Papyrus mathématique de Rhind - Rhind Mathematical Papyrus

Papyrus mathématique de Rhind
British Museum , Londres
Rhind Mathématique Papyrus.jpg
Une partie du papyrus de Rhind
Date Deuxième Période Intermédiaire de l'Egypte
Lieu d'origine Thèbes
Langue(s) égyptien ( hiératique )
Taille Première section ( BM 10057 ) :
  · Longueur : 295,5 cm (116,3 po)
  · Largeur : 32 cm (13 po)
Deuxième section ( BM 10058 ) :
  · Longueur : 199,5 cm (78,5 po)
  · Largeur : 32 cm (13 po)

Le Rhind Mathematical Papyrus ( RMP ; également désigné comme papyrus British Museum 10057 et pBM 10058) est l'un des exemples les plus connus des mathématiques égyptiennes antiques . Il porte le nom d' Alexander Henry Rhind , un antiquaire écossais , qui a acheté le papyrus en 1858 à Louxor, en Égypte ; il a apparemment été trouvé lors de fouilles illégales dans ou à proximité du Ramesseum . Il date d'environ 1550 av. Le British Museum, où la majorité des papyrus est maintenant conservée, l'a acquis en 1865 avec le rouleau de cuir mathématique égyptien , également propriété d'Henry Rhind. Il y a quelques petits fragments détenus par le Brooklyn Museum à New York et une section centrale de 18 cm (7,1 pouces) est manquante. C'est l'un des deux papyrus mathématiques bien connus avec le papyrus mathématique de Moscou . Le papyrus de Rhind est plus grand que le papyrus mathématique de Moscou, tandis que ce dernier est plus ancien.

Le papyrus mathématique de Rhind date de la deuxième période intermédiaire de l' Égypte . Il a été copié par le scribe Ahmes ( c'est-à-dire Ahmes ; Ahmes est une transcription plus ancienne privilégiée par les historiens des mathématiques), à partir d'un texte aujourd'hui perdu du règne du roi Amenemhat III ( 12e dynastie ). Écrit en écriture hiératique , ce manuscrit égyptien mesure 33 cm (13 pouces) de haut et se compose de plusieurs parties qui au total font plus de 5 m (16 pi) de long. Le papyrus a commencé à être translittéré et traduit mathématiquement à la fin du XIXe siècle. L'aspect traduction mathématique reste incomplet à plusieurs égards. Le document est daté de l'an 33 du roi Hyksos Apophis et contient également une note historique postérieure distincte au verso datant probablement de la période ("An 11") de son successeur, Khamudi .

Dans les premiers paragraphes du papyrus, Ahmes présente le papyrus comme donnant « un calcul précis pour enquêter sur les choses et la connaissance de toutes choses, mystères ... tous secrets ». Il continue avec :

Ce livre a été copié en l'an 33 du règne, mois 4 d' Akhet , sous la majesté du roi de Haute et Basse Egypte, Awserre, rendu vivant, à partir d'un exemplaire ancien réalisé au temps du Roi de Haute et Basse Egypte Nimaâtre. Le scribe Ahmose écrit cette copie.

Plusieurs livres et articles sur le papyrus mathématique de Rhind ont été publiés, et une poignée d'entre eux se démarquent. Le Rhind Papyrus a été publié en 1923 par Peet et contient une discussion du texte qui a suivi les grandes lignes des livres I, II et III de Griffith. Chace a publié un recueil en 1927-1929 qui comprenait des photographies du texte. Un aperçu plus récent du Rhind Papyrus a été publié en 1987 par Robins et Shute.

Livre I – Arithmétique et algèbre

La première partie du papyrus de Rhind se compose de tables de référence et d'une collection de 21 problèmes arithmétiques et 20 problèmes algébriques. Les problèmes commencent par des expressions fractionnaires simples, suivies de problèmes de complétion ( sekem ) et d'équations linéaires plus complexes ( problèmes aha ).

La première partie du papyrus est occupée par le tableau 2/ n . Les fractions 2 / n pour impair n allant de 3 à 101 sont exprimés sous forme de somme des fractions unitaires . Par exemple, . La décomposition de 2/ n en fractions unitaires n'a jamais plus de 4 termes comme dans par exemple .

Ce tableau est suivi d'un petit tableau beaucoup plus petit d'expressions fractionnaires pour les nombres 1 à 9 divisés par 10. Par exemple, la division de 7 par 10 est enregistrée comme :

7 divisé par 10 donne 2/3 + 1/30

Après ces deux tableaux, le papyrus enregistre au total 91 problèmes, qui ont été désignés par les modernes comme problèmes (ou numéros) 1-87, y compris quatre autres éléments qui ont été désignés comme problèmes 7B, 59B, 61B et 82B. Les problèmes 1-7, 7B et 8-40 concernent l'arithmétique et l'algèbre élémentaire.

Les problèmes 1 à 6 calculent les divisions d'un certain nombre de miches de pain par 10 hommes et enregistrent le résultat en fractions unitaires. Les problèmes 7 à 20 montrent comment multiplier les expressions 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 et 1 + 2/3 + 1/3 = 2 par différentes fractions. Les problèmes 21-23 sont des problèmes de complétion qui, en notation moderne, sont simplement des problèmes de soustraction. Les problèmes 24-34 sont des problèmes « aha » ; ce sont des équations linéaires . Le problème 32 par exemple correspond (en notation moderne) à la résolution de x + 1/3 x + 1/4 x = 2 pour x. Les problèmes 35-38 impliquent des divisions du heqat, qui est une ancienne unité de volume égyptienne . À partir de ce point, les unités de mesure assorties deviennent beaucoup plus importantes dans le reste du papyrus, et en effet une considération majeure dans le reste du papyrus est l'analyse dimensionnelle . Les problèmes 39 et 40 calculent la division des pains et utilisent des progressions arithmétiques .

Livre II – Géométrie

Une partie du papyrus de Rhind

La deuxième partie du papyrus de Rhind, soit les problèmes 41-59, 59B et 60, consiste en des problèmes de géométrie . Peet a qualifié ces problèmes de "problèmes de mensuration".

Volumes

Les problèmes 41 à 46 montrent comment trouver le volume des greniers cylindriques et rectangulaires. Dans le problème 41, Ahmes calcule le volume d'un grenier cylindrique. Etant donné le diamètre d et la hauteur h, le volume V est donné par :

En notation mathématique moderne (et en utilisant d = 2r), cela donne . Le terme fractionnaire 256/81 se rapproche de la valeur de comme étant 3,1605..., une erreur de moins d'un pour cent.

Le problème 47 est un tableau avec des égalités fractionnaires qui représentent les dix situations où la quantité de volume physique de "100 quadruples heqats" est divisée par chacun des multiples de dix, de dix à cent. Les quotients sont exprimés en termes de fractions oculaires d'Horus , parfois également en utilisant une unité de volume beaucoup plus petite connue sous le nom de "quadruple ro". Le quadruple heqat et le quadruple ro sont des unités de volume dérivées des plus simples heqat et ro, telles que ces quatre unités de volume satisfont aux relations suivantes : 1 quadruple heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 quadruple ro. Ainsi,

100/10 quadruple heqat = 10 quadruple heqat
100/20 quadruple heqat = 5 quadruple heqat
100/30 quadruple heqat = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) quadruple heqat + (1 + 2/3) quadruple ro
100/40 quadruple heqat = (2 + 1/2) quadruple heqat
100/50 quadruple heqat = 2 quadruple heqat
100/60 quadruple heqat = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) quadruple heqat + (3 + 1/3) quadruple ro
100/70 quadruple heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) quadruple heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) quadruple ro
100/80 quadruple heqat = (1 + 1/4) quadruple heqat
100/90 quadruple heqat = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) quadruple heqat + (1/2 + 1/18) quadruple ro
100/100 quadruple heqat = 1 quadruple heqat

Zones

Les problèmes 48 à 55 montrent comment calculer un assortiment d' aires . Le problème 48 est remarquable en ce qu'il calcule succinctement l' aire d'un cercle en approchant π . Plus précisément, le problème 48 renforce explicitement la convention (utilisée dans toute la section sur la géométrie) selon laquelle « l'aire d'un cercle correspond à celle de son carré circonscrit dans le rapport 64/81 ». De manière équivalente, le papyrus se rapproche de comme 256/81, comme cela a déjà été noté ci-dessus dans l'explication du problème 41.

