Hypothèse de Riemann - Riemann hypothesis
Problèmes du prix du millénaire |
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En mathématiques, l' hypothèse de Riemann est une conjecture selon laquelle la fonction zêta de Riemann n'a ses zéros qu'aux entiers pairs négatifs et aux nombres complexes de partie réelle 1/2. Beaucoup le considèrent comme le problème non résolu le plus important en mathématiques pures . Elle est d'un grand intérêt en théorie des nombres car elle implique des résultats sur la distribution des nombres premiers . Il a été proposé par Bernhard Riemann ( 1859 ), dont il porte le nom.
L'hypothèse de Riemann et certaines de ses généralisations, ainsi que la conjecture de Goldbach et la conjecture des nombres premiers jumeaux , constituent le huitième problème de Hilbert dans la liste des 23 problèmes non résolus de David Hilbert ; c'est aussi l'un des problèmes du prix du millénaire du Clay Mathematics Institute . Le nom est également utilisé pour certains analogues étroitement liés, tels que l' hypothèse de Riemann pour les courbes sur des corps finis .
La fonction zêta de Riemann ζ( s ) est une fonction dont l' argument s peut être n'importe quel nombre complexe autre que 1, et dont les valeurs sont également complexes. Il a des zéros aux entiers pairs négatifs ; c'est-à-dire que ζ( s ) = 0 lorsque s est l'un de -2, -4, -6, .... On les appelle ses zéros triviaux . Cependant, les entiers pairs négatifs ne sont pas les seules valeurs pour lesquelles la fonction zêta est nulle. Les autres sont appelés zéros non triviaux . L'hypothèse de Riemann concerne les emplacements de ces zéros non triviaux et stipule que :
La partie réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est 1/2.
Ainsi, si l'hypothèse est correcte, tous les zéros non triviaux se trouvent sur la ligne critique constituée des nombres complexes 1/2+ i t , où t est un nombre réel et i est l' unité imaginaire .
Fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann est définie pour les complexes s dont la partie réelle est supérieure à 1 par la série infinie absolument convergente
Leonhard Euler considérait déjà cette série dans les années 1730 pour les valeurs réelles de s, en conjonction avec sa solution au problème de Bâle . Il a également prouvé qu'il est égal au produit d'Euler
où le produit infini s'étend sur tous les nombres premiers p .
L'hypothèse de Riemann discute des zéros en dehors de la région de convergence de cette série et du produit d'Euler. Pour donner un sens à l'hypothèse, il est nécessaire de continuer analytiquement la fonction pour obtenir une forme valable pour tout complexe s . Ceci est permis parce que la fonction zêta est méromorphe , donc sa continuation analytique est garantie d'être des formes uniques et fonctionnelles équivalentes sur leurs domaines . On commence par montrer que la fonction zêta et la fonction eta de Dirichlet satisfont à la relation
Mais la série de droite converge non seulement lorsque la partie réelle de s est supérieure à un, mais plus généralement lorsque s a une partie réelle positive. Ainsi, cette série alternative étend la fonction zêta de Re( s ) > 1 au plus grand domaine Re( s ) > 0 , en excluant les zéros de où est tout entier différent de zéro (voir fonction Dirichlet eta ). La fonction zêta peut également être étendue à ces valeurs en prenant des limites, donnant une valeur finie pour toutes les valeurs de s avec une partie réelle positive à l'exception du pôle simple à s = 1.
Dans la bande 0 < Re( s ) < 1 la fonction zêta satisfait l' équation fonctionnelle
On peut alors définir ζ( s ) pour tous les nombres complexes non nuls restants s ( Re( s ) 0 et s 0) en appliquant cette équation à l'extérieur de la bande, et en laissant ζ( s ) égal au membre de droite de l'équation chaque fois que s a une partie réelle non positive (et s 0).
Si s est un entier pair négatif alors ζ( s ) = 0 car le facteur sin(π s /2) s'annule ; ce sont les zéros triviaux de la fonction zêta. (Si s est un entier pair positif, cet argument ne s'applique pas car les zéros de la fonction sinus sont annulés par les pôles de la fonction gamma car elle prend des arguments entiers négatifs.)
La valeur (0) = −1/2 n'est pas déterminée par l'équation fonctionnelle, mais est la valeur limite de ( s ) lorsque s tend vers zéro. L'équation fonctionnelle implique également que la fonction zêta n'a pas de zéros avec une partie réelle négative autre que les zéros triviaux, donc tous les zéros non triviaux se trouvent dans la bande critique où s a une partie réelle entre 0 et 1.
Origine
...es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
... il est très probable que toutes les racines soient réelles. Bien sûr, on souhaiterait ici une preuve rigoureuse ; J'ai pour l'instant, après quelques vaines tentatives fugaces, mis provisoirement de côté la recherche de celle-ci, car elle me paraît superflue pour l'objectif immédiat de mon enquête.— L'énoncé de l'hypothèse de Riemann par Riemann, de ( Riemann 1859 ). (Il discutait d'une version de la fonction zêta, modifiée pour que ses racines (zéros) soient réelles plutôt que sur la ligne critique.)
La motivation originale de Riemann pour étudier la fonction zêta et ses zéros était leur occurrence dans sa formule explicite pour le nombre de nombres premiers π ( x ) inférieur ou égal à un nombre donné x , qu'il a publié dans son article de 1859 " Sur le nombre de nombres premiers Moins qu'une grandeur donnée ". Sa formule a été donnée en fonction de la fonction connexe
qui compte les nombres premiers et les premiers pouvoirs jusqu'à x , en comptant une puissance premier p n comme 1 / n . Le nombre de nombres premiers peut être récupéré à partir de cette fonction en utilisant la formule d'inversion de Möbius ,
où μ est la fonction de Möbius . La formule de Riemann est alors
où la somme est au-dessus des zéros non triviaux de la fonction zêta et où 0 est une version légèrement modifiée de qui remplace sa valeur à ses points de discontinuité par la moyenne de ses limites supérieure et inférieure :
La sommation dans la formule de Riemann n'est pas absolument convergente, mais peut être évaluée en prenant les zéros dans l'ordre de la valeur absolue de leur partie imaginaire. La fonction li apparaissant dans le premier terme est la fonction intégrale logarithmique (non décalée) donnée par la valeur principale de Cauchy de l'intégrale divergente
Les termes li ( x ρ ) impliquant les zéros de la fonction zeta besoin de soins dans leur définition que li a des points de branchement à 0 et 1, et sont définis (pour x > 1) par suite analytique dans la variable complexe ρ dans la région Re( ρ ) > 0, c'est-à-dire qu'ils doivent être considérés comme Ei ( ρ log x ) . Les autres termes correspondent également à des zéros : le terme dominant li( x ) provient du pôle en s = 1, considéré comme un zéro de multiplicité -1, et les petits termes restants proviennent des zéros triviaux. Pour quelques graphiques des sommes des premiers termes de cette série, voir Riesel & Göhl (1970) ou Zagier (1977) .
Cette formule dit que les zéros de la fonction zêta de Riemann contrôlent les oscillations des nombres premiers autour de leurs positions "attendues". Riemann savait que les zéros non triviaux de la fonction zêta étaient distribués symétriquement autour de la ligne s = 1/2 + it , et il savait que tous ses zéros non triviaux devaient se situer dans la plage 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 . Il a vérifié que quelques - unes des zéros sur la ligne laïcs critique avec une partie réelle 1/2 et a suggéré qu'ils font tous; c'est l'hypothèse de Riemann.
