Théorème de Routh - Routh's theorem

Théorème de Routh

En géométrie , le théorème de Routh détermine le rapport des aires entre un triangle donné et un triangle formé par les intersections par paires de trois cevians . Le théorème énonce que si , dans le triangle des points , , et se situent sur des segments , et donc à écrire , et , la signature zone du triangle formé par les cevians , et est l'aire du triangle fois ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle {\ tfrac {CD} {BD}}}$${\ displaystyle = x}$${\ displaystyle {\ tfrac {AE} {CE}}}$${\ displaystyle = y}$${\ displaystyle {\ tfrac {BF} {AF}}}$${\ displaystyle = z}$${\ displaystyle AD}$${\ displaystyle BE}$${\ displaystyle CF}$${\ displaystyle ABC}$

${\ displaystyle {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}$

Ce théorème a été donné par Edward John Routh à la page 82 de son Traité sur la statique analytique avec de nombreux exemples en 1896. Le cas particulier s'est popularisé sous le nom de triangle d'un septième d'aire . Le cas implique que les trois médianes sont concurrentes (via le centre de gravité ). ${\ displaystyle x = y = z = 2}$${\ displaystyle x = y = z = 1}$

Preuve

Théorème de Routh

Supposons que l'aire du triangle est 1. Pour le triangle et la ligne utilisant le théorème de Ménélas , nous pourrions obtenir: ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle ABD}$${\ displaystyle FRC}$

${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BC} {CD}} \ times {\ frac {DR} {RA}} = 1}$

Alors donc l'aire du triangle est: ${\ displaystyle {\ frac {DR} {RA}} = {\ frac {BF} {FA}} \ times {\ frac {DC} {CB}} = {\ frac {zx} {x + 1}}}$${\ displaystyle ARC}$

${\ displaystyle S_ {ARC} = {\ frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = {\ frac {AR} {AD}} \ times {\ frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = {\ frac {x} {zx + x + 1}}}$

De même, nous pourrions savoir: et Ainsi l'aire du triangle est: ${\ displaystyle S_ {BPA} = {\ frac {y} {xy + y + 1}}}$${\ displaystyle S_ {CQB} = {\ frac {z} {yz + z + 1}}}$${\ displaystyle PQR}$

${\ displaystyle \ displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}$

${\ displaystyle = 1 - {\ frac {x} {zx + x + 1}} - {\ frac {y} {xy + y + 1}} - {\ frac {z} {yz + z + 1}} }$

${\ displaystyle = {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}$

Citations

La citation communément donnée pour le théorème de Routh est le Traité de Routh sur la statique analytique avec de nombreux exemples , volume 1, chap. IV, dans la deuxième édition de 1896 p. 82 , peut-être parce que cette édition a été plus facile à remettre. Cependant, Routh a déjà donné le théorème dans la première édition de 1891, Volume 1, Chap. IV, p. 89 . Bien qu'il y ait un changement de pagination entre les éditions, le libellé de la note de bas de page pertinente est resté le même.

Routh conclut sa note de bas de page étendue par une mise en garde :

"L'auteur n'a pas rencontré ces expressions pour les aires de deux triangles qui se produisent souvent. Il les a donc placées ici afin que l'argument dans le texte puisse être plus facilement compris."

Vraisemblablement, Routh a estimé que ces circonstances n'avaient pas changé au cours des cinq années entre les éditions. D'un autre côté, le titre du livre de Routh avait été utilisé plus tôt par Isaac Todhunter ; tous deux avaient été entraînés par William Hopkins .

Bien que Routh ait publié le théorème dans son livre, ce n'est pas la première déclaration publiée. Il est indiqué et prouvé comme cavalier (vii) à la page 33 de Solutions of the Cambridge Sénat-house Problems and Riders for the Year 1878, c'est-à-dire les tripos mathématiques de cette année, et le lien est https://archive.org/ détails / solutionscambri00glaigoog . Il est indiqué que l'auteur des problèmes avec les chiffres romains est Glaisher . Routh était un célèbre entraîneur de Mathematical Tripos lorsque son livre est sorti et était sûrement familier avec le contenu de l'examen tripos de 1878. Ainsi, sa déclaration L'auteur n'a pas rencontré ces expressions pour les aires de deux triangles qui se produisent souvent. est déroutant.

Les problèmes dans cet esprit ont une longue histoire dans les mathématiques récréatives et la pédagogie mathématique , peut-être l'un des exemples les plus anciens de détermination des proportions des quatorze régions de la planche Stomachion . Avec le Cambridge de Routh à l'esprit, le triangle d'un septième domaine , associé dans certains récits à Richard Feynman , apparaît, par exemple, sous la forme de question 100, p. 80 , dans Euclid's Elements of Geometry ( Fifth School Edition ) , par Robert Potts (1805-1885,) du Trinity College, publié en 1859; comparez aussi ses Questions 98, 99, sur la même page. Potts était vingt-sixième Wrangler en 1832, puis, comme Hopkins et Routh, entraînait à Cambridge. Les écrits explicatifs de Pott en géométrie ont été reconnus par une médaille à l'Exposition internationale de 1862, ainsi que par un Hon. LL.D. du College of William and Mary , Williamsburg , Virginie .

Références

• Murray S. Klamkin et A. Liu (1981) "Trois autres preuves du théorème de Routh", Crux Mathematicorum 7: 199–203.
• HSM Coxeter (1969) Introduction à la géométrie , déclaration p. 211, épreuve pp. 219–20, 2e édition, Wiley, New York.
• JS Kline et D. Velleman (1995) «Encore une preuve du théorème de Routh» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37–40
• Ivan Niven (1976) "Une nouvelle preuve du théorème de Routh", Mathematics Magazine 49 (1): 25–7, doi : 10.2307 / 2689876
• Jay Warendorff, le théorème de Routh , le projet de démonstration Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Théorème de Routh" . MathWorld .
• Théorème de Routh par produits croisés chez MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Le théorème de Routh revisité", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.