Anneau d'entiers - Ring of integers

En mathématiques , l' anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques est l' anneau de tous les entiers algébriques contenus dans . Un entier algébrique est une racine d' un polynôme monique à coefficients entiers : . Cet anneau est souvent désigné par ou . Puisque tout entier appartient à et est un élément intégral de , l'anneau est toujours un sous - anneau de . ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$${\displaystyle O_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle O_{K}}$

L'anneau d'entiers est l' anneau d'entiers le plus simple possible. À savoir, où est le champ des nombres rationnels . Et en effet, dans la théorie algébrique des nombres, les éléments de sont souvent appelés les "entiers rationnels" à cause de cela. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

L'exemple suivant le plus simple est l'anneau d' entiers gaussiens , constitué de nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers. C'est l'anneau des nombres entiers dans le corps des nombres des rationnels gaussiens , constitué de nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels. Comme les entiers rationnels, est un domaine euclidien . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[i\right]}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \left[i\right]}$

L'anneau d'entiers d'un corps de nombres algébriques est l'unique ordre maximal dans le corps. C'est toujours un domaine Dedekind .

Propriétés

L'anneau des entiers O _K est un fini généré par Z - le module . En effet, c'est un Z -module libre , et a donc une base intégrale , c'est-à-dire une base b ₁ , ... , b _n O _K du Q -espace vectoriel  K telle que chaque élément  x dans O _K peut être représenté de manière unique comme

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

avec un _i ∈ Z . Le rang  n de O _{K en} tant que Z- module libre est égal au degré de  K sur Q .

Exemples

Outil de calcul

Un outil utile pour calculer l'intégrale proche de l'anneau des entiers dans un champ algébrique K / Q utilise le discriminant. Si K est de degré n sur Q , et forme une base de K sur Q , définissez . Alors, est un sous-module du Z -module couvert par ^{pg. 33} . En fait, si d est sans carré, alors cela forme une base intégrale pour ^{pg. 35} . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Extensions cyclotomiques

Si p est un nombre premier , ζ est un p ième racine de l' unité et K = Q ( ζ ) est le correspondant corps cyclotomique , puis une base intégrale de O _K = Z [ ζ ] est donnée par (1,  ζ ,  ζ ² , ...,  ζ ^{p -2} ) .

Extensions quadratiques

Si est un entier sans carré et est le corps quadratique correspondant , alors est un anneau d' entiers quadratiques et sa base intégrale est donnée par (1, (1 + √ d )/2) si d 1 ( mod 4) et par (1,  √ d ) si d 2, 3 (mod 4) . Cela peut être trouvé en calculant le polynôme minimal d'un élément arbitraire où . ${\style d'affichage d}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle a,b\in \mathbf {Z} }$

Structure multiplicative

Dans un anneau des entiers, chaque élément a une factorisation en éléments irréductibles , mais le besoin d'anneau pas la propriété de factorisation uniques : par exemple, dans l'anneau des entiers Z [ √ -5 ] , l'élément 6 a deux factorisations essentiellement différentes en irréductibles :

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\ .}$

Un anneau d'entiers est toujours un domaine de Dedekind , et a donc une factorisation unique des idéaux en idéaux premiers .

Les unités d'un anneau d'entiers O _K est un groupe abélien de type fini par le théorème unitaire de Dirichlet . Le sous-groupe de torsion est constitué des racines de l'unité de K . Un ensemble de générateurs sans torsion est appelé un ensemble d' unités fondamentales .

Généralisation

On définit l'anneau d'entiers d'un corps local non archimédien F comme l'ensemble de tous les éléments de F de valeur absolue ≤ 1 ; c'est un anneau à cause de la forte inégalité triangulaire. Si F est l'achèvement d'un corps de nombres algébriques, son anneau d'entiers est l'achèvement de l'anneau d'entiers de ce dernier. L'anneau d'entiers d'un corps de nombres algébriques peut être caractérisé comme les éléments qui sont des entiers dans chaque complétion non archimédienne.

Par exemple, le p entiers -adiques Z _p sont l'anneau des entiers de p nombres -adiques Q _p  .

Voir également

• Polynôme minimal (théorie des champs)
• Fermeture intégrale - donne une technique pour calculer les fermetures intégrales

Remarques

Citations

Les références