D'autres problèmes montrent comment trouver l'aire de rectangles, de triangles et de trapèzes.

Pyramides

Les six derniers problèmes sont liés aux pentes des pyramides . Un problème seked est signalé par :

Si une pyramide est de 250 coudées de hauteur et le côté de sa base 360 coudées de long, ce qui est son seked ? »

La solution au problème est donnée par le rapport de la moitié du côté de la base de la pyramide à sa hauteur, ou le rapport course/élévation de sa face. En d'autres termes, la quantité trouvée pour le seked est la cotangente de l'angle à la base de la pyramide et à sa face.

Livre III – Divers

La troisième partie du papyrus de Rhind comprend le reste des 91 problèmes, soit 61, 61B, 62-82, 82B, 83-84 et les "nombres" 85-87, qui sont des éléments qui ne sont pas de nature mathématique. Cette dernière section contient des tableaux de données plus compliqués (qui impliquent fréquemment des fractions d'œil d'Horus), plusieurs problèmes de pefsu qui sont des problèmes algébriques élémentaires concernant la préparation des aliments, et même un problème amusant (79) qui suggère des progressions géométriques, des séries géométriques et certains problèmes et énigmes ultérieurs de l'histoire. Le problème 79 cite explicitement "sept maisons, 49 chats, 343 souris, 2401 oreilles d'épeautre, 16807 hekats". En particulier, le problème 79 concerne une situation dans laquelle 7 maisons contiennent chacune sept chats, qui mangent tous sept souris, dont chacune aurait mangé sept épis de grain, dont chacun aurait produit sept mesures de grain. La troisième partie du papyrus de Rhind est donc une sorte de recueil, s'appuyant sur ce qui a déjà été présenté. Le problème 61 concerne les multiplications de fractions. Le problème 61B, quant à lui, donne une expression générale pour calculer 2/3 de 1/n, où n est impair. En notation moderne, la formule donnée est

La technique donnée en 61B est étroitement liée à la dérivation de la table 2/n.

Les problèmes 62-68 sont des problèmes généraux de nature algébrique. Les problèmes 69-78 sont tous des problèmes pefsu sous une forme ou une autre. Ils impliquent des calculs concernant la force du pain et de la bière, par rapport à certaines matières premières utilisées dans leur production.

Le problème 79 fait la somme de cinq termes dans une progression géométrique . Son langage évoque fortement l'énigme et la comptine plus modernes « Comme j'allais à St Ives ». Les problèmes 80 et 81 calculent les fractions oculaires d'Horus de hinu (ou heqats). Les quatre derniers éléments mathématiques, les problèmes 82, 82B et 83-84, calculent la quantité de nourriture nécessaire pour divers animaux, tels que la volaille et les bœufs. Cependant, ces problèmes, en particulier 84, sont en proie à une ambiguïté généralisée, à une confusion et à une simple inexactitude.

Les trois derniers éléments du papyrus Rhind sont désignés comme des « numéros » 85-87, par opposition aux « problèmes », et ils sont largement dispersés sur la face arrière du papyrus, ou verso. Ce sont, respectivement, une petite phrase qui termine le document (et a quelques possibilités de traduction, données ci-dessous), un morceau de papier brouillon sans rapport avec le corps du document, utilisé pour le maintenir ensemble (contenant pourtant des mots et des fractions égyptiennes qui sont maintenant familières à un lecteur du document), et une petite note historique qui aurait été écrite quelque temps après l'achèvement du corps de l'écriture du papyrus. Cette note est censée décrire les événements de la « domination hyksos », une période d'interruption externe dans la société égyptienne antique qui est étroitement liée à sa deuxième période intermédiaire. Avec ces errata non mathématiques mais historiquement et philologiquement intrigants, l'écriture du papyrus prend fin.

Concordance d'unités

Une grande partie du matériel de Rhind Papyrus concerne les unités de mesure de l'Égypte ancienne et en particulier l'analyse dimensionnelle utilisée pour convertir entre elles. Une concordance des unités de mesure utilisées dans le papyrus est donnée dans l'image.

Unités de mesure utilisées dans le Rhind Papyrus.

Teneur

Ce tableau résume le contenu du Rhind Papyrus au moyen d'une paraphrase moderne concise. Il est basé sur l'exposition en deux volumes du papyrus qui a été publiée par Arnold Buffum Chace en 1927 et en 1929. En général, le papyrus se compose de quatre sections : une page de titre, le tableau 2/n, un minuscule "1 –9/10 table", et 91 problèmes, ou "nombres". Ces derniers sont numérotés de 1 à 87 et comprennent quatre éléments mathématiques qui ont été désignés par les modernes comme les problèmes 7B, 59B, 61B et 82B. Les nombres 85-87, quant à eux, ne sont pas des éléments mathématiques faisant partie du corps du document, mais sont plutôt respectivement : une petite phrase terminant le document, un morceau de « papier brouillon » utilisé pour maintenir le document ensemble (ayant déjà contenu écrit sans rapport), et une note historique qui est censée décrire une période de temps peu de temps après l'achèvement du corps du papyrus. Ces trois derniers éléments sont écrits sur des zones disparates du verso du papyrus ( verso ), loin du contenu mathématique. Chace les différencie donc en les qualifiant de nombres plutôt que de problèmes , comme les 88 autres éléments numérotés.

Numéros de section ou de problème Énoncé du problème ou description Solution ou description Remarques
Titre de page Ahmes s'identifie lui-même et ses circonstances historiques. "Comptage exact. L'entrée dans la connaissance de toutes les choses existantes et de tous les secrets obscurs. Ce livre a été copié en l'an 33, au quatrième mois de la saison des inondations, sous la majesté du roi de Haute et Basse Egypte, 'A -user-Rê', doué de vie, à l'image des écrits anciens rédigés au temps du roi de Haute et Basse Egypte, Ne-ma'et-Rê'. C'est le scribe Ahmes qui copie cet écrit." Il ressort clairement de la page de titre qu'Ahmès identifie à la fois sa propre période, ainsi que la période d'un ou de plusieurs textes plus anciens dont il est censé avoir copié, créant ainsi le Rhind Papyrus. Le papyrus a du matériel écrit des deux côtés, c'est-à-dire son recto et son verso . Voir l'image pour plus de détails.
Rhind Papyrus Recto et Verso.png
Tableau 2/n Exprimez chacun des quotients de 2/3 à 2/101 (où le dénominateur est toujours impair) en fractions égyptiennes . Voir l' article du tableau Rhind Mathematical Papyrus 2/n pour le résumé et les solutions de cette section. Tout au long du papyrus, la plupart des solutions sont données sous forme de représentations fractionnaires égyptiennes particulières d'un nombre réel donné. Cependant, puisque chaque nombre rationnel positif a une infinité de représentations en tant que fraction égyptienne, ces solutions ne sont pas uniques. Gardez également à l'esprit que la fraction 2/3 est la seule exception, utilisée en plus des nombres entiers, qu'Ahmès utilise avec toutes les fractions unitaires rationnelles (positives) pour exprimer les fractions égyptiennes. On peut dire que la table 2/n suit partiellement un algorithme (voir problème 61B) pour exprimer 2/n comme une fraction égyptienne de 2 termes, lorsque n est composé. Cependant, cet algorithme naissant est mis de côté dans de nombreuses situations lorsque n est premier. La méthode des solutions pour la table 2/n suggère donc également les débuts de la théorie des nombres , et pas seulement de l' arithmétique .
Tableau 1-9/10 Écrivez les quotients de 1/10 à 9/10 sous forme de fractions égyptiennes.

