Équation de Schrödinger - Schrödinger equation

Fait partie d'une série d'articles sur
Mécanique quantique
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ équation de Schrödinger
introduction Glossaire Histoire
Fond Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation bra-ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Complémentarité Décohérence Enchevêtrement Niveau d'énergie La mesure Non-localité Nombre quantique État Superposition Symétrie Tunneling Incertitude Fonction d'onde Effondrer
Expériences L'inégalité de Bell Davisson-Germer Double fente Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach–Zehnder Popper Gomme quantique Choix différé Le chat de Schrödinger Stern–Gerlach Le choix différé de Wheeler
Formules Aperçu Heisenberg Interaction Matrice Espace des phases Schrödinger Sum-over-histories (chemin intégral)
Équations Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interprétations Aperçu bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie-Bohm Ensemble Variable-cachée Local De nombreux mondes Effondrement de l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
Sujets avancés Mécanique quantique relativiste Théorie quantique des champs Sciences de l'information quantique L'informatique quantique Chaos quantique Matrice de densité Théorie de la diffusion Mécanique statistique quantique Apprentissage automatique quantique
Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Née Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Au revoir Ehrenfest Einstein Everett Putain Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramer Pauli agneau Landau Laue Mosley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vienne Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Physique moderne
${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{n}(t)\ rang }$ ${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\phi }_{n}}{{\partial t}^{2} }}-{{\nabla }^{2}{\phi }_{n}}+{\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)}^{2}{\phi }_ {n}=0}$ Dynamique des variétés : équations de Schrödinger et Klein-Gordon
Fondateurs Max Planck  · Albert Einstein  · Niels Bohr  · Max Born  · Werner Heisenberg  · Erwin Schrödinger  · Pascual Jordan  · Wolfgang Pauli  · Paul Dirac  · Ernest Rutherford  · Louis de Broglie  · Satyendra Nath Bose
notions Topologie  · Espace  · Temps  · Énergie  · Matière  · Travail Aléatoire  · Information  · Entropie  · Mind Light  · Particule  · Vague
Branches Appliqué  · Expérimental  · Théorique Mathématique  · Philosophie de la physique Mécanique quantique ( Théorie quantique des champs  · Information quantique  · Calcul quantique ) Electromagnétisme  · Interaction faible  · Interaction électrofaible Interaction forte Atomique  · Particule  · Nucléaire Atomique, moléculaire et optique Matière condensée  · Statistique Systèmes complexes  · Dynamique non-linéaire  · Biophysique Neurophysique Physique des  plasmas Relativité restreinte · Relativité générale Astrophysique  · Cosmologie Théories de la gravitation Gravité quantique  · Théorie du tout
Scientifiques Witten  · Röntgen  · Becquerel  · Lorentz  · Planck  · Curie  · Wien  · Skłodowska-Curie  · Sommerfeld  · Rutherford  · Soddy  · Onnes  · Einstein  · Wilczek  · Born  · Weyl  · Bohr  · Kramers  · Schrödinger  · de Broglie  · Laue  · Bose  · Compton  · Pauli  · Walton  · Fermi  · van der Waals  · Heisenberg  · Dyson  · Zeeman  · Moseley  · Hilbert  · Gödel  · Jordan  · Dirac  · Wigner  · Hawking  · PW Anderson  · Lemaître  · Thomson  · Poincaré  · Wheeler  · Penrose  · Millikan  · Nambu  · von Neumann  · Higgs  · Hahn  · Feynman  · Yang  · Lee  · Lenard  · Salam  · 't Hooft  · Veltman  · Bell  · Gell-Mann  · JJ Thomson  · Raman  · Bragg  · Bardeen  · Shockley  · Chadwick  · Lawrence  · Zeilinger  · Goudsmit  · Uhlenbeck
Catégories Physique moderne
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L'équation de Schrödinger inscrite sur la pierre tombale d'Annemarie et Erwin Schrödinger. ( La notation par points de Newton pour la dérivée temporelle est utilisée.)

L' équation de Schrödinger est linéaire équation différentielle partielle qui gouverne la fonction d'onde d'un système mécanique quantique. C'est un résultat clé de la mécanique quantique , et sa découverte a été un jalon important dans le développement du sujet. L'équation porte le nom d' Erwin Schrödinger , qui a postulé l'équation en 1925 et l'a publiée en 1926, formant la base des travaux qui ont abouti à son prix Nobel de physique en 1933.

Conceptuellement, l'équation de Schrödinger est la contrepartie quantique de la deuxième loi de Newton en mécanique classique . Étant donné un ensemble de conditions initiales connues, la deuxième loi de Newton fait une prédiction mathématique quant au chemin qu'un système physique donné prendra au fil du temps. L'équation de Schrödinger donne l'évolution dans le temps d'une fonction d'onde , la caractérisation en mécanique quantique d'un système physique isolé. L'équation peut être dérivée du fait que l'opérateur d'évolution temporelle doit être unitaire , et doit donc être généré par l'exponentielle d'un opérateur auto-adjoint , qui est l' hamiltonien quantique .