Le résultat a attiré l'imagination de la plupart des mathématiciens parce qu'il est si inattendu, reliant deux domaines des mathématiques apparemment sans rapport ; à savoir, la théorie des nombres , qui est l'étude de l' analyse discrète, et complexe , qui traite des processus continus. ( Burton 2006 , p. 376)
Conséquences
Les utilisations pratiques de l'hypothèse de Riemann comprennent de nombreuses propositions connues pour être vraies sous l'hypothèse de Riemann, et certaines qui peuvent être montrées équivalentes à l'hypothèse de Riemann.
Distribution des nombres premiers
La formule explicite de Riemann pour le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné en termes de somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann dit que l'amplitude des oscillations des nombres premiers autour de leur position attendue est contrôlée par les parties réelles des zéros du fonction zêta. En particulier, le terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers est étroitement lié à la position des zéros. Par exemple, si est la limite supérieure des parties réelles des zéros, alors. On sait déjà que 1/2 β ≤ 1.
Von Koch (1901) a prouvé que l'hypothèse de Riemann implique la « meilleure borne possible » pour l'erreur du théorème des nombres premiers. Une version précise du résultat de Koch, due à Schoenfeld (1976) , dit que l'hypothèse de Riemann implique
où ( x ) est la fonction de comptage des nombres premiers et log( x ) est le logarithme népérien de x .
Schoenfeld (1976) a également montré que l'hypothèse de Riemann implique
où ( x ) est la deuxième fonction de Chebyshev .
Dudek (2014) a prouvé que l'hypothèse de Riemann implique que pour tout il existe un nombre premier satisfaisant
- .
Il s'agit d'une version explicite d'un théorème de Cramér .
Croissance des fonctions arithmétiques
L'hypothèse de Riemann implique des limites fortes sur la croissance de nombreuses autres fonctions arithmétiques , en plus de la fonction de comptage des nombres premiers ci-dessus.
Un exemple implique la fonction de Möbius . L'affirmation selon laquelle l'équation
est valable pour tout s dont la partie réelle est supérieure à 1/2, avec la somme du membre de droite convergeant, équivaut à l'hypothèse de Riemann. De cela, nous pouvons également conclure que si la fonction de Mertens est définie par
puis l'affirmation selon laquelle
car tout positif est équivalent à l'hypothèse de Riemann ( JE Littlewood , 1912 ; voir par exemple : paragraphe 14.25 dans Titchmarsh (1986) ). (Pour la signification de ces symboles, voir la notation Big O .) Le déterminant de la matrice de Redheffer d' ordre n est égal à M ( n ), donc l'hypothèse de Riemann peut également être énoncée comme une condition sur la croissance de ces déterminants. L'hypothèse de Riemann met une limite assez étroite sur la croissance de M , puisque Odlyzko & te Riele (1985) ont réfuté la conjecture de Mertens légèrement plus forte
L'hypothèse de Riemann est équivalente à de nombreuses autres conjectures sur le taux de croissance d'autres fonctions arithmétiques en dehors de μ( n ). Un exemple typique est le théorème de Robin , qui stipule que si ( n ) est la fonction diviseur , donnée par
alors
pour tout n > 5040 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est vraie, où est la constante d'Euler–Mascheroni .
Un autre exemple a été trouvé par Jérôme Franel , et étendu par Landau (voir Franel & Landau (1924) ). L'hypothèse de Riemann équivaut à plusieurs énoncés montrant que les termes de la suite de Farey sont assez réguliers. Une telle équivalence est la suivante : si F n est la suite de Farey d'ordre n , commençant par 1/ n et jusqu'à 1/1, alors l'affirmation que pour tout ε > 0
équivaut à l'hypothèse de Riemann. Ici
est le nombre de termes de la suite de Farey d'ordre n .
Pour un exemple de la théorie des groupes , si g ( n ) est la fonction de Landau donnée par l'ordre maximal des éléments du groupe symétrique S n de degré n , alors Massias, Nicolas & Robin (1988) ont montré que l'hypothèse de Riemann est équivalente à la bondir
pour tout n suffisamment grand .
Hypothèse de Lindelöf et croissance de la fonction zêta
L'hypothèse de Riemann a également diverses conséquences plus faibles ; l'une est l' hypothèse de Lindelöf sur le taux de croissance de la fonction zêta sur la ligne critique, qui dit que, pour tout ε > 0,
comme .
L'hypothèse de Riemann implique également des limites assez nettes pour le taux de croissance de la fonction zêta dans d'autres régions de la bande critique. Par exemple, cela implique que
ainsi le taux de croissance de ζ(1+ it ) et son inverse seraient connus jusqu'à un facteur 2.
Conjecture de grand écart premier
Le théorème des nombres premiers implique qu'en moyenne, l' écart entre le premier p et son successeur est log p . Cependant, certains écarts entre les nombres premiers peuvent être beaucoup plus importants que la moyenne. Cramér a prouvé que, en supposant l'hypothèse de Riemann, tout écart est O ( √ p log p ). C'est un cas dans lequel même la meilleure borne qui peut être prouvée en utilisant l'hypothèse de Riemann est bien plus faible que ce qui semble vrai : la conjecture de Cramér implique que chaque écart est O ((log p ) 2 ), qui, bien que plus grand que l'écart moyen , est bien plus petite que la borne impliquée par l'hypothèse de Riemann. Des preuves numériques soutiennent la conjecture de Cramér.
Critères analytiques équivalents à l'hypothèse de Riemann
De nombreuses affirmations équivalentes à l'hypothèse de Riemann ont été trouvées, bien qu'aucune d'entre elles n'ait jusqu'à présent conduit à beaucoup de progrès pour la prouver (ou la réfuter). Quelques exemples typiques sont les suivants. (D'autres impliquent la fonction diviseur σ( n ).)
Le critère de Riesz a été donné par Riesz (1916) , à l'effet que la borne
est valable pour tout ε > 0 si et seulement si l'hypothèse de Riemann est vérifiée.
Nyman (1950) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'espace des fonctions de la forme
où ( z ) est la partie fractionnaire de z , 0 ≤ θ ν ≤ 1 , et
- ,
est dense dans l' espace de Hilbert L 2 (0,1) des fonctions carrées intégrables sur l'intervalle unitaire. Beurling (1955) a étendu cela en montrant que la fonction zêta n'a pas de zéros avec une partie réelle supérieure à 1/ p si et seulement si cet espace de fonction est dense dans L p (0,1)
Salem (1953) a montré que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si l'équation intégrale
n'a pas de solutions bornées non triviales pour .
Le critère de Weil est l'affirmation que la positivité d'une certaine fonction est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Connexe est le critère de Li , une déclaration selon laquelle la positivité d'une certaine séquence de nombres est équivalente à l'hypothèse de Riemann.
Speiser (1934) a prouvé que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle , la dérivée de , n'a pas de zéros dans la bande
Qui n'a que des zéros simples sur la ligne critique équivaut à sa dérivée n'ayant pas de zéros sur la ligne critique.
La séquence de Farey fournit deux équivalences, dues à Jérôme Franel et Edmund Landau en 1924.
La constante de De Bruijn-Newman notée Λ et nommée d'après Nicolaas Govert de Bruijn et Charles M. Newman , est définie via les zéros de la fonction
,
qui utilise un véritable paramètre λ , un complexe variables z et une fonction de super-exponentielle en décomposition définie comme
.
