Homomorphisme en anneau - Ring homomorphism

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
v t e

Dans la théorie des anneaux , une branche de l' algèbre abstraite , un homomorphisme d'anneau est une fonction de préservation de la structure entre deux anneaux . Plus explicitement, si R et S sont des anneaux, alors un homomorphisme d'anneau est une fonction f  : R → S telle que f est :

plus en préservant :

${\style d'affichage f(a+b)=f(a)+f(b)}$pour tout a et b dans R ,

multiplication en préservant :

${\style d'affichage f(ab)=f(a)f(b)}$pour tout a et b dans R ,

et unitaire (identité multiplicative) préservant :

${\style d'affichage f(1_{R})=1_{S}}$.

Les inverses additifs et l'identité additive font également partie de la structure, mais il n'est pas nécessaire d'exiger explicitement qu'ils soient également respectés, car ces conditions sont des conséquences des trois conditions ci-dessus.

Si de plus f est une bijection , alors son inverse f ⁻¹ est aussi un homomorphisme d'anneau. Dans ce cas, f est appelé un isomorphisme d' anneaux et les anneaux R et S sont appelés isomorphes . Du point de vue de la théorie des anneaux, les anneaux isomorphes ne peuvent pas être distingués.

Si R et S sont des rngs , alors la notion correspondante est celle d' un homomorphisme rng , défini comme ci - dessus sauf sans la troisième condition f (1 _R ) = 1 _S . Un homomorphisme d'anneau entre des anneaux (unitaires) n'a pas besoin d'être un homomorphisme d'anneau.

La composition de deux homomorphismes d'anneaux est un homomorphisme d'anneaux. Il s'ensuit que la classe de tous les anneaux forme une catégorie avec des homomorphismes d'anneaux comme morphismes (cf. la catégorie des anneaux ). En particulier, on obtient les notions d'endomorphisme d'anneau, d'isomorphisme d'anneau et d'automorphisme d'anneau.

Propriétés

Soit un homomorphisme d'anneau. Alors, directement de ces définitions, on peut déduire : ${\displaystyle f\colon R\rightarrow S}$

• f ( _0R ) = _0S .
• f (− a ) = − f ( a ) pour tout a dans R .
• Pour tout élément unitaire a dans R , f ( a ) est un élément unitaire tel que f ( a ^-1 ) = f ( a ) ^-1 . En particulier, f induit un homomorphisme de groupe du groupe (multiplicatif) d'unités de R au groupe (multiplicatif) d'unités de S (ou de im( f )).
• L' image de f , notée im( f ), est un sous-anneau de S .
• Le noyau de f , défini comme ker( f ) = { a dans R  : f ( a ) = 0 _S } , est un idéal dans R . Chaque idéal dans un anneau R découle d'un homomorphisme d'anneau de cette manière.
• L'homomorphisme f est injectif si et seulement si ker( f ) = {0 _R } .
• S'il existe un homomorphisme d'anneau f  : R → S alors la caractéristique de S divise la caractéristique de R . Ceci peut parfois être utilisé pour montrer qu'entre certains anneaux R et S , aucun homomorphisme d'anneau R → S ne peut exister.
• Si R _p est le plus petit sous - anneau contenu dans R et S _p est le plus petit sous-anneau contenu dans S , alors tout homomorphisme d'anneau f  : R → S induit un homomorphisme d'anneau f _p  : R _p → S _p .
• Si R est un champ (ou plus généralement un champ asymétrique ) et S n'est pas l' anneau zéro , alors f est injectif.
• Si R et S sont tous deux des champs , alors im( f ) est un sous-champ de S , donc S peut être considéré comme une extension de champ de R .
• Si R et S sont commutatifs et I est un idéal de S alors f ⁻¹ (I) est un idéal de R .
• Si R et S sont commutatifs et P est un idéal premier de S alors f ⁻¹ ( P ) est un idéal premier de R .
• Si R et S sont commutatifs, M est un idéal maximal de S , et f est surjectif, alors f ⁻¹ (M) est un idéal maximal de R .
• Si R et S sont commutatifs et S est un domaine intégral , alors ker( f ) est un idéal premier de R .
• Si R et S sont commutatifs, S est un corps, et f est surjectif, alors ker( f ) est un idéal maximal de R .
• Si f est surjectif, P est premier (maximal) idéal dans R et ker( f ) P , alors f ( P ) est premier (maximal) idéal dans S .