Problèmes 1–6 1, 2, 6, 7, 8 et 9 miches de pain (respectivement, dans chaque problème) sont réparties entre 10 hommes. Dans chaque cas, représentez la part de pain de chaque homme comme une fraction égyptienne.

Les six premiers problèmes du papyrus sont de simples répétitions des informations déjà écrites dans le tableau 1-9/10, maintenant dans le contexte des problèmes de l'histoire.
7, 7B, 8-20 Laisser

et

.

Ensuite, pour les multiplications suivantes, écrivez le produit sous la forme d'une fraction égyptienne.

Les deux mêmes multiplicandes (notés ici S et T) sont incessamment utilisés tout au long de ces problèmes. Notez également qu'Ahmès réécrit effectivement le même problème trois fois (7, 7B, 10), abordant parfois le même problème avec un travail arithmétique différent.
21–38 Pour chacune des équations linéaires suivantes avec la variable , résolvez et exprimez en fraction égyptienne.

Notez que le problème 31 a une solution particulièrement onéreuse. Bien que l'énoncé des problèmes 21-38 puisse parfois sembler compliqué (en particulier dans la prose d'Ahmès), chaque problème se réduit finalement à une simple équation linéaire. Dans certains cas, une unité quelconque a été omise, étant superflue pour ces problèmes. Ces cas sont les problèmes 35-38, dont les déclarations et le "travail" font les premières mentions d'unités de volume appelées heqat et a ro (où 1 heqat = 320 ro), qui figureront en bonne place dans le reste du papyrus. Pour le moment, cependant, leur mention littérale et leur utilisation dans 35-38 sont cosmétiques.
39 100 pains seront répartis inégalement entre 10 hommes. 50 pains seront divisés également entre 4 hommes de sorte que chacun de ces 4 reçoive une part égale , tandis que les 50 autres pains seront divisés également entre les 6 autres hommes de sorte que chacun de ces 6 reçoive une part égale . Trouvez la différence de ces deux parts et exprimez-la comme une fraction égyptienne. Dans le problème 39, le papyrus commence à considérer des situations avec plus d'une variable.
40 100 pains seront répartis entre cinq hommes. Les cinq parts de pain des hommes doivent être en progression arithmétique , de sorte que les parts consécutives diffèrent toujours par une différence fixe, ou . De plus, la somme des trois parts les plus importantes doit être égale à sept fois la somme des deux parts les plus petites. Trouvez-la et écrivez-la sous la forme d'une fraction égyptienne. Le problème 40 conclut la section arithmétique/algébrique du papyrus, qui sera suivie de la section de géométrie. Après le problème 40, il y a même une grande section d'espace vide sur le papyrus, qui indique visuellement la fin de la section. Quant au problème 40 lui-même, Ahmes élabore sa solution en considérant d'abord le cas analogue où le nombre de pains est de 60 au lieu de 100. Il déclare ensuite que dans ce cas la différence est de 5 1/2 et que la plus petite part est égale à un, énumère les autres, puis redimensionne son travail jusqu'à 100 pour produire son résultat. Bien qu'Ahmès n'énonce pas la solution elle-même telle qu'elle a été donnée ici, la quantité est implicitement claire une fois qu'il a redimensionné son premier pas par la multiplication 5/3 x 11/2, pour lister les cinq actions (ce qu'il fait) . Il convient de mentionner que ce problème peut être considéré comme ayant quatre conditions : a) cinq actions totalisent 100, b) les actions vont de la plus petite à la plus grande, c) les actions consécutives ont une différence constante et d) la somme des trois plus grandes parts égales à sept fois la somme des deux parts inférieures. En commençant par les trois premières conditions seulement, on peut utiliser l'algèbre élémentaire et ensuite examiner si l'ajout de la quatrième condition donne un résultat cohérent. Il arrive qu'une fois les quatre conditions réunies, la solution soit unique. Le problème est donc un cas de résolution d'équations linéaires plus élaboré que ce qui a précédé, confinant à l'algèbre linéaire .
41 Utiliser la formule du volume

pour calculer le volume d'un silo à grains cylindrique d'un diamètre de 9 coudées et d'une hauteur de 10 coudées. Donnez la réponse en termes de coudées cubes. De plus, étant donné les égalités suivantes entre les autres unités de volume, 1 coudée cube = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 quadruple heqats, exprimez également la réponse en termes de khar et quadruple heqats.

Ce problème ouvre la section de géométrie du papyrus et donne également son premier résultat factuellement incorrect (bien qu'avec une très bonne approximation de , différant de moins d'un pour cent). D'autres unités de volume égyptiennes anciennes telles que le quadruple heqat et le khar sont signalées plus tard dans ce problème via la conversion d'unités. Le problème 41 est donc aussi le premier problème à traiter de manière significative d' analyse dimensionnelle .
42 Réutilisez la formule de volume et les informations unitaires données en 41 pour calculer le volume d'un silo à grains cylindrique d'un diamètre de 10 coudées et d'une hauteur de 10 coudées. Donnez la réponse en termes de coudées cubes, de khar et de centaines de quadruples heqats, où 400 heqats = 100 quadruples heqats = 1 cent quadruple heqats, le tout en fractions égyptiennes.

Le problème 42 est effectivement une répétition de 41, effectuant des conversions d'unités similaires à la fin. Cependant, bien que le problème commence comme indiqué, l'arithmétique est considérablement plus complexe, et certains des derniers termes fractionnaires donnés ne sont pas réellement présents dans le document original. Cependant, le contexte est suffisant pour combler les lacunes, et Chace a donc pris la licence d'ajouter certains termes fractionnaires dans sa traduction mathématique (répétée ici) qui donnent lieu à une solution cohérente en interne.
43 Utiliser la formule du volume

pour calculer le volume d'un silo à grains cylindrique d'un diamètre de 9 coudées et d'une hauteur de 6 coudées, en trouvant directement la réponse en termes fractionnaires égyptiens de khar, et plus tard en termes fractionnaires égyptiens de quadruple heqats et quadruple ro, où 1 quadruple heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 quadruple ro.

Le problème 43 représente la première erreur mathématique sérieuse du papyrus. Ahmes (ou la source à partir de laquelle il a peut-être copié) a tenté un raccourci afin d'effectuer à la fois le calcul du volume et une conversion d'unité de coudées cubes en khar en une seule étape, pour éviter d'avoir à utiliser des coudées cubes dans un premier temps. résultat. Cependant, cette tentative (qui a échoué en raison de la confusion d'une partie du processus utilisé en 41 et 42 avec celui qui était probablement destiné à être utilisé en 43, donnant des résultats cohérents par une méthode différente) a plutôt abouti à une nouvelle formule de volume qui est incompatible avec (et pire que) l'approximation utilisée en 41 et 42.
44, 45 Une coudée cube équivaut à 15/2 quadruple heqats. Considérons (44) un silo à grains cubique d'une longueur de 10 coudées sur chaque bord. Exprimez son volume en termes de quadruple heqats. D'autre part, (45) considérons un silo à grains cubique qui a un volume de 7500 heqats quadruples, et exprime sa longueur de bord en coudées.