Puisque l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation selon laquelle tous les zéros de H (0, z ) sont réels, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture que . Brad Rodgers et Terence Tao ont découvert que l'équivalence consiste en fait à prouver que zéro est la borne inférieure de la constante. Prouver zéro est aussi la borne supérieure prouverait donc l'hypothèse de Riemann. En avril 2020, la limite supérieure est de .
Conséquences de l'hypothèse de Riemann généralisée
Plusieurs applications utilisent l' hypothèse de Riemann généralisée pour les séries L de Dirichlet ou les fonctions zêta des champs de nombres plutôt que simplement l'hypothèse de Riemann. De nombreuses propriétés de base de la fonction zêta de Riemann peuvent facilement être généralisées à toutes les séries L de Dirichlet, il est donc plausible qu'une méthode qui prouve l'hypothèse de Riemann pour la fonction zêta de Riemann fonctionnerait également pour l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions L de Dirichlet. Plusieurs résultats prouvés pour la première fois en utilisant l'hypothèse de Riemann généralisée ont ensuite reçu des preuves inconditionnelles sans l'utiliser, bien que celles-ci soient généralement beaucoup plus difficiles. Bon nombre des conséquences de la liste suivante sont tirées de Conrad (2010) .
- En 1913, Grönwall a montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que la liste de Gauss des champs quadratiques imaginaires de classe numéro 1 est complète, bien que Baker, Stark et Heegner en aient donné plus tard des preuves inconditionnelles sans utiliser l'hypothèse de Riemann généralisée.
- En 1917, Hardy et Littlewood ont montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique une conjecture de Chebyshev que
- qui dit que les nombres premiers 3 mod 4 sont plus courants que les nombres premiers 1 mod 4 dans un certain sens. (Pour les résultats associés, voir Théorème des nombres premiers § Course aux nombres premiers .)
- En 1923, Hardy et Littlewood ont montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique une forme faible de la conjecture de Goldbach pour les nombres impairs : que tout nombre impair suffisamment grand est la somme de trois nombres premiers, bien qu'en 1937 Vinogradov ait donné une preuve inconditionnelle. En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele et Zinoviev ont montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que tout nombre impair supérieur à 5 est la somme de trois nombres premiers. En 2013, Harald Helfgott a prouvé la conjecture ternaire de Goldbach sans la dépendance GRH, sous réserve de calculs approfondis réalisés avec l'aide de David J. Platt.
- En 1934, Chowla montra que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que le premier nombre premier dans la progression arithmétique a mod m est au plus Km 2 log( m ) 2 pour une constante fixe K .
- En 1967, Hooley a montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique la conjecture d'Artin sur les racines primitives .
- En 1973, Weinberger a montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que la liste des nombres idéaux d' Euler est complète.
- Weinberger (1973) a montré que l'hypothèse de Riemann généralisée pour les fonctions zêta de tous les corps de nombres algébriques implique que tout corps de nombres de classe numéro 1 est soit euclidien, soit un corps de nombres quadratique imaginaire de discriminant −19, −43, −67 ou − 163.
- En 1976, G. Miller a montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que l'on peut tester si un nombre est premier en temps polynomial via le test de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal et Nitin Saxena ont prouvé ce résultat inconditionnellement en utilisant le test de primalité AKS .
- Odlyzko (1990) a expliqué comment l'hypothèse de Riemann généralisée peut être utilisée pour donner des estimations plus précises des discriminants et des numéros de classe des corps de nombres.
- Ono & Soundararajan (1997) ont montré que l'hypothèse de Riemann généralisée implique que la forme quadratique intégrale de Ramanujan x 2 + y 2 + 10 z 2 représente tous les entiers qu'elle représente localement, avec exactement 18 exceptions.
Milieu exclu
Certaines conséquences de la RH sont aussi des conséquences de sa négation, et sont donc des théorèmes. Dans leur discussion du théorème de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn , Ireland & Rosen (1990 , p. 359) disent
La méthode de preuve ici est vraiment incroyable. Si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors le théorème est vrai. Si l'hypothèse de Riemann généralisée est fausse, alors le théorème est vrai. Donc le théorème est vrai !! (ponctuation dans l'original)
Il faut prendre soin de comprendre ce que l'on entend en disant que l'hypothèse de Riemann généralisée est fausse : il faut préciser exactement quelle classe de séries de Dirichlet a un contre-exemple.
Le théorème de Littlewood
Il s'agit du signe de l'erreur dans le théorème des nombres premiers . Il a été calculé que π( x ) < li( x ) pour tout x ≤ 10 25 (voir ce tableau ), et aucune valeur de x n'est connue pour laquelle π( x ) > li( x ).
En 1914, Littlewood a prouvé qu'il existe des valeurs arbitrairement grandes de x pour lesquelles
et qu'il existe aussi des valeurs arbitrairement grandes de x pour lesquelles
Ainsi la différence π( x ) − li( x ) change de signe infiniment de fois. Le nombre de Skewes est une estimation de la valeur de x correspondant au premier changement de signe.
La preuve de Littlewood est divisée en deux cas : la RH est supposée fausse (environ une demi-page d' Ingham 1932 , chap. V), et la RH est supposée vraie (environ une douzaine de pages). Stanisław Knapowski ( 1962 ) a poursuivi avec un article sur le nombre de changements de signe dans l'intervalle .
Conjecture de nombre de classe de Gauss
C'est la conjecture (énoncée pour la première fois dans l'article 303 des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ) qu'il n'y a qu'un nombre fini de champs quadratiques imaginaires avec un numéro de classe donné. Une façon de le prouver serait de montrer que comme discriminant D → −∞ le nombre de classe h ( D ) → ∞.
La séquence suivante de théorèmes impliquant l'hypothèse de Riemann est décrite dans Ireland & Rosen 1990 , pp. 358-361 :
Théorème (Hecke ; 1918). Soit D < 0 le discriminant d'un corps de nombres quadratique imaginaire K . Supposons que l'hypothèse de Riemann généralisée pour L -functions de tous les caractères de Dirichlet quadratique imaginaire. Alors il existe une constante absolue C telle que
Théorème (Deuring ; 1933). Si le RH est faux alors h ( D ) > 1 si | D | est suffisamment grand.
Théorème (Mordell ; 1934). Si le RH est faux alors h ( D ) → ∞ comme D → −∞.
Théorème (Heilbronn ; 1934). Si la RH généralisée est fausse pour la fonction L d'un caractère de Dirichlet quadratique imaginaire alors h ( D ) → ∞ comme D → −∞.
(Dans le travail de Hecke et Heilbronn, les seuls L -functions qui se produisent sont ceux qui sont attachés à des personnages imaginaires du second degré, et il est seulement pour les L -functions que HGR est vrai ou HGR est faux est destiné, un échec de la HGR La fonction L d'un caractère cubique de Dirichlet signifierait, à proprement parler, que GRH est faux, mais ce n'était pas le genre d'échec de GRH que Heilbronn avait en tête, donc son hypothèse était plus restreinte que simplement GRH est faux .)
En 1935, Carl Siegel a ensuite renforcé le résultat sans utiliser RH ou GRH de quelque manière que ce soit.
