Pentagone de Robbins - Robbins pentagon

Problème non résolu en mathématiques :

Un pentagone de Robbins peut-il avoir des diagonales irrationnelles ?

(plus de problèmes non résolus en mathématiques)
Un pentagone de Robbins d'une superficie de 13 104
Un pentagone de Robbins d'une superficie de 7392

En géométrie , un pentagone de Robbins est un pentagone cyclique dont les longueurs de côté et l'aire sont tous des nombres rationnels .

Histoire

Les pentagones de Robbins ont été nommés par Buchholz & MacDougall (2008) d' après David P. Robbins , qui avait précédemment donné une formule pour l'aire d'un pentagone cyclique en fonction de la longueur de ses arêtes. Buchholz et MacDougall ont choisi ce nom par analogie avec la dénomination des triangles Heron d' après Héros d'Alexandrie , le découvreur de la formule de Heron pour l'aire d'un triangle en fonction de la longueur de ses bords.

Superficie et périmètre

Chaque pentagone de Robbins peut être mis à l'échelle de sorte que ses côtés et son aire soient des nombres entiers. Plus fortement, Buchholz et MacDougall ont montré que si les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers et que l'aire est rationnelle, alors l'aire est nécessairement aussi un nombre entier, et le périmètre est nécessairement un nombre pair .

Diagonales

Buchholz et MacDougall ont également montré que, dans chaque pentagone de Robbins, soit les cinq diagonales internes sont des nombres rationnels, soit aucune d'entre elles ne l'est. Si les cinq diagonales sont rationnelles (le cas appelé un pentagone de Brahmagupta par Sastry (2005) ), alors le rayon de son cercle circonscrit doit également être rationnel, et le pentagone peut être divisé en trois triangles Heron en le coupant le long de deux non- diagonales croisées, ou en cinq triangles Heron en le coupant le long des cinq rayons du centre du cercle à ses sommets.

Buchholz et MacDougall ont effectué des recherches informatiques pour les pentagones de Robbins avec des diagonales irrationnelles, mais n'ont pu en trouver. Sur la base de ce résultat négatif, ils ont suggéré que les pentagones de Robbins avec des diagonales irrationnelles pourraient ne pas exister.

Les références

  • Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with rational side and area" , Journal of Number Theory , 128 (1) : 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), "Areas of polygons inscribed in a circle", Discrete and Computational Geometry , 12 (2) : 223-236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), « Aires de polygones inscrits dans un cercle », The American Mathematical Monthly , 102 (6) : 523–530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Construction de Brahmagupta n-gons" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119–126, MR  2195739.