Le problème 45 est un renversement exact du problème 44, et ils sont donc présentés ensemble ici.
46 Un silo rectangulaire à prismes à grains a un volume de 2500 quadruples heqats. Décrivez ses trois dimensions en termes de coudées.

Ce problème tel qu'énoncé a une infinité de solutions, mais un simple choix de solution étroitement lié aux termes de 44 et 45 est fait.
47 Divisez la quantité de volume physique de 100 heqats quadruples par chacun des multiples de 10, de 10 à 100. Exprimez les résultats en termes fractionnaires égyptiens de quadruple heqat et quadruple ro, et présentez les résultats dans un tableau.

Dans le problème 47, Ahmes insiste particulièrement pour représenter des chaînes de fractions plus élaborées comme des fractions de l' œil d'Horus , autant qu'il le peut. Comparez les problèmes 64 et 80 pour une préférence de représentation similaire. Pour économiser de l'espace, "quadruple" a été raccourci en "q". dans tous les cas.
48 Compare l'aire d'un cercle de diamètre 9 à celle de son carré circonscrit, qui a également une longueur de côté de 9. Quel est le rapport entre l'aire du cercle et celle du carré ? L'énoncé et la solution du problème 48 clarifient explicitement cette méthode préférée d'approximation de l'aire d'un cercle, qui avait été utilisée plus tôt dans les problèmes 41-43. Cependant, il est erroné . L'énoncé original du problème 48 implique l'utilisation d'une unité de surface connue sous le nom de setat, qui sera bientôt mise en contexte dans des problèmes futurs. Pour le moment, c'est cosmétique.
49 Un khet est une unité de longueur égale à 100 coudées. De plus, une "bande coudée" est une bande rectangulaire de mesure de surface, soit 1 coudée sur 100 coudées, ou 100 coudées carrées (ou une quantité physique de surface égale). Considérons un terrain rectangulaire mesurant 10 khet sur 1 khet. Exprimez son aire en termes de bandes coudées. -
50 Un khet carré est une unité de surface égale à un setat. Considérons un cercle d'un diamètre de 9 khet. Exprimez sa superficie en termes de setat. Le problème 50 est effectivement un renforcement de la règle 64/81 de 48 pour l'aire d'un cercle, qui imprègne le papyrus.
51 Un terrain triangulaire a une base de 4 khet et une altitude de 10 khet. Trouvez sa superficie en termes de setat. La configuration et la solution de 51 rappellent la formule familière pour calculer l'aire d'un triangle, et par Chace elle est paraphrasée comme telle. Cependant, le diagramme triangulaire du papyrus, les erreurs précédentes et les problèmes de traduction présentent une ambiguïté quant à savoir si le triangle en question est un triangle rectangle ou si Ahmes a réellement compris les conditions dans lesquelles la réponse indiquée est correcte. Plus précisément, il n'est pas clair si la dimension de 10 khet était censée être une altitude (auquel cas le problème est correctement résolu comme indiqué) ou si "10 khet" se réfère simplement à un côté du triangle, auquel cas le chiffre aurait être un triangle rectangle pour que la réponse soit factuellement correcte et correctement travaillée, comme c'est fait. Ces problèmes et confusions se perpétuent tout au long de 51-53, au point où Ahmes semble perdre la compréhension de ce qu'il fait, surtout en 53.
52 Une étendue de terre trapézoïdale a deux bases, soit 6 khet et 4 khet. Son altitude est de 20 khet. Trouvez sa superficie en termes de setat. Les problèmes du problème 52 sont à peu près les mêmes que ceux du 51. La méthode de résolution est familière aux modernes, et pourtant des circonstances comme celles du 51 jettent le doute sur la façon dont Ahmes ou sa source comprenaient ce qu'ils faisaient.
53 Un triangle isocèle (une étendue de terre, disons) a une base égale à 4 1/2 khet et une altitude égale à 14 khet. Deux segments de ligne parallèles à la base divisent en outre le triangle en trois secteurs, un trapèze inférieur, un trapèze moyen et un triangle supérieur (similaire) plus petit. Les segments de ligne coupent l'altitude du triangle à son milieu (7) et plus loin à un quart (3 1/2) plus près de la base, de sorte que chaque trapèze a une altitude de 3 1/2 khet, tandis que le plus petit triangle similaire a une altitude de 7 khet. Trouvez les longueurs des deux segments de ligne, où ils sont respectivement les segments de ligne les plus courts et les plus longs, et exprimez-les en termes fractionnaires égyptiens de khet. De plus, trouvez les aires des trois secteurs, où ils sont respectivement le grand trapèze, le trapèze moyen et le petit triangle, et exprimez-les en termes fractionnaires égyptiens de bandes de setat et de coudées. Utilisez le fait que 1 setat = 100 bandes coudées pour les conversions d'unités.

Le problème 53, étant plus complexe, se heurte à bon nombre des mêmes problèmes que 51 et 52 - des ambiguïtés de traduction et plusieurs erreurs numériques. En particulier concernant le grand trapèze inférieur, Ahmes semble s'en tenir à la recherche de la base supérieure, et propose dans l'ouvrage original de soustraire "un dixième, égal à 1 + 1/4 + 1/8 setat plus 10 coudées de bandes" d'un rectangle étant (vraisemblablement) 4 1/2 x 3 1/2 (khet). Cependant, même la réponse d'Ahmes ici est incompatible avec les autres informations du problème. Heureusement, le contexte de 51 et 52, ainsi que la base, la ligne médiane et la zone du triangle plus petit (qui sont donnés par 4 + 1/2, 2 + 1/4 et 7 + 1/2 + 1/4 + 1/ 8, respectivement) permettent d'interpréter le problème et sa solution comme cela a été fait ici. La paraphrase donnée représente donc une meilleure estimation cohérente quant à l'intention du problème, qui suit Chace. Ahmes se réfère également à nouveau aux "bandes coudées" au cours du calcul de ce problème, et nous répétons donc leur utilisation ici. Il convient de mentionner que ni Ahmes ni Chace ne donnent explicitement l'aire du trapèze moyen dans leurs traitements (Chace suggère qu'il s'agit d'une trivialité du point de vue d'Ahmès) ; la liberté a donc été prise de le rapporter d'une manière conforme à ce que Chace avait avancé jusqu'à présent.
54 Il y a 10 parcelles de terrain. Dans chaque parcelle, un secteur est délimité de telle sorte que la somme de l'aire de ces 10 nouvelles partitions soit 7 setat. Chaque nouvelle partition a une surface égale. Trouvez l'aire de l'une de ces 10 nouvelles partitions et exprimez-la en termes égyptiens fractionnaires de setat et de coudées.

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55 Il y a 5 parcelles de terrain. Dans chaque parcelle, un secteur est délimité de telle sorte que la somme de l'aire de ces 5 nouvelles partitions soit 3 setat. Chaque nouvelle partition a une surface égale. Trouvez l'aire de l'une de ces 5 nouvelles partitions et exprimez-la en termes fractionnaires égyptiens de bandes de setat et de coudées.

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56 1) L'unité de longueur connue sous le nom de coudée royale est (et a été, tout au long du papyrus) ce que l'on entend lorsque nous nous référons simplement à une coudée . Une coudée royale , ou une coudée, équivaut à sept paumes, et une paume équivaut à quatre doigts. En d'autres termes, les égalités suivantes tiennent : 1 coudée (royale) = 1 coudée = 7 paumes = 28 doigts.