L'équation de Schrödinger n'est pas la seule façon d'étudier les systèmes de mécanique quantique et de faire des prédictions. Les autres formulations de la mécanique quantique incluent la mécanique matricielle , introduite par Werner Heisenberg , et la formulation intégrale de chemin , développée principalement par Richard Feynman . Paul Dirac a incorporé la mécanique matricielle et l'équation de Schrödinger en une seule formulation. Lorsque ces approches sont comparées, l'utilisation de l'équation de Schrödinger est parfois appelée « mécanique ondulatoire ».

Définition

Préliminaires

Tracé complexe d'une fonction d'onde qui satisfait l'équation de Schrödinger non relativiste avec V = 0 . En d'autres termes, cela correspond à une particule voyageant librement dans l'espace vide.

Les cours d'introduction à la physique ou à la chimie introduisent généralement l'équation de Schrödinger d'une manière qui peut être appréciée en ne connaissant que les concepts et les notations du calcul de base , en particulier les dérivées par rapport à l'espace et au temps. Un cas particulier de l'équation de Schrödinger qui admet un énoncé en ces termes est l'équation de Schrödinger dans l'espace de position pour une seule particule non relativiste à une dimension :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac { \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t)\,.}$

Voici une fonction d'onde, une fonction qui attribue un nombre complexe à chaque point à chaque instant . Le paramètre est la masse de la particule, et est le potentiel qui représente l'environnement dans lequel la particule existe. La constante est l' unité imaginaire , et est la constante de Planck réduite , qui a des unités d' action (énergie multipliée par le temps). ${\style d'affichage \Psi (x,t)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage V(x,t)}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage \hbar }$

Au-delà de ce simple cas, la formulation mathématiquement rigoureuse de la mécanique quantique développée par Paul Dirac , David Hilbert , John von Neumann et Hermann Weyl définit l'état d'un système de mécanique quantique comme un vecteur appartenant à un espace de Hilbert ( séparable ) . Ce vecteur est postulé pour être normalisé sous le produit scalaire de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire qu'en notation de Dirac il obéit à . La nature exacte de cet espace de Hilbert dépend du système - par exemple, pour décrire la position et la quantité de mouvement, l'espace de Hilbert est l'espace des fonctions carrées intégrables complexes , tandis que l'espace de Hilbert pour le spin d'un seul proton est simplement l'espace de vecteurs complexes à deux dimensions avec le produit scalaire habituel. ${\style d'affichage |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Les grandeurs physiques d'intérêt — position, quantité de mouvement, énergie, spin — sont représentées par des « observables », qui sont des opérateurs linéaires hermitiens (plus précisément auto-adjoints ) agissant sur l'espace de Hilbert. Une fonction d'onde peut être un vecteur propre d'une observable, auquel cas elle est appelée état propre , et la valeur propre associée correspond à la valeur de l'observable dans cet état propre. Plus généralement, un état quantique sera une combinaison linéaire des états propres, appelée superposition quantique . Lorsqu'une observable est mesurée, le résultat sera une de ses valeurs propres avec une probabilité donnée par la règle de Born : dans le cas le plus simple la valeur propre est non dégénérée et la probabilité est donnée par , où est son vecteur propre associé. Plus généralement, la valeur propre est dégénérée et la probabilité est donnée par , où est le projecteur sur son espace propre associé. ${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$${\style d'affichage |\lambda \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$${\displaystyle P_{\lambda }}$

Un état propre de quantité de mouvement serait une onde parfaitement monochromatique d'étendue infinie, qui n'est pas carrément intégrable. De même, un état propre de position serait une distribution delta de Dirac , non carrément intégrable et techniquement pas une fonction du tout. Par conséquent, ni l'un ni l'autre ne peut appartenir à l'espace de Hilbert de la particule. Les physiciens introduisent parfois des « bases » fictives pour un espace de Hilbert comprenant des éléments extérieurs à cet espace. Ceux-ci sont inventés pour la commodité des calculs et ne représentent pas des états physiques.

Équation dépendante du temps

La forme de l'équation de Schrödinger dépend de la situation physique. La forme la plus générale est l'équation de Schrödinger dépendante du temps, qui donne une description d'un système évoluant avec le temps :

où (la lettre grecque psi ) est le vecteur d'état du système quantique, est le temps, et est une observable, l' opérateur hamiltonien . ${\style d'affichage \Psi }$${\style d'affichage t}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

Chacune de ces trois lignes est une fonction d'onde qui satisfait l'équation de Schrödinger dépendante du temps pour un oscillateur harmonique . Gauche : La partie réelle (bleu) et la partie imaginaire (rouge) de la fonction d'onde. À droite : la distribution de probabilité de trouver la particule avec cette fonction d'onde à une position donnée. Les deux premières rangées sont des exemples d' états stationnaires , qui correspondent à des ondes stationnaires . La rangée du bas est un exemple d'état qui n'est pas un état stationnaire. La colonne de droite illustre pourquoi les états stationnaires sont appelés « stationnaires ».

