Condition de compatibilité de Saint-Venant - Saint-Venant's compatibility condition

Dans la théorie mathématique de l' élasticité , la condition de compatibilité de Saint-Venant définit la relation entre la déformation et un champ de déplacement par ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ u}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

où . Barré de Saint-Venant a dérivé la condition de compatibilité pour qu'un champ tenseur de second rang symétrique arbitraire soit de cette forme, celle-ci a maintenant été généralisée à des champs de tenseur symétriques de rang supérieur sur des espaces de dimension${\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq 3}$${\ displaystyle n \ geq 2}$

Champs tensoriels de rang 2

Pour un champ tenseur symétrique de rang 2 dans un espace euclidien à n dimensions ( ) la condition d'intégrabilité prend la forme de la disparition du tenseur de Saint-Venant défini par ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle W (F)}$

${\ displaystyle W_ {ijkl} = {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {ij}} {\ partial x_ {k} \ partial x_ {l}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {kl}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {il}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {jk}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {l}}}}$

Le résultat qui, sur un domaine simplement connexe W = 0 implique que la déformation est la dérivée symétrique d'un champ vectoriel, a été décrit pour la première fois par Barré de Saint-Venant en 1864 et prouvé rigoureusement par Beltrami en 1886. Pour les domaines non simplement connectés il y a sont des espaces de dimensions finies de tenseurs symétriques à tenseur de Saint-Venant nul qui ne sont pas la dérivée symétrique d'un champ vectoriel. La situation est analogue à la cohomologie de Rham

Le tenseur de Saint-Venant est étroitement lié au tenseur de courbure de Riemann . En effet, la première variation de la métrique euclidienne avec une perturbation dans la métrique est précisément . Par conséquent, le nombre de composants indépendants de est le même que spécifiquement pour la dimension n. Spécifiquement pour , n'a qu'un seul composant indépendant alors que pour il y en a six. ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle R_ {ijkl}}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n ^ {2} -1)} {12}}}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n = 3}$

Dans sa forme la plus simple, bien sûr, les composants de doivent être supposés deux fois continuellement différentiables, mais des travaux plus récents prouvent le résultat dans un cas beaucoup plus général. ${\ displaystyle F}$

La relation entre la condition de compatibilité de Saint-Venant et le lemme de Poincaré peut être mieux comprise en utilisant une forme réduite du tenseur de Kröner ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle K_ {i_ {1} ... i_ {n-2} j_ {1} ... j_ {n-2}} = \ epsilon _ {i_ {1} ... i_ {n-2} kl} \ epsilon _ {j_ {1} ... j_ {n-2} mp} F_ {lm, kp}}$

où est le symbole de permutation . Pour , est un champ tenseur symétrique de rang 2. La disparition de équivaut à la disparition de et cela montre également qu'il y a six composants indépendants pour le cas important des trois dimensions. Bien que cela implique toujours deux dérivées plutôt que celle du lemme de Poincaré, il est possible de se réduire à un problème impliquant des dérivées premières en introduisant plus de variables et il a été montré que le `` complexe d'élasticité '' résultant est équivalent au complexe de Rham . ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle n = 3}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle W}$

En géométrie différentielle, la dérivée symétrisée d'un champ vectoriel apparaît également comme la dérivée de Lie du tenseur métrique g par rapport au champ vectoriel.

${\ displaystyle T_ {ij} = ({\ mathcal {L}} _ {U} g) _ {ij} = U_ {i; j} + U_ {j; i}}$

où les indices suivant un point-virgule indiquent une différenciation covariante. La disparition de est donc la condition d'intégrabilité de l'existence locale de dans le cas euclidien. Comme indiqué ci-dessus, cela coïncide avec la disparition de la linéarisation du tenseur de courbure de Riemann autour de la métrique euclidienne. ${\ displaystyle W (T)}$${\ displaystyle U}$

Généralisation aux tenseurs de rang supérieur

La condition de compatibilité de Saint-Venant peut être considérée comme un analogue, pour les champs tensoriels symétriques, du lemme de Poincaré pour les champs tensoriels asymétriques ( formes différentielles ). Le résultat peut être généralisé à des champs de tenseurs symétriques de rang supérieur . Soit F un champ tenseur symétrique de rang k sur un ensemble ouvert dans l' espace euclidien à n dimensions , alors la dérivée symétrique est le champ tenseur de rang k + 1 défini par

${\ displaystyle (dF) _ {i_ {1} ... i_ {k} i_ {k + 1}} = F _ {(i_ {1} ... i_ {k}, i_ {k + 1})} }$

où nous utilisons la notation classique selon laquelle les indices suivant une virgule indiquent une différenciation et les groupes d'indices entre crochets indiquent une symétrisation sur ces indices. Le tenseur de Saint-Venant d'un champ tenseur symétrique de rang k est défini par ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle W_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = V _ {(i_ {1} .. i_ {k}) (j_ {1} ... j_ {k})}}$

avec

${\ displaystyle V_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = \ sum \ limits _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {p} {k \ choisir p} T_ {i_ {1} .. i_ {kp} j_ {1} ... j_ {p}, j_ {p + 1} ... j_ {k} i_ {k-p + 1 } ... i_ {k}}}$

Sur un domaine simplement connecté dans l'espace euclidien implique que pour un certain champ tenseur symétrique de rang k-1 . ${\ displaystyle W = 0}$${\ displaystyle T = dF}$${\ displaystyle F}$

Les références

Voir également

• Compatibilité (mécanique)