2) Considérons une pyramide carrée droite régulière dont la base, la face carrée est coplanaire avec un plan (ou le sol, disons), de sorte que l'un des plans contenant ses faces triangulaires a l' angle dièdre de par rapport au plan du sol ( c'est-à-dire à l'intérieur de la pyramide). En d'autres termes, est l'angle des faces triangulaires de la pyramide par rapport au sol. La distance d'une telle pyramide, alors, ayant une altitude et une longueur de bord de base , est définie comme la longueur physique telle que . En d'autres termes, le seked d'une pyramide peut être interprété comme le rapport de la course de ses faces triangulaires pour une unité (coudée) d'élévation . Ou, pour le triangle rectangle approprié à l'intérieur d'une pyramide ayant des jambes et la bissectrice perpendiculaire d'une face triangulaire comme hypoténuse, alors le seked de la pyramide satisfait . Des triangles similaires sont donc décrits, et l'un peut être mis à l'échelle de l'autre.

3) Une pyramide a une hauteur de 250 coudées (royales) et le côté de sa base a une longueur de 360 ​​coudées (royales). Trouvez son seked en termes égyptiens fractionnaires de coudées (royales), et aussi en termes de paumes.

Le problème 56 est le premier des « problèmes de pyramide » ou problèmes seked dans le papyrus Rhind, 56-59, 59B et 60, qui concernent la notion d'inclinaison faciale d'une pyramide par rapport à un sol plat. À cet égard, le concept de seked suggère les premiers débuts de la trigonométrie . Contrairement à la trigonométrie moderne, notez en particulier qu'un seked se trouve par rapport à une pyramide, et est lui-même une mesure de longueur physique , qui peut être donnée en termes d'unités de longueur physique. Pour des raisons évidentes cependant, nous (et le papyrus) limitons notre attention aux situations impliquant d'anciennes unités égyptiennes. Nous avons également précisé que les coudées royales sont utilisées dans tout le papyrus, pour les différencier des coudées "courtes" qui étaient utilisées ailleurs dans l'Egypte ancienne. Une coudée "courte" équivaut à six paumes.
57, 58 Le seked d'une pyramide est de 5 paumes et 1 doigt, et le côté de sa base est de 140 coudées. Trouvez (57) son altitude en coudées. D'autre part, (58), l'altitude d'une pyramide est de 93 + 1/3 coudées, et le côté de sa base est de 140 coudées. Trouvez son seked et exprimez-le en termes de paumes et de doigts.

Le problème 58 est un renversement exact du problème 57, et ils sont donc présentés ensemble ici.
59, 59B L'altitude d'une pyramide (59) est de 8 coudées et sa longueur de base est de 12 coudées. Exprimez son seked en termes de paumes et de doigts. D'autre part, (59B), le seked d'une pyramide a cinq paumes et un doigt, et le côté de sa base est de 12 coudées. Exprimez son altitude en coudées.

Les problèmes 59 et 59B considèrent un cas similaire à 57 et 58, se terminant par des résultats familiers. Comme des renversements exacts l'un de l'autre, ils sont présentés ensemble ici.
60 Si un "pilier" (c'est-à-dire un cône) a une altitude de 30 coudées et que le côté de sa base (ou diamètre) a une longueur de 15 coudées, trouvez sa seked et exprimez-la en coudées. Ahmes utilise des mots légèrement différents pour présenter ce problème, qui se prêtent à des problèmes de traduction. Cependant, le contexte général du problème, ainsi que le diagramme qui l'accompagne (qui diffère des diagrammes précédents), amène Chace à conclure qu'il s'agit d'un cône. La notion de seked se généralise aisément à la face latérale d'un cône ; il rapporte donc le problème en ces termes. Le problème 60 conclut la section de géométrie du papyrus. De plus, c'est le dernier problème sur le recto (face avant) du document ; tout le contenu ultérieur de ce résumé est présent au verso (verso) du papyrus. Le passage de 60 à 61 est donc à la fois un glissement thématique et physique dans le papyrus.
61 Dix-sept multiplications doivent avoir leurs produits exprimés en fractions égyptiennes. Le tout est à donner sous forme de tableau.

La syntaxe du document original et ses multiplications répétées indiquent une compréhension rudimentaire que la multiplication est commutative .
61B Donnez une procédure générale pour convertir le produit de 2/3 et l'inverse de tout nombre impair (positif) 2n+1 en une fraction égyptienne de deux termes, par exemple avec p et q naturels. En d'autres termes, trouvez p et q en fonction de n.

Le problème 61B, et la méthode de décomposition qu'il décrit (et suggère) est étroitement lié au calcul de la table Rhind Mathematical Papyrus 2/n . En particulier, chaque cas dans la table 2/n impliquant un dénominateur qui est un multiple de 3 peut être considéré comme suivant l'exemple de 61B. L'énoncé et la solution de 61B suggèrent également une généralité que la plupart des autres problèmes plus concrets du papyrus n'ont pas. Il représente donc une suggestion précoce à la fois de l' algèbre et des algorithmes .
62 Un sac de trois métaux précieux, or, argent et plomb, a été acheté pour 84 sha'ty, qui est une unité monétaire. Les trois substances ont le même poids et un deben est une unité de poids. 1 deben d'or coûte 12 sha'ty, 1 deben d'argent coûte 6 sha'ty et 1 deben de plomb coûte 3 sha'ty. Trouvez le poids commun de l'un des trois métaux dans le sac. Le problème 62 devient un problème de division impliquant une petite analyse dimensionnelle. Sa configuration impliquant des poids standard rend le problème simple.
63 700 pains seront répartis inégalement entre quatre hommes, en quatre parts inégales et pondérées. Les parts seront dans les proportions respectives . Trouvez chaque partage.

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64 Rappelons que le heqat est une unité de volume. Dix heqats d'orge doivent être répartis entre dix hommes selon une progression arithmétique, de sorte que les parts masculines consécutives aient une différence de 1/8 heqats. Trouvez les dix actions et énumérez-les par ordre décroissant, en termes fractionnaires égyptiens de heqat.

Le problème 64 est une variante du 40, impliquant cette fois un nombre pair d'inconnues. Pour une référence moderne rapide en dehors des fractions égyptiennes, les actions vont de 25/16 à 7/16, où le numérateur diminue par nombres impairs consécutifs. Les termes sont donnés en fractions d' œil d'Horus ; comparer les problèmes 47 et 80 pour plus de cela.
65 100 pains seront répartis inégalement entre dix hommes. Sept des hommes reçoivent une part unique, tandis que les trois autres hommes, étant un batelier, un contremaître et un portier, reçoivent chacun une double part. Exprimez chacun de ces deux montants d'actions en fractions égyptiennes.

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66 Rappelons que l'heqat est une unité de volume et qu'un heqat équivaut à 320 ro. 10 heqats de graisse sont distribués à une personne pendant un an (365 jours), en indemnités journalières d'un montant égal. Exprimez l'allocation en fraction égyptienne en termes d'heqat et de ro. Le problème 66 dans sa forme originale indique explicitement qu'une année est égale à 365 jours et utilise à plusieurs reprises le nombre 365 pour ses calculs. Il s'agit donc d'une première preuve historique de l'ancienne compréhension égyptienne de l' année .
67 Un berger avait un troupeau d'animaux et devait donner une partie de son troupeau à un seigneur en guise de tribut. Le berger a reçu l'ordre de donner les deux tiers d'un tiers de son troupeau d'origine comme tribut. Le berger a donné 70 animaux. Trouvez la taille du troupeau d'origine du berger. -
68 Quatre surveillants sont en charge de quatre équipages d'hommes, soit 12, 8, 6 et 4 hommes, respectivement. Chaque membre d'équipage travaille à un rythme fongible, pour produire un seul travail-produit : la production (la cueillette, disons) de grain. Travaillant sur un certain intervalle de temps, ces quatre équipes ont collectivement produit 100 unités, ou 100 quadruples heqats de grain, où le produit du travail de chaque équipe sera remis au surveillant de chaque équipe. Exprimez la production de chaque équipage en termes de quadruple heqat.