Le terme « équation de Schrödinger » peut se référer à la fois à l'équation générale ou à la version spécifique non relativiste. L'équation générale est en effet assez générale, utilisée dans toute la mécanique quantique, pour tout, de l' équation de Dirac à la théorie quantique des champs , en branchant diverses expressions pour l'hamiltonien. La version non relativiste spécifique est une approximation qui donne des résultats précis dans de nombreuses situations, mais seulement dans une certaine mesure (voir mécanique quantique relativiste et théorie quantique des champs relativiste ).

Pour appliquer l'équation de Schrödinger, notez l' hamiltonien du système, en tenant compte des énergies cinétique et potentielle des particules constituant le système, puis insérez-le dans l'équation de Schrödinger. L' équation différentielle partielle résultante est résolue pour la fonction d'onde, qui contient des informations sur le système. En pratique, le carré de la valeur absolue de la fonction d'onde en chaque point est pris pour définir une fonction de densité de probabilité . Par exemple, étant donné une fonction d'onde dans l'espace de position comme ci-dessus, nous avons ${\style d'affichage \Psi (x,t)}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} (x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$

Équation indépendante du temps

L'équation de Schrödinger dépendante du temps décrite ci-dessus prédit que les fonctions d'onde peuvent former des ondes stationnaires , appelées états stationnaires . Ces états sont particulièrement importants car leur étude individuelle simplifie plus tard la tâche de résoudre l'équation de Schrödinger dépendante du temps pour n'importe quel état. Les états stationnaires peuvent également être décrits par une forme plus simple de l'équation de Schrödinger, l'équation de Schrödinger indépendante du temps.

où est l'énergie du système. Ceci n'est utilisé que lorsque l' hamiltonien lui-même ne dépend pas explicitement du temps. Cependant, même dans ce cas, la fonction d'onde totale a toujours une dépendance temporelle. Dans le langage de l'algèbre linéaire , cette équation est une équation aux valeurs propres . Par conséquent, la fonction d'onde est une fonction propre de l'opérateur hamiltonien avec la ou les valeurs propres correspondantes . ${\style d'affichage E}$${\style d'affichage E}$

Propriétés

Linéarité

L'équation de Schrödinger est une équation différentielle linéaire , ce qui signifie que si deux fonctions d'onde ψ ₁ et ψ ₂ sont des solutions, alors toute combinaison linéaire des deux l'est également :

${\displaystyle \displaystyle \psi =a\psi _{1}+b\psi _{2}}$

où a et b sont des nombres complexes. De plus, la somme peut être étendue pour n'importe quel nombre de fonctions d'onde. Cette propriété permet aux superpositions d'états quantiques d'être des solutions de l'équation de Schrödinger. Plus généralement encore, il soutient qu'une solution générale à l'équation de Schrödinger peut être trouvée en prenant une somme pondérée sur une base d'états. Un choix souvent utilisé est la base des états propres d'énergie, qui sont des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Par exemple, considérons une fonction d'onde Ψ( x , t ) telle que la fonction d'onde est un produit de deux fonctions : une indépendante du temps et une dépendante du temps. Si les états d'énergie définie trouvés en utilisant l'équation de Schrödinger indépendante du temps sont donnés par ψ _E ( x ) avec une amplitude A _n et le facteur de phase dépendant du temps est donné par

${\displaystyle e^{{-iE_{n}t}/\hbar },}$

alors une solution générale valide est

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n}A_{n}\psi _{E_{n}}(x)e^{{-iE_{n}t}/\hbar }.}$

Unitarité

En maintenant la constante hamiltonienne , l'équation de Schrödinger a la solution ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle \,.}$

L'opérateur est connu sous le nom d'opérateur d'évolution temporelle, et il est unitaire : il préserve le produit scalaire entre vecteurs dans l'espace de Hilbert. L'unitarité est une caractéristique générale de l'évolution du temps sous l'équation de Schrödinger. Si l'état initial est , alors l'état ultérieur sera donné par ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$${\style d'affichage |\Psi (0)\rangle }$${\style d'affichage t}$

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}|\Psi (0)\rangle }$

pour un opérateur unitaire . Inversement, supposons qu'il s'agisse d' une famille continue d'opérateurs unitaires paramétrée par . Sans perte de généralité , la paramétrisation peut être choisie pour que soit l'opérateur identité et cela pour tout . Ensuite , dépend de façon exponentielle sur le paramètre , ce qui implique ${\displaystyle {\hat {U}}}$${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$${\style d'affichage N>0}$${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$${\style d'affichage t}$

${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$

pour un opérateur auto-adjoint , appelé générateur de la famille . Un hamiltonien est justement un tel générateur (jusqu'au facteur de la constante de Planck qui serait fixé à 1 en unités naturelles ). ${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

Changements de base

L'équation de Schrödinger est souvent présentée en utilisant des quantités variant en fonction de la position, mais en tant qu'équation d'opérateur vectoriel, elle a une représentation valide dans n'importe quelle base complète arbitraire de kets dans l'espace de