Croissance du totient d'Euler
En 1983, JL Nicolas a prouvé que
Généralisations et analogues
Série L de Dirichlet et autres champs numériques
L'hypothèse de Riemann peut être généralisée en remplaçant la fonction zêta de Riemann par les fonctions L globales formellement similaires, mais beaucoup plus générales . Dans ce cadre plus large, on s'attend à ce que les zéros non triviaux des fonctions L globales aient la partie réelle 1/2. Ce sont ces conjectures, plutôt que l'hypothèse de Riemann classique pour la seule fonction zêta de Riemann, qui expliquent la véritable importance de l'hypothèse de Riemann en mathématiques.
L' hypothèse de Riemann généralisée étend l'hypothèse de Riemann à toutes les fonctions L de Dirichlet . En particulier, cela implique la conjecture que les zéros de Siegel (zéros des fonctions L entre 1/2 et 1) n'existent pas.
L' hypothèse de Riemann étendue étend l'hypothèse de Riemann à toutes les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres algébriques . L'hypothèse de Riemann étendue pour l'extension abélienne des rationnels est équivalente à l'hypothèse de Riemann généralisée. L'hypothèse de Riemann peut également être étendue aux fonctions L des caractères de Hecke des corps de nombres.
La grande hypothèse de Riemann l' étend à toutes les fonctions zêta automorphes , telles que les transformées de Mellin des formes propres de Hecke .
Champs de fonctions et fonctions zêta de variétés sur des corps finis
Artin (1924) a introduit les fonctions zêta globales des champs de fonctions (quadratiques) et a conjecturé pour elles un analogue de l'hypothèse de Riemann, qui a été prouvée par Hasse dans le cas du genre 1 et par Weil (1948) en général. Par exemple, le fait que la somme de Gauss , du caractère quadratique d'un corps fini de taille q (avec q impair), ait une valeur absolue est en fait une instance de l'hypothèse de Riemann dans le cadre du champ de fonction. Cela a conduit Weil (1949) à conjecturer un énoncé similaire pour toutes les variétés algébriques ; les conjectures de Weil résultantes ont été prouvées par Pierre Deligne ( 1974 , 1980 ).
Fonctions zêta arithmétiques des schémas arithmétiques et leurs facteurs L
Les fonctions zêta arithmétiques généralisent les fonctions zêta de Riemann et Dedekind ainsi que les fonctions zêta des variétés sur les corps finis à tout schéma arithmétique ou à un schéma de type fini sur des entiers. La fonction arithmétique zêta d'un schéma arithmétique équidimensionnel connecté régulier de dimension de Kronecker n peut être factorisée en le produit de facteurs L correctement définis et d'un facteur auxiliaire Jean-Pierre Serre ( 1969-1970 ). En supposant une équation fonctionnelle et une continuation méromorphe, l'hypothèse de Riemann généralisée pour le facteur L indique que ses zéros à l'intérieur de la bande critique se trouvent sur la ligne centrale. En conséquence, l'hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction arithmétique zêta d'un schéma arithmétique équidimensionnel connecté régulier stipule que ses zéros à l'intérieur de la bande critique se trouvent sur des lignes verticales et ses pôles à l'intérieur de la bande critique se trouvent sur des lignes verticales . Ceci est connu pour les schémas en caractéristique positive et découle de Pierre Deligne ( 1974 , 1980 ), mais reste entièrement inconnu en caractéristique zéro.
Fonctions zêta de Selberg
Selberg (1956) a introduit la fonction zêta de Selberg d'une surface de Riemann. Celles-ci sont similaires à la fonction zêta de Riemann : elles ont une équation fonctionnelle et un produit infini similaire au produit d'Euler mais repris des géodésiques fermées plutôt que des nombres premiers. La formule de trace de Selberg est l'analogue pour ces fonctions des formules explicites de la théorie des nombres premiers. Selberg a prouvé que les fonctions zêta de Selberg satisfont l'analogue de l'hypothèse de Riemann, avec les parties imaginaires de leurs zéros liées aux valeurs propres de l'opérateur laplacien de la surface de Riemann.
Fonctions Ihara zeta
La fonction zêta d'Ihara d'un graphe fini est un analogue de la fonction zêta de Selberg , qui a été introduite pour la première fois par Yasutaka Ihara dans le contexte des sous-groupes discrets du groupe linéaire spécial p-adique deux par deux. Un graphe fini régulier est un graphe de Ramanujan , un modèle mathématique de réseaux de communication efficaces, si et seulement si sa fonction Ihara zeta satisfait l'analogue de l'hypothèse de Riemann comme l'a souligné T. Sunada .
Conjecture de corrélation de paires de Montgomery
Montgomery (1973) a suggéré la conjecture de corrélation de paires selon laquelle les fonctions de corrélation des zéros (correctement normalisés) de la fonction zêta devraient être les mêmes que celles des valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire . Odlyzko (1987) a montré que ceci est soutenu par des calculs numériques à grande échelle de ces fonctions de corrélation.
Montgomery a montré que (en supposant l'hypothèse de Riemann) au moins 2/3 de tous les zéros sont simples, et une conjecture connexe est que tous les zéros de la fonction zêta sont simples (ou plus généralement n'ont pas de relations linéaires entières non triviales entre leurs parties imaginaires ). Les fonctions zêta de Dedekind des champs de nombres algébriques, qui généralisent la fonction zêta de Riemann, ont souvent plusieurs zéros complexes. En effet, les fonctions zêta de Dedekind se factorisent en tant que produit des puissances des fonctions L d'Artin , de sorte que les zéros des fonctions L d'Artin donnent parfois lieu à plusieurs zéros des fonctions zêta de Dedekind. D'autres exemples de fonctions zêta avec plusieurs zéros sont les fonctions L de certaines courbes elliptiques : celles-ci peuvent avoir plusieurs zéros au point réel de leur ligne critique ; la conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer prédit que la multiplicité de ce zéro est le rang de la courbe elliptique.
Autres fonctions zêta
Il existe de nombreux autres exemples de fonctions zêta avec des analogues de l'hypothèse de Riemann, dont certains ont été prouvés. Les fonctions zêta de Goss des champs de fonctions ont une hypothèse de Riemann, prouvée par Sheats (1998) . La conjecture principale de la théorie d' Iwasawa , prouvé par Barry Mazur et Andrew Wiles pour les champs cyclotomiques et Wiles pour des domaines totalement réels , identifie les zéros d'un p -adique L -fonction avec les valeurs propres d'un opérateur, ne peut donc être considéré comme un analogue de la Hilbert-Pólya conjecture pour p -adiques l -functions .
Tentatives de preuves
Plusieurs mathématiciens ont abordé l'hypothèse de Riemann, mais aucune de leurs tentatives n'a encore été acceptée comme preuve. Watkins (2007) énumère quelques solutions incorrectes.
Théorie des opérateurs
Hilbert et Pólya ont suggéré qu'une façon de dériver l'hypothèse de Riemann serait de trouver un opérateur auto-adjoint , de l'existence duquel l'énoncé sur les parties réelles des zéros de ( s ) suivrait lorsqu'on applique le critère sur réel valeurs propres . Un certain support pour cette idée vient de plusieurs analogues des fonctions zêta de Riemann dont les zéros correspondent aux valeurs propres d'un opérateur : les zéros d'une fonction zêta d'une variété sur un corps fini correspondent aux valeurs propres d'un élément de Frobenius sur un groupe de cohomologie étale , le les zéros d'une fonction zêta de Selberg sont les valeurs propres d'un opérateur laplacien d'une surface de Riemann, et les zéros d'une fonction zêta p-adique correspondent aux vecteurs propres d'une action de Galois sur des groupes de classes idéaux .