En outre,

• La composition des homomorphismes d'anneaux est un homomorphisme d'anneaux.
• Pour chaque anneau R , l'application d'identité R → R est un homomorphisme d'anneau.
• Par conséquent, la classe de tous les anneaux ainsi que les homomorphismes d'anneau forment une catégorie, la catégorie des anneaux .
• L'application zéro R → S envoyant chaque élément de R à 0 n'est un homomorphisme d'anneau que si S est l' anneau zéro (l'anneau dont le seul élément est zéro).
• Pour tout anneau R , il existe un unique homomorphisme d'anneau Z → R . Ceci dit que l'anneau des nombres entiers est un objet initial dans la catégorie des anneaux.
• Pour chaque anneau R , il existe un unique homomorphisme d'anneau de R à l'anneau zéro. Cela dit que l'anneau zéro est un objet terminal dans la catégorie des anneaux.

Exemples

• La fonction f  : Z → Z _n , définie par f ( a ) = [ a ] _n = a mod n est un homomorphisme d'anneau surjectif de noyau n Z (voir arithmétique modulaire ).
• La fonction f  : Z ₆ → Z ₆ définie par f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ est un homomorphisme rng (et endomorphisme rng), de noyau 3 Z ₆ et d'image 2 Z ₆ (qui est isomorphe à Z ₃ ).
• Il n'y a pas d'homomorphisme d'anneau Z _n → Z pour n 1 .
• La conjugaison complexe C → C est un homomorphisme d'anneau (c'est un exemple d'automorphisme d'anneau.)
• Si R et S sont des anneaux, la fonction zéro de R à S est un homomorphisme d'anneau si et seulement si S est l' anneau zéro . (Sinon, il ne parvient pas à mapper 1 _R sur 1 _S .) D'un autre côté, la fonction zéro est toujours un homomorphisme rng.
• Si R [ X ] désigne l' anneau de tous les polynômes de la variable X avec des coefficients dans les nombres réels R , et C désigne les nombres complexes , alors la fonction f  : R [ X ] → C définie par f ( p ) = p ( i ) (substituer l'unité imaginaire i à la variable X dans le polynôme p ) est un homomorphisme d'anneau surjectif. Le noyau de f est constitué de tous les polynômes de R [ X ] qui sont divisibles par X ² + 1 .
• Si f  : R → S est un homomorphisme d'anneaux entre les anneaux R et S , alors f induit un homomorphisme d'anneaux entre les anneaux matriciels M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Un homomorphisme d'algèbre unitaire entre des algèbres associatives unitaires sur un anneau commutatif R est un homomorphisme d'anneau qui est également R -linéaire .

Non-exemples

• Étant donné un produit d'anneaux , l'inclusion naturelle n'est pas un homomorphisme d'anneau (sauf si l'anneau zéro) ; c'est parce que la carte n'envoie pas l'identité multiplicative de à celle de , à savoir .${\displaystyle S=R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{1}\to S,x\mapsto (x,0)}$${\style d'affichage R_{2}}$${\style d'affichage R_{1}}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage (1,1)}$

La catégorie des bagues

Endomorphismes, isomorphismes et automorphismes

• Un endomorphisme d'anneau est un homomorphisme d'anneau d'un anneau à lui-même.
• Un isomorphisme d'anneau est un homomorphisme d'anneau ayant un inverse bilatéral qui est également un homomorphisme d'anneau. On peut prouver qu'un homomorphisme d'anneau est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif en fonction des ensembles sous-jacents. S'il existe un isomorphisme d'anneaux entre deux anneaux R et S , alors R et S sont dits isomorphes . Les anneaux isomorphes ne diffèrent que par un réétiquetage des éléments. Exemple : Jusqu'à l'isomorphisme, il y a quatre anneaux d'ordre 4. (Cela signifie qu'il y a quatre anneaux non isomorphes par paires d'ordre 4 tels que chaque autre anneau d'ordre 4 est isomorphe à l'un d'eux.) D'autre part, à isomorphisme près, il y a onze anneaux d'ordre 4.
• Un automorphisme d'anneau est un isomorphisme d'anneau d'un anneau à lui-même.

Monomorphismes et épimorphismes

Les homomorphismes d'anneaux injectifs sont identiques aux monomorphismes de la catégorie des anneaux : Si f  : R → S est un monomorphisme qui n'est pas injectif, alors il envoie r ₁ et r ₂ au même élément de S . Considérons les deux applications g ₁ et g ₂ de Z [ x ] à R qui appliquent x à r ₁ et r ₂ , respectivement ; f ∘ g ₁ et f ∘ g ₂ sont identiques, mais étant donné que f est un monomorphisme cela est impossible.

Cependant, les homomorphismes d'anneaux surjectifs sont très différents des épimorphismes dans la catégorie des anneaux. Par exemple, l'inclusion Z ⊆ Q est un épimorphisme d'anneau, mais pas une surjection. Cependant, ils sont exactement les mêmes que les épimorphismes forts .

Voir également

• Changement de bagues
• Rallonge d'anneau

Citations

Remarques

Les références