. Les limites de ces écarts par rapport aux valeurs spécifiées sont appelées erreurs limites ou erreurs de garantie.
Voir également
- Valeur acceptée et expérimentale
- Différence relative
- Incertitude
- Analyse de l'incertitude expérimentale
- Propagation de l'incertitude
- Erreurs et résidus dans les statistiques
- Erreur d'arrondi
- Erreur de quantification
- Incertitude des mesures
- Erreur de mesure
- Machine epsilon