Odlyzko (1987) a montré que la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann partage certaines propriétés statistiques avec les valeurs propres des matrices aléatoires tirées de l' ensemble unitaire gaussien . Cela donne un certain soutien à la conjecture de Hilbert-Pólya .
En 1999, Michael Berry et Jonathan Keating ont conjecturé qu'il existe une quantification inconnue de l'hamiltonien classique H = xp de sorte que
L'analogie avec l'hypothèse de Riemann sur les corps finis suggère que l'espace de Hilbert contenant les vecteurs propres correspondant aux zéros pourrait être une sorte de premier groupe de
cohomologie du spectre Spec ( Z ) des entiers. Deninger (1998) a décrit certaines des tentatives pour trouver une telle théorie de cohomologie.Zagier (1981) a construit un espace naturel de fonctions invariantes sur le demi-plan supérieur qui a des valeurs propres sous l'opérateur laplacien qui correspondent aux zéros de la fonction zêta de Riemann - et a remarqué que dans le cas improbable où l'on pourrait montrer l'existence d'un produit intérieur défini sur cet espace, l'hypothèse de Riemann suivrait. Cartier (1982) a discuté d'un exemple connexe, où en raison d'un bug bizarre, un programme informatique a répertorié les zéros de la fonction zêta de Riemann comme valeurs propres du même opérateur laplacien .
Schumayer & Hutchinson (2011) ont passé en revue certaines des tentatives de construction d'un modèle physique approprié lié à la fonction zêta de Riemann.
Théorème de Lee-Yang
Le théorème de Lee-Yang stipule que les zéros de certaines fonctions de partition en mécanique statistique se trouvent tous sur une « ligne critique » avec leur partie réelle égale à 0, ce qui a conduit à des spéculations sur une relation avec l'hypothèse de Riemann.
Le résultat de Turan
Pál Turán ( 1948 ) a montré que si les fonctions
Géométrie non commutative
Connes ( 1999 , 2000 ) a décrit une relation entre l'hypothèse de Riemann et la géométrie non commutative , et a montré qu'un analogue approprié de la formule de trace de Selberg pour l'action du groupe-classe idèle sur l'espace des classes adèle impliquerait l'hypothèse de Riemann. Certaines de ces idées sont développées dans Lapidus (2008) .
Espaces de Hilbert de fonctions entières
Louis de Branges ( 1992 ) a montré que l'hypothèse de Riemann découlerait d'une condition de positivité sur un certain espace de
Hilbert de fonctions entières . Cependant Conrey & Li (2000) ont montré que les conditions de positivité nécessaires ne sont pas satisfaites. Malgré cet obstacle, de Branges a continué à travailler sur une tentative de preuve de l'hypothèse de Riemann dans le même sens, mais cela n'a pas été largement accepté par d'autres mathématiciens.Quasicristaux
L'hypothèse de Riemann implique que les zéros de la fonction zêta forment un quasicristal , une distribution à support discret dont la transformée de Fourier a également un support discret. Dyson (2009) a suggéré d'essayer de prouver l'hypothèse de Riemann en classant, ou au moins en étudiant, les quasicristaux à une dimension.
Fonctions zêta arithmétiques de modèles de courbes elliptiques sur des corps de nombres
Quand on passe de la dimension géométrique un, par exemple un corps de nombres algébriques , à la dimension géométrique deux, par exemple un modèle régulier d'une courbe elliptique sur un corps de nombres, la partie bidimensionnelle de l'hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction arithmétique zêta du modèle traite des pôles de la fonction zêta. En dimension un, l'étude de l'intégrale zêta dans la thèse de Tate ne conduit pas à de nouvelles informations importantes sur l'hypothèse de Riemann. Contrairement à cela, en dimension deux, les travaux d' Ivan Fesenko sur la généralisation bidimensionnelle de la thèse de Tate incluent une représentation intégrale d'une intégrale zêta étroitement liée à la fonction zêta. Dans cette nouvelle situation, impossible en dimension un, les pôles de la fonction zêta peuvent être étudiés via l'intégrale zêta et les groupes d'adèle associés. La conjecture connexe de Fesenko ( 2010 ) sur la positivité de la dérivée quatrième d'une fonction frontière associée à l'intégrale zêta implique essentiellement la partie polaire de l'hypothèse de Riemann généralisée. Suzuki ( 2011 ) a prouvé que cette dernière, associée à certaines hypothèses techniques, implique la conjecture de Fesenko.
Fonctions zêta multiples
La preuve de Deligne de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis a utilisé les fonctions zêta des variétés de produits, dont les zéros et les pôles correspondent aux sommes des zéros et des pôles de la fonction zêta d'origine, afin de délimiter les parties réelles des zéros de la fonction zêta d'origine. Par analogie, Kurokawa (1992) a introduit plusieurs fonctions zêta dont les zéros et les pôles correspondent aux sommes des zéros et des pôles de la fonction zêta de Riemann. Pour faire converger la série, il s'est limité à des sommes de zéros ou de pôles ayant tous une partie imaginaire non négative. Jusqu'à présent, les limites connues sur les zéros et les pôles des fonctions zêta multiples ne sont pas assez fortes pour donner des estimations utiles pour les zéros de la fonction zêta de Riemann.
Emplacement des zéros
Nombre de zéros
L'équation fonctionnelle combinée avec le principe de l'
argument implique que le nombre de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire comprise entre 0 et T est donné parpour s =1/2+i T , où l'argument est défini en le faisant varier continûment le long de la ligne avec Im( s )= T , en commençant par l'argument 0 à ∞+i T . C'est la somme d'un terme large mais bien compris
et un terme petit mais assez mystérieux
Ainsi, la densité de zéros avec une partie imaginaire proche de T est d'environ log( T )/2π, et la fonction S décrit les petits écarts par rapport à cela. La fonction S ( t ) saute de 1 à chaque zéro de la fonction zêta, et pour t 8 elle décroît de façon monotone entre les zéros de dérivée proche de −log t .
Trudgian (2014) a prouvé que, si , alors
- .
Karatsuba (1996) a prouvé que tout intervalle ( T , T + H ] pour contient au moins
points où la fonction S ( t ) change de signe.
Selberg (1946) a montré que les moments moyens des puissances paires de S sont donnés par
Cela suggère que S ( T )/(log log T ) 1/2 ressemble à une variable aléatoire gaussienne de moyenne 0 et de variance 2π 2 ( Ghosh (1983) a prouvé ce fait). En particulier | S ( T )| est généralement quelque part autour de (log log T ) 1/2 , mais parfois beaucoup plus grand. L'ordre exact de croissance de S ( T ) n'est pas connu. Il n'y a pas eu d'amélioration inconditionnelle de la borne initiale de Riemann S ( T )=O(log T ), bien que l'hypothèse de Riemann implique la borne légèrement plus petite S ( T )=O(log T /log log T ). Le véritable ordre de grandeur peut être légèrement inférieur à cela, car les fonctions aléatoires avec la même distribution que S ( T ) ont tendance à avoir une croissance d'ordre d'environ log( T ) 1/2 . Dans l'autre sens, il ne peut pas être trop petit : Selberg (1946) a montré que S ( T ) ≠ o((log T ) 1/3 /(log log T ) 7/3 ) , et en supposant l'hypothèse de Riemann, Montgomery a montré que S ( T ) o((log T ) 1/2 /(log log T ) 1/2 ) .