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69 1) Pensez à la cuisine et à la préparation des aliments. Supposons qu'il existe un mode de cuisson standardisé, ou un processus de production, qui prendra des unités de volume, en particulier des heqats de matière première alimentaire (en particulier, une matière première alimentaire) et produira des unités d' un produit alimentaire fini. Le pefsu du (un) produit alimentaire fini par rapport à la (une) matière première alimentaire est donc défini comme la quantité d'unités de produit alimentaire fini produites à partir d'exactement un heqat de matière première alimentaire. En d'autres termes, .

2) 3 + 1/2 heqats de farine produisent 80 miches de pain. Trouvez le repas par pain en heqats et ro, et trouvez le pefsu de ces pains par rapport au repas. Exprimez-les en fractions égyptiennes.

Le problème 69 commence les problèmes "pefsu", 69-78, dans le contexte de la préparation des aliments. Notez que la notion de pefsu suppose un processus de production standardisé sans accident, sans gaspillage, etc., et ne concerne que la relation d'un produit alimentaire fini standardisé à une matière première particulière. C'est-à-dire que le pefsu n'est pas immédiatement concerné par des questions telles que le temps de production ou (dans un cas donné) la relation d'autres matières premières ou équipements avec le processus de production, etc. Néanmoins, la notion de pefsu est un autre indice d'abstraction. dans le papyrus, susceptible de s'appliquer à toute relation binaire entre un produit alimentaire (ou un produit fini, d'ailleurs) et une matière première. Les concepts qu'implique le pefsu sont donc typiques de la fabrication .
70 (7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) heqats de farine produisent 100 miches de pain. Trouvez le repas par pain en heqats et ro, et trouvez le pefsu de ces pains par rapport au repas. Exprimez-les en fractions égyptiennes.

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71 1/2 heqats de besha, une matière première, produit exactement un plein des-mesure (verre) de bière. Supposons qu'il existe un processus de production de verres de bière dilués. 1/4 du verre qui vient d'être décrit est versé, et ce qui vient d'être versé est capturé et réutilisé plus tard. Ce verre, qui est maintenant plein aux 3/4, est ensuite dilué jusqu'à sa capacité avec de l'eau, produisant exactement un verre de bière dilué plein. Retrouvez le pefsu de ces verres à bière dilués par rapport au besha en tant que fraction égyptienne. Notez que le problème 71 décrit des étapes intermédiaires dans un processus de production, ainsi qu'une deuxième matière première, l'eau. Notez en outre que ceux-ci ne sont pas pertinents pour la relation entre l' unité finie et la matière première (besha dans ce cas).
72 100 pains "de pefsu 10" sont à échanger à parts égales contre des pains "de pefsu 45". Trouver . Maintenant que le concept du pefsu a été établi, les problèmes 72-78 explorent même les échanges de différents tas d'aliments finis, ayant différents pefsu. En général, cependant, ils supposent une matière première commune d'une certaine sorte. Plus précisément, la matière première commune assumée tout au long de 72-78 est appelée farine de wedyet , qui est même impliquée dans la production de bière, de sorte que la bière peut être échangée contre du pain dans ces derniers problèmes. La déclaration originale de 74 mentionne également "l'orge de Haute-Égypte", mais pour nos besoins, c'est cosmétique. Ce que disent les problèmes 72-78, c'est donc vraiment ceci : des quantités égales de matière première sont utilisées dans deux processus de production différents, pour produire deux unités différentes d'aliments finis, où chaque type a un pefsu différent. L'une des deux unités d'aliments finis est donnée. Trouvez l'autre. Cela peut être accompli en divisant les deux unités (connues et inconnues) par leur pefsu respectif, où les unités de l'aliment fini disparaissent dans l'analyse dimensionnelle, et seule la même matière première est considérée. On peut alors facilement résoudre pour x. 72-78 exigent donc vraiment que x soit donné pour que des quantités égales de matière première soient utilisées dans deux processus de production différents.
73 100 pains de pefsu 10 sont à échanger équitablement contre des pains de pefsu 15. Trouver . -
74 1000 miches de pain de pefsu 5 sont à répartir uniformément en deux tas de 500 miches chacun. Chaque tas est à échanger également contre deux autres tas, l'un de pains de pefsu 10, et l'autre de pains de pefsu 20. Trouvez et .

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75 155 pains de pefsu 20 sont à échanger de manière égale contre des pains de pefsu 30. Trouver . -
76 1000 miches de pain de pefsu 10, un tas, seront échangées à parts égales contre deux autres tas de miches. Les deux autres tas ont chacun un nombre égal de pains, l'un étant de pefsu 20, l'autre de pefsu 30. Trouvez . -
77 10 des-mesure de bière, de pefsu 2, sont à échanger également contre des pains, de pefsu 5. Trouver . -
78 100 miches de pain de pefsu 10 sont à échanger équitablement contre des-mesures de bière de pefsu 2. Trouver . -
79 L'inventaire d'un domaine se compose de 7 maisons, 49 chats, 343 souris, 2401 plantes d'épeautre (un type de blé) et 16807 unités d'heqat (de quelque substance que ce soit - un type de grain, supposons). Dressez la liste des éléments de l'inventaire des domaines sous forme de tableau et indiquez leur total.

Le problème 79 a été présenté dans son interprétation la plus littérale. Cependant, le problème est parmi les plus intéressants du papyrus, car sa configuration et même sa méthode de résolution suggèrent une progression géométrique (c'est-à-dire des suites géométriques), une compréhension élémentaire des séries finies , ainsi que le problème de St. Ives - même Chace ne peut pas aide à interrompre son propre récit afin de comparer le problème 79 avec la comptine de St. Ives. Il indique également qu'un troisième exemple étrangement familier de ces types de problèmes se trouve dans le Liber Abaci de Fibonacci . Chace suggère l'interprétation selon laquelle 79 est une sorte d'exemple d'épargne, où une certaine quantité de grain est économisée en gardant des chats à portée de main pour tuer les souris qui autrement mangeraient l'épeautre utilisé pour fabriquer le grain. Dans le document original, le terme 2401 est écrit comme 2301 (une erreur évidente), tandis que les autres termes sont donnés correctement ; il est donc corrigé ici.

De plus, l'une des méthodes de résolution d'Ahmès pour la somme suggère une compréhension des séries géométriques finies . Ahmes effectue une somme directe, mais il présente également une simple multiplication pour obtenir la même réponse : "2801 x 7 = 19607". Chace explique que depuis le premier terme, le nombre de maisons (7) est égal au rapport commun de multiplication (7), alors ce qui suit est vrai (et peut être généralisé à toute situation similaire) :

C'est-à-dire que lorsque le premier terme d'une suite géométrique est égal au rapport commun, des sommes partielles de suites géométriques, ou des séries géométriques finies, peuvent être réduites à des multiplications impliquant la série finie ayant un terme de moins, ce qui s'avère pratique dans ce cas. . Dans ce cas, Ahmes ajoute simplement les quatre premiers termes de la séquence (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) pour produire une somme partielle, ajoute un (2801), puis multiplie simplement par 7 pour produire la bonne réponse.

80 Le hinu est une autre unité de volume telle qu'un heqat équivaut à dix hinu. Considérez les situations où l'on a une fraction d' œil d'Horus en heqats et exprimez leurs conversions en hinu dans un tableau.

Comparez les problèmes 47 et 64 pour d'autres informations tabulaires avec des fractions d'œil d'Horus répétées.
81 Effectuez « un autre compte des hinu ». C'est-à-dire exprimer un assortiment de fractions égyptiennes, dont de nombreux termes sont également des fractions oculaires d'Horus, en divers termes de heqats, hinu et ro.
Rhind Papyrus Problème 81.png
La section principale du problème 81 est une table de conversion beaucoup plus grande de fractions égyptiennes assorties, qui développe l'idée du problème 80 - en effet, elle représente l'une des plus grandes formes tabulaires de tout le papyrus. La première partie du problème 81 est une répétition exacte du tableau du problème 80, sans la première ligne qui indique que 1 heqat = 10 hinu ; elle n'est donc pas reprise ici. La deuxième partie du problème 81, ou son "corps", est le grand tableau qui est donné ici. Le lecteur attentif remarquera deux choses : plusieurs lignes reprennent des informations identiques, et plusieurs formes (mais pas toutes) données dans les deux zones « heqat » de part et d'autre du tableau sont en fait identiques. Il y a deux points qui méritent d'être mentionnés pour expliquer pourquoi le tableau ressemble à ce qu'il est. D'une part, Ahmes répète en fait exactement certains groupes d'informations dans différentes zones du tableau, et ils sont donc répétés ici. D'un autre côté, Ahmes commence aussi avec certaines formes d'héqat "gauche", et fait quelques erreurs dans ses premiers calculs. Cependant, dans de nombreux cas, il corrige ces erreurs plus tard dans l'écriture du tableau, produisant un résultat cohérent. Étant donné que la présente information est simplement une recréation de la traduction et de l'interprétation du papyrus par Chace, et puisque Chace a choisi d'interpréter et de corriger les erreurs d'Ahmès en substituant les informations correctes ultérieures dans certaines rangées antérieures, corrigeant ainsi les erreurs d'Ahmès et répétant ainsi informations en cours de traduction, ce mode d'interprétation explique la duplication d'informations dans certaines rangées. Quant à la duplication d'informations dans certaines colonnes (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat, etc.), cela semble simplement avoir été une convention qu'Ahmès a remplie en considérant certains importants rapports fractionnaires d'Horus-oeil de à la fois le point de vue des hinu, et aussi des heqat (et leurs conversions). En bref, les diverses répétitions d'informations sont le résultat des choix faits par Ahmes, son document source potentiel, et les choix éditoriaux de Chace, afin de présenter une traduction mathématiquement cohérente du tableau plus large du problème 81.
82 Estimer en farine de wedyet, transformée en pain, la ration journalière de nourriture pour dix oies à l' engraissement . Pour ce faire, effectuez les calculs suivants, en exprimant les quantités en termes fractionnaires égyptiens de centaines d'heqats, heqats et ro, sauf indication contraire :

Commencez par l'affirmation que "10 oies à l'engraissement mangent 2 + 1/2 heqats en une journée". Autrement dit, le taux journalier de consommation (et condition initiale) est égal à 2 + 1/2. Déterminez le nombre d'heqats que 10 oies à l'engraissement mangent en 10 jours et en 40 jours. Appelez ces quantités et , respectivement.

Multipliez la dernière quantité ci-dessus par 5/3 pour exprimer la quantité « d'épeautre », ou , à broyer.

Multipliez par 2/3 pour exprimer la quantité de "blé", ou , requise.

Divisez par 10 pour exprimer une "portion de blé", ou , qui doit être soustraite de .

Trouver . C'est la quantité de "grain", (ou de farine de wedyet, semble-t-il), qui est nécessaire pour faire l'alimentation des oies, vraisemblablement sur l'intervalle de 40 jours (ce qui semblerait contredire l'énoncé original du problème, quelque peu ). Enfin, exprimez à nouveau en termes de centaines de double heqats, double heqats et double ro , où 1 cent double heqat = 2 cent heqat = 100 double heqat = 200 heqat = 32000 double ro = 64000 ro. Appelez cette quantité finale .

A partir du problème 82, le papyrus devient de plus en plus difficile à interpréter (en raison d'erreurs et d'informations manquantes), au point de devenir inintelligible. Cependant, il est encore possible de donner un sens à 82. En termes simples, il semble exister des règles établies, ou de bonnes estimations, pour les fractions à prélever de telle ou telle matière alimentaire dans un processus de cuisson ou de production. Le 82 d'Ahmès exprime simplement certaines de ces quantités, dans ce qui est après tout déclaré dans le document original comme une "estimation", malgré son langage quelque peu contradictoire et confus. En plus de leur étrangeté, les problèmes 82, 82B, 83 et 84 sont également remarquables pour continuer le train de pensée "nourriture" des récents problèmes de pefsu, cette fois en considérant comment nourrir les animaux plutôt que les gens. 82 et 82B utilisent tous deux l'unité "cent heqat" en ce qui concerne t et f; ces conventions sont cosmétiques et ne sont pas répétées ici. La licence est également prise tout au long de ces derniers problèmes (par Chace) pour corriger les erreurs numériques du document original, pour tenter de présenter une paraphrase cohérente.
82B Estimez la quantité de nourriture pour les autres oies. C'est-à-dire, considérons une situation qui est identique au problème 82, à la seule exception près que la condition initiale, ou le taux de consommation journalier, est exactement deux fois moins grand. C'est-à-dire, laissez = 1 + 1/4. Find , et surtout en utilisant l'algèbre élémentaire pour sauter les étapes intermédiaires.

Le problème 82B est présenté en parallèle avec le problème 82, et considère rapidement la situation identique où les quantités associées sont divisées par deux. Dans les deux cas, il apparaît que le véritable objectif d'Ahmès est de trouver g_2. Maintenant qu'il a une "procédure", il se sent libre de sauter les étapes onéreuses de 82. On pourrait simplement observer que la division par deux effectue tout le travail du problème, de sorte que g_2 est également exactement la moitié de la taille du problème 82. Une approche un peu plus approfondie utilisant l'algèbre élémentaire serait de revenir en arrière sur les relations entre les quantités en 82, faire l'observation essentielle que g = 14/15 xf, puis effectuer les conversions d'unités pour transformer g en g_2.
83 Estimez la nourriture pour différents types d'oiseaux. Il s'agit d'un "problème" à composantes multiples, qui peut être interprété comme une série de remarques :

Supposons que quatre oies soient enfermées et que leur ration journalière collective de nourriture soit égale à un hinu. Exprimez la ration journalière d'une oie en termes d'heqats et de ro.

Supposons que la ration journalière d'une oie "qui va dans l'étang" soit égale à 1/16 + 1/32 heqats + 2 ro. Exprimez cette même indemnité journalière en termes de hinu.

Supposons que l'allocation journalière de nourriture pour 10 oies soit d'un heqat. Trouvez l'allocation de 10 jours et l' allocation de 30 jours, ou un mois pour le même groupe d'animaux, en heqats.

Enfin, un tableau sera présenté, donnant les portions quotidiennes d'aliments pour engraisser un animal de l'une des espèces indiquées.

Puisque les divers items du problème 83 concernent les conversions d'unités entre heqats, ro et hinu, dans l'esprit de 80 et 81, il est naturel de se demander ce que deviennent les items de la table une fois convertis en hinu. La part partagée par l'oie, l'oie terp et la grue est égale à 5/3 hinu, la part des canards calés est égale à 1/2 hinu, la part des ser-oies est égale à 1/4 hinu (comparez la premier élément du problème), et la portion partagée par la colombe et la caille est égale à 1/16 + 1/32 hinu. La présence de diverses fractions d'œil d'Horus est familière du reste du papyrus, et le tableau semble tenir compte des estimations d'alimentation pour les oiseaux, allant du plus gros au plus petit. Les portions « 5/3 hinu » en haut du tableau, en particulier son facteur de 5/3, rappellent la méthode pour trouver s dans le problème 82. Le problème 83 fait mention du « grain de Basse-Égypte », ou de l'orge, et il utilise également l'unité « cent heqats » en un seul endroit ; ceux-ci sont cosmétiques et laissés de côté dans la présente déclaration.
84 Estimer l'alimentation d'une écurie de bœufs.

84 est le dernier problème, ou nombre, comprenant le contenu mathématique du papyrus Rhind. En ce qui concerne 84 lui-même, Chace fait écho à Peet : "On ne peut qu'être d'accord avec Peet que 'avec ce problème, le papyrus atteint sa limite d'inintelligibilité et d'inexactitude.'" (Chace, V.2, Problème 84). Ici, les instances de l'unité « cent heqat » ont été exprimées par « c. heqat » afin de conserver l'espace. Les trois « bovins » mentionnés sont qualifiés de « bovins communs », pour les différencier des autres animaux, et les deux en-têtes concernant les pains et les « aliments communs » concernent les heqats. Les « beaux bœufs » au début du tableau sont décrits comme des bœufs de Haute-Égypte, une expression également supprimée ici pour des raisons d'espace.

Le problème 84 semble suggérer une procédure pour estimer divers matériaux alimentaires et allocations en des termes similaires aux trois problèmes précédents, mais les informations existantes sont profondément confuses. Pourtant, il y a des notes de cohérence. Le problème semble commencer comme un problème d'histoire conventionnel, décrivant une étable avec dix animaux de quatre types différents. Il semble que les quatre types d'animaux consomment des aliments, ou "pains" à des rythmes différents, et qu'il existe des quantités correspondantes d'aliments "communs". Ces deux colonnes d'informations sont correctement additionnées dans la ligne « total », mais elles sont suivies de deux éléments « épelés » de relation douteuse avec ce qui précède. Ces deux items orthographiés sont en effet chacun multipliés par dix pour donner les deux entrées de la ligne "10 jours", une fois les conversions d'unités prises en compte. Les éléments de la ligne « un mois » ne semblent cependant pas cohérents avec les deux précédents. Enfin, l'information en « double heqats » (lire cent double heqats, double heqats et double ro pour ces items) conclut le problème, d'une manière qui rappelle 82 et 82B. Les deux éléments de la dernière ligne sont à peu près, mais pas exactement, dans les mêmes proportions que les deux éléments de la ligne « un mois ».

Numéro 85 Un petit groupe de signes hiéroglyphiques cursifs est écrit, ce qui, selon Chace, pourrait représenter le scribe « essayant sa plume ». Il semble qu'il s'agisse d'une expression ou d'une phrase quelconque, et deux traductions sont suggérées. 1) "Tuez la vermine, les souris, les mauvaises herbes fraîches, de nombreuses araignées. Priez le dieu Rê pour la chaleur, le vent et les hautes eaux." 2) Interpréter cette étrange affaire, que le scribe a écrite... d'après ce qu'il savait."
Rhind Papyrus Numéro 85.png
Les éléments restants 85, 86 et 87, étant divers errata qui ne sont pas de nature mathématique, sont donc qualifiés par Chace de « nombres » par opposition à des problèmes. Ils sont également situés sur des zones du papyrus très éloignées du corps de l'écriture, qui venait de se terminer avec le problème 84. Le numéro 85, par exemple, est assez éloigné du problème 84 au verso, mais pas trop. . Son placement sur le papyrus suggère donc une sorte de coda, auquel cas cette dernière traduction, que Chace décrit comme un exemple d'interprétation « d'écriture énigmatique » de documents égyptiens antiques, semble la plus appropriée à son contexte dans le document.
Numéro 86 Le numéro 86 semble provenir d'un compte, ou d'un mémorandum, et répertorie un assortiment de marchandises et de quantités, en utilisant des mots familiers du contexte du reste du papyrus lui-même. [Le texte original est une série de lignes d'écriture, qui sont donc numérotées dans ce qui suit.]

"1... vivre pour toujours. Liste de la nourriture à Hebenti...

2... son frère l'intendant Ka-mose...

3... de son année, argent, 50 pièces deux fois dans l'année...

4... bovins 2, en argent 3 pièces dans l'année...

5... un deux fois ; c'est-à-dire 1/6 et 1/6. Maintenant comme pour un...

6... 12 hinus; c'est-à-dire en argent, 1/4 pièce ; une...

7... (or ou argent) 5 pièces, leur prix ; poisson, 120, deux fois...

8... an, orge, en quadruple heqat, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; épeautre, 100 heqat... heqat...

9... orge, en quadruple heqat, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; épeautre, 1 + 1/2 + 1/4 fois 100 heqat 17 heqat...

10... 146 + 1/2 ; orge, 1 + 1/2 + 1/4 fois 100 heqat 10 heqat; épeautre, 300 heqat... heqat...

11... 1/2, on a apporté du vin, 1 cul(charge ?)...

12... argent 1/2 pièce; ... 4; c'est-à-dire en argent...

13... 1 + 1/4 ; gras, 36 hinus; c'est-à-dire en argent...

14... 1 + 1/2 + 1/4 fois 100 heqat 21 heqat; épeautre, en quadruple heqat, 400 heqat 10 heqat...

15-18 (Ces lignes sont des répétitions de la ligne 14.)"

Chace indique que le numéro 86 a été collé à l'extrême gauche du verso (en face des problèmes de géométrie ultérieurs au recto), pour renforcer le papyrus. Le numéro 86 peut donc être interprété comme un morceau de « papier brouillon ».
Numéro 87 Le numéro 87 est un bref compte rendu de certains événements. Chace indique un consensus scientifique (certes maintenant daté et peut-être modifié) selon lequel 87 a été ajouté au papyrus peu de temps après l'achèvement de son contenu mathématique. Il poursuit en indiquant que les événements qui y sont décrits "ont eu lieu pendant la période de la domination Hyksos". « Année 11, deuxième mois de la saison des récoltes. Héliopolis était entrée.

Le premier mois de la saison des inondations, 23e jour, le commandant (?) de l'armée (?) a attaqué (?) Zaru.

25e jour, on a entendu que Zaru était entré.

Année 11, premier mois de la saison des inondations, troisième jour. Naissance de Set ; la majesté de ce dieu fit entendre sa voix.

Naissance d'Isis, le ciel a plu."

Le numéro 87 est situé vers le milieu du verso, entouré d'un grand espace vide et inutilisé.

Voir également

Bibliographie

  • Chace, Arnold Buffum ; et al. (1927). Le papyrus mathématique de Rhind . 1 . Oberlin, Ohio : Mathematical Association of America – via Internet Archive .
  • Chace, Arnold Buffum; et al. (1929). Le papyrus mathématique de Rhind . 2 . Oberlin, Ohio : Association mathématique d'Amérique – via Internet Archive .
  • Gillings, Richard J. (1972). Mathématiques au temps des pharaons (Dover réimpression éd.). Presse MIT. ISBN 0-486-24315-X.
  • Robins, gai ; Shute, Charles (1987). Le papyrus mathématique de Rhind : un texte égyptien antique . Londres : British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4.

Les références

Liens externes

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