Les calculs numériques confirment que S croît très lentement : | S ( T )| < 1 pour T < 280 , | S ( T )| < 2 pour T < 6 800 000 , et la plus grande valeur de | S ( T )| trouvé jusqu'à présent n'est pas beaucoup plus grand que 3.
L'estimation de Riemann S ( T ) = O(log T ) implique que les écarts entre les zéros sont bornés, et Littlewood a légèrement amélioré cela, montrant que les écarts entre leurs parties imaginaires tendent vers 0.
Théorème d'Hadamard et de la Vallée-Poussin
Hadamard (1896) et de la Vallée-Poussin (1896) ont prouvé indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait se trouver sur la ligne Re( s ) = 1. Avec l'équation fonctionnelle et le fait qu'il n'y a pas de zéros avec une partie réelle supérieure à 1, cela a montré que tous les zéros non triviaux doivent se trouver à l'intérieur de la bande critique 0 < Re( s ) < 1 . Ce fut une étape clé dans leurs premières preuves du théorème des nombres premiers .
Les deux preuves originales que la fonction zêta n'a pas de zéros avec la partie réelle 1 sont similaires et dépendent de la démonstration que si ζ(1+ it ) s'annule, alors ζ(1+2 it ) est singulier, ce qui n'est pas possible. Une façon de le faire est d'utiliser l'inégalité
pour σ > 1, t réel, et en regardant la limite comme σ → 1. Cette inégalité suit en prenant la partie réelle du log du produit d'Euler pour voir que
où la somme est sur toutes les puissances premières p n , de sorte que
qui est au moins 1 car tous les termes de la somme sont positifs, en raison de l'inégalité
Des régions sans zéro
De la Vallée-Poussin (1899-1900) a prouvé que si σ + i t est un zéro de la fonction zêta de Riemann, alors 1 − σ ≥C/log( t )pour une constante positive C . En d'autres termes, les zéros ne peuvent pas être trop proches de la ligne σ = 1 : il existe une région sans zéro proche de cette ligne. Cette région sans zéro a été agrandie par plusieurs auteurs en utilisant des méthodes telles que le théorème de la valeur moyenne de Vinogradov . Ford (2002) a donné une version avec des constantes numériques explicites : ζ(σ + i t ) ≠ 0 quand | t | 3 et
En 2015, Mossinghoff et Trudgian ont prouvé que zeta n'a pas de zéros dans la région
pour | t | 2 . Il s'agit de la plus grande région sans zéro connue dans la bande critique pour .
Des zéros sur la ligne critique
Hardy (1914) et Hardy & Littlewood (1921) ont montré qu'il y a une infinité de zéros sur la ligne critique, en considérant les moments de certaines fonctions liées à la fonction zêta. Selberg (1942) a prouvé qu'au moins une (petite) proportion positive de zéros se trouve sur la ligne. Levinson (1974) a amélioré cela à un tiers des zéros en reliant les zéros de la fonction zêta à ceux de sa dérivée, et Conrey (1989) a encore amélioré cela aux deux cinquièmes.
La plupart des zéros se situent près de la ligne critique. Plus précisément, Bohr & Landau (1914) ont montré que pour tout positif, le nombre de zéros avec une partie réelle au moins 1/2+ε et une partie imaginaire entre -T et T est . Combiné avec le fait que les zéros sur la bande critique sont symétriques par rapport à la ligne critique et que le nombre total de zéros dans la bande critique est ,
presque tous les zéros non triviaux sont à une distance de la ligne critique. Ivić (1985) donne plusieurs versions plus précises de ce résultat, appelées estimations de densité nulle , qui bornent le nombre de zéros dans les régions avec une partie imaginaire au plus T et une partie réelle au moins 1/2+ε.Conjectures Hardy-Littlewood
En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé qu'il y avait une infinité de zéros réels.
Les deux conjectures suivantes de Hardy et John Edensor Littlewood sur la distance entre les zéros réels de et sur la densité de zéros de sur l'intervalle pour suffisamment grand , et avec la valeur aussi petite que possible de , où est un nombre arbitrairement petit, ouvrent deux nouvelles directions dans l'investigation de la fonction zêta de Riemann :
- 1. Pour tout, il existe une borne inférieure telle que pour et l'intervalle contient un zéro d'ordre impair de la fonction .
Soit le nombre total de zéros réels, et soit le nombre total de zéros d'ordre impair de la fonction située sur l'intervalle .
- 2. Pour tout il existe et certains , tels que pour et l'inégalité est vraie.
Conjecture de la fonction zêta de Selberg
Atle Selberg ( 1942 ) a étudié le problème de Hardy-Littlewood 2 et a prouvé que pour tout ε > 0 il existe tel et
c = c (ε) > 0, tel que pour et l'inégalité est vraie. Selberg a conjecturé que cela pourrait être resserré à . AA Karatsuba ( 1984a , 1984b , 1985 ) a prouvé que pour un fixe satisfaisant la condition 0 < ε < 0,001, un T suffisamment grand et , , l'intervalle ( T , T + H ) contient au moins cH log( T ) zéros réels de la fonction zêta de Riemann et a donc confirmé la conjecture de Selberg. Les estimations de Selberg et Karatsuba ne peuvent pas être améliorées en ce qui concerne l'ordre de croissance comme T → ∞.Karatsuba (1992) a prouvé qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour presque tous les intervalles ( T , T + H ], , où est un nombre positif fixe arbitrairement petit. La méthode de Karatsuba permet d'étudier les zéros de la fonction zêta de Riemann sur " intervalles supercourts" de la ligne critique, c'est-à-dire sur les intervalles (
T , T + H ], dont la longueur H croît plus lentement que n'importe quel degré T , même arbitrairement petit . En particulier, il a prouvé que pour tout nombre donné ε, satisfaisant aux conditions presque tous les intervalles ( T , T + H ] for contiennent au moins des zéros de la fonction . Cette estimation est assez proche de celle qui découle de l'hypothèse de Riemann.Calculs numériques
La fonction
a les mêmes zéros que la fonction zêta dans la bande critique, et est réel sur la ligne critique à cause de l'équation fonctionnelle, donc on peut prouver l'existence de zéros exactement sur la ligne réelle entre deux points en vérifiant numériquement que la fonction a l'opposé signes à ces endroits. On écrit généralement
où la fonction Z de Hardy et la fonction thêta de Riemann-Siegel θ sont définies de manière unique par ceci et la condition qu'elles soient des fonctions réelles lisses avec θ(0)=0. En trouvant de nombreux intervalles où la fonction Z change de signe, on peut montrer qu'il y a beaucoup de zéros sur la ligne critique. Pour vérifier l'hypothèse de Riemann jusqu'à une partie imaginaire donnée T des zéros, il faut également vérifier qu'il n'y a pas d'autres zéros hors de la ligne dans cette région. Cela peut être fait en calculant le nombre total de zéros dans la région en utilisant la méthode de Turing et en vérifiant qu'il est le même que le nombre de zéros trouvés sur la ligne. Cela permet de vérifier l'hypothèse de Riemann par calcul jusqu'à n'importe quelle valeur souhaitée de T (à condition que tous les zéros de la fonction zêta dans cette région soient simples et sur la ligne critique).
Certains calculs de zéros de la fonction zêta sont répertoriés ci-dessous, où la "hauteur" d'un zéro est l'amplitude de sa partie imaginaire, et la hauteur du n ième zéro est notée γ n . Jusqu'à présent, tous les zéros qui ont été vérifiés sont sur la ligne critique et sont simples. (Un zéro multiple poserait des problèmes aux algorithmes de recherche de zéro, qui dépendent de la recherche de changements de signe entre les zéros.) Pour les tableaux des zéros, voir Haselgrove & Miller (1960) ou Odlyzko .
Année | Nombre de zéros | Auteur |
---|---|---|
1859 ? | 3 | B. Riemann a utilisé la formule Riemann-Siegel (non publiée, mais rapportée dans Siegel 1932 ). |
1903 | 15 | JP Gram (1903) a utilisé la sommation d'Euler-Maclaurin et a découvert la loi de Gram . Il a montré que les 10 zéros avec une partie imaginaire d'au plus 50 portée se trouvent sur la ligne critique avec la partie réelle 1/2 en calculant la somme des puissances 10 inverses des racines qu'il a trouvées. |
1914 | 79 (γ n 200) | RJ Backlund (1914) a introduit une meilleure méthode pour vérifier que tous les zéros jusqu'à ce point sont sur la ligne, en étudiant l'argument S ( T ) de la fonction zêta. |
1925 | 138 (γ n ≤ 300) | JI Hutchinson (1925) a trouvé le premier échec de la loi de Gram, au point de Gram g 126 . |
1935 | 195 | EC Titchmarsh (1935) a utilisé la formule de Riemann-Siegel récemment redécouverte , qui est beaucoup plus rapide que la sommation d'Euler-Maclaurin. Il faut environ O( T 3/2+ε ) pas pour vérifier les zéros avec une partie imaginaire inférieure à T , tandis que la méthode d'Euler-Maclaurin prend environ O( T 2+ε ) pas. |
1936 | 1041 | EC Titchmarsh (1936) et LJ Comrie ont été les derniers à trouver des zéros à la main. |
1953 | 1104 | AM Turing (1953) a trouvé un moyen plus efficace de vérifier que tous les zéros jusqu'à un certain point sont représentés par les zéros sur la ligne, en vérifiant que Z a le bon signe à plusieurs points de Gram consécutifs et en utilisant le fait que S ( T ) a une valeur moyenne de 0. Cela ne nécessite presque aucun travail supplémentaire car le signe de Z aux points de Gram est déjà connu en trouvant les zéros, et c'est toujours la méthode habituelle utilisée. Ce fut la première utilisation d'un ordinateur numérique pour calculer les zéros. |
1956 | 15 000 | DH Lehmer (1956) a découvert quelques cas où la fonction zêta a des zéros qui sont « juste » sur la ligne : deux zéros de la fonction zêta sont si proches l'un de l'autre qu'il est particulièrement difficile de trouver un changement de signe entre eux. C'est ce qu'on appelle le "phénomène de Lehmer", et se produit d'abord aux zéros avec les parties imaginaires 7005.063 et 7005.101, qui diffèrent de seulement 0,04 alors que l'écart moyen entre les autres zéros près de ce point est d'environ 1. |
1956 | 25 000 | DH Lehmer |
1958 | 35 337 | NA Meller |
1966 | 250 000 | RS Lehman |
1968 | 3 500 000 | Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) ont énoncé la règle de Rosser (décrite ci-dessous). |
1977 | 40 000 000 | RP Brent |
1979 | 81 000 001 | RP Brent |
1982 | 200 000 001 | RP Brent, J. van de Lune , HJJ te Riele , DT Winter |
1983 | 300 000 001 | J. van de Lune, HJJ te Riele |
1986 | 1 500 000 001 | van de Lune, te Riele & Winter (1986) ont donné quelques données statistiques sur les zéros et ont donné plusieurs graphiques de Z aux endroits où il a un comportement inhabituel. |
1987 | Quelques-uns de grande (~10 12 ) hauteur | AM Odlyzko ( 1987 ) a calculé de plus petits nombres de zéros de hauteur beaucoup plus grande, autour de 10 12 , avec une grande précision pour vérifier la conjecture de corrélation de paires de Montgomery . |
1992 | Quelques-uns de grande (~10 20 ) hauteur | AM Odlyzko ( 1992 ) a calculé 175 millions de zéros de hauteurs autour de 10 20 et quelques autres de hauteurs autour de 2 × 10 20 , et a donné une discussion approfondie des résultats. |
1998 | 10000 de grande (~10 21 ) hauteur | AM Odlyzko ( 1998 ) a calculé des zéros de hauteur environ 10 21 |
2001 | 10 000 000 000 | J. van de Lune (non publié) |
2004 | ~ 900 000 000 000 | S. Wedeniwski ( informatique distribuée ZetaGrid ) |
2004 | 10 000 000 000 000 et quelques grandes (jusqu'à ~10 24 ) hauteurs | X. Gourdon (2004) et Patrick Demichel ont utilisé l' algorithme d'Odlyzko-Schönhage . Ils ont également vérifié deux milliards de zéros autour des hauteurs 10 13 , 10 14 , ..., 10 24 . |
2020 | 12 363 153 437 138 jusqu'à hauteur 3 000 175 332 800 |
Platt & Trudgian (2021) .
Ils ont également vérifié les travaux de Gourdon (2004) et d'autres. |
Points gramme
Un point de Gram est un point sur la ligne critique 1/2 + it où la fonction zêta est réelle et non nulle. En utilisant l'expression de la fonction zêta sur la ligne critique, ζ(1/2 + it ) = Z ( t )e − i θ( t ) , où la fonction de Hardy, Z , est réelle pour réel t , et θ est le Riemann –Fonction thêta de Siegel , nous voyons que zêta est réel lorsque sin(θ( t )) = 0. Cela implique que θ( t ) est un multiple entier de π, ce qui permet de calculer assez facilement la localisation des points de Gram par inverser la formule de θ. Ils sont généralement numérotés comme g n pour n = 0, 1, ..., où g n est l'unique solution de θ( t ) = n π.
Gram a observé qu'il y avait souvent exactement un zéro de la fonction zêta entre deux points de Gram ; Hutchinson a appelé cette observation la loi de Gram . Il existe plusieurs autres déclarations étroitement liées qui sont aussi parfois appelées loi de Gram : par exemple, (−1) n Z ( g n ) est généralement positif, ou Z ( t ) a généralement un signe opposé à des points de Gram consécutifs. Les parties imaginaires n des premiers zéros (en bleu) et les premiers points de Gram g n sont donnés dans le tableau suivant
g -1 | γ 1 | g 0 | γ 2 | g 1 | γ 3 | g 2 | γ 4 | g 3 | γ 5 | g 4 | γ 6 | g 5 | ||
0 | 3.436 | 9.667 | 14.135 | 17.846 | 21.022 | 23.170 | 25.011 | 27.670 | 30.425 | 31.718 | 32.935 | 35,467 | 37.586 | 38.999 |
Le premier échec de la loi de Gram se produit au 127e zéro et au point de Gram g 126 , qui sont dans le "mauvais" ordre.
g 124 | γ 126 | 125 g | g 126 | γ 127 | γ 128 | g 127 | γ 129 | g 128 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
279.148 | 279.229 | 280.802 | 282.455 | 282.465 | 283.211 | 284.104 | 284.836 | 285.752 |
Un point de Gram t est dit bon si la fonction zêta est positive à 1/2 + it . Les indices des "mauvais" points de Gram où Z a le "mauvais" signe sont 126, 134, 195, 211, ... (séquence A114856 dans l' OEIS ). Un bloc de Gram est un intervalle délimité par deux bons points de Gram tel que tous les points de Gram entre eux sont mauvais. Un raffinement de la loi de Gram appelé la règle de Rosser due à
Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) dit que les blocs de Gram ont souvent le nombre attendu de zéros en eux (le même que le nombre d'intervalles de Gram), même si certains des intervalles de Gram individuels dans le bloc peut ne pas contenir exactement un zéro. Par exemple, l'intervalle délimité par g 125 et g 127 est un bloc de Gram contenant un seul mauvais point de Gram g 126 et contient le nombre attendu 2 de zéros bien qu'aucun de ses deux intervalles de Gram ne contienne un unique zéro. Rosser et al. vérifié qu'il n'y avait pas d'exceptions à la règle de Rosser dans les 3 premiers millions de zéros, bien qu'il y ait une infinité d'exceptions à la règle de Rosser sur l'ensemble de la fonction zêta.La règle de Gram et la règle de Rosser disent toutes deux que, dans un certain sens, les zéros ne s'éloignent pas trop de leurs positions attendues. La distance d'un zéro à sa position attendue est contrôlée par la fonction S définie ci-dessus, qui croît extrêmement lentement : sa valeur moyenne est de l'ordre de (log log T ) 1/2 , qui n'atteint que 2 pour T autour de 10 24 . Cela signifie que les deux règles s'appliquent la plupart du temps pour un petit T mais finissent par s'effondrer souvent. En effet, Trudgian (2011) a montré que la loi de Gram et la règle de Rosser échouent dans une proportion positive de cas. Pour être précis, on s'attend à ce que dans environ 73% un zéro soit entouré de deux points de Gram successifs, mais dans 14% aucun zéro et dans 13% deux zéros sont dans un tel intervalle de Gram sur le long terme.
Arguments pour et contre l'hypothèse de Riemann
Les articles mathématiques sur l'hypothèse de Riemann ont tendance à être prudemment évasifs quant à sa vérité. Parmi les auteurs qui expriment une opinion, la plupart d'entre eux, comme Riemann (1859) et Bombieri (2000) , laissent entendre qu'ils s'attendent (ou du moins espèrent) qu'elle est vraie. Les quelques auteurs qui expriment de sérieux doutes à ce sujet incluent Ivić (2008) , qui énumère quelques raisons de scepticisme, et Littlewood (1962) , qui déclare catégoriquement qu'il le croit faux, qu'il n'y a aucune preuve pour cela et aucune raison imaginable qu'il serait Sois sincère. Le consensus des articles de l'enquête ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 et Sarnak 2005 ) est que les preuves sont solides mais pas écrasantes, de sorte que même si c'est probablement vrai, il existe un doute raisonnable.
Certains des arguments pour et contre l'hypothèse de Riemann sont répertoriés par Sarnak (2005) , Conrey (2003) et Ivić (2008) , et comprennent les suivants :
- Plusieurs analogues de l'hypothèse de Riemann ont déjà été prouvés. La preuve de l'hypothèse de Riemann pour les variétés sur les corps finis par Deligne (1974) est peut-être la raison théorique la plus forte en faveur de l'hypothèse de Riemann. Cela fournit des preuves de la conjecture plus générale selon laquelle toutes les fonctions zêta associées aux formes automorphes satisfont à une hypothèse de Riemann, qui inclut l'hypothèse classique de Riemann comme cas particulier. De même, les fonctions zêta de Selberg satisfont l'analogue de l'hypothèse de Riemann et sont à certains égards similaires à la fonction zêta de Riemann, ayant une équation fonctionnelle et une expansion de produit infinie analogue à l'expansion de produit d'Euler. Mais il y a aussi des différences majeures ; par exemple, ils ne sont pas donnés par les séries de Dirichlet. L'hypothèse de Riemann pour la fonction zêta de Goss a été prouvée par Sheats (1998) . Contrairement à ces exemples positifs, certaines fonctions zêta d'Epstein ne satisfont pas l'hypothèse de Riemann même si elles ont un nombre infini de zéros sur la ligne critique. Ces fonctions sont assez similaires à la fonction zêta de Riemann, et ont un développement en série de Dirichlet et une équation fonctionnelle , mais celles connues pour échouer à l'hypothèse de Riemann n'ont pas de produit d'Euler et ne sont pas directement liées aux représentations automorphes .
- Au début, la vérification numérique que de nombreux zéros se trouvent sur la ligne semble une preuve solide pour cela. Mais la théorie analytique des nombres a eu de nombreuses conjectures soutenues par des preuves numériques substantielles qui se sont avérées fausses. Voir le nombre de Skewes pour un exemple notoire, où la première exception à une conjecture plausible liée à l'hypothèse de Riemann se produit probablement vers 10 316 ; un contre-exemple à l'hypothèse de Riemann avec une partie imaginaire de cette taille serait bien au-delà de tout ce qui peut actuellement être calculé en utilisant une approche directe. Le problème est que le comportement est souvent influencé par des fonctions à croissance très lente telles que log log T , qui tendent vers l'infini, mais le font si lentement que cela ne peut pas être détecté par le calcul. De telles fonctions apparaissent dans la théorie de la fonction zêta contrôlant le comportement de ses zéros ; par exemple la fonction S ( T ) ci-dessus a une taille moyenne autour de (log log T ) 1/2 . Comme S ( T ) saute d'au moins 2 à n'importe quel contre-exemple de l'hypothèse de Riemann, on pourrait s'attendre à ce que des contre-exemples à l'hypothèse de Riemann commencent à n'apparaître que lorsque S ( T ) devient grand. Il n'est jamais beaucoup plus que 3 dans la mesure où il a été calculé, mais il est connu pour être illimité, ce qui suggère que les calculs n'ont peut-être pas encore atteint la région de comportement typique de la fonction zêta.
- L'argument probabiliste de
Remarques
Les références
Il existe plusieurs livres non techniques sur l'hypothèse de Riemann, tels que Derbyshire (2003) , Rockmore (2005) , Sabbagh ( 2003a , 2003b ), du Sautoy (2003) et Watkins (2015) . Les livres Edwards (1974) , Patterson (1988) , Borwein et al. (2008) , Mazur & Stein (2015) et Broughan (2017) donnent des introductions mathématiques, tandis que Titchmarsh (1986) , Ivić (1985) et Karatsuba & Voronin (1992) sont des monographies avancées .
- Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1) : 207-246, doi : 10.1007/BF01181075 , S2CID 117936362
- Backlund, RJ (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann" , CR Acad. Sci. Paris , 158 : 1979-1981
- Beurling, Arne (1955), "Un problème de fermeture lié à la fonction zêta de Riemann", Actes de la National Academy of Sciences des États-Unis d'Amérique , 41 (5) : 312-314, Bibcode : 1955PNAS...41 ..312B , doi : 10.1073/pnas.41.5.312 , MR 0070655 , PMC 528084 , PMID 16589670
- Bohr, H. ; Landau, E. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L -Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 37 (1) : 269–272, doi : 10.1007/BF03014823 , S2CID 121145912
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Liens externes
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- Institut américain des mathématiques , hypothèse de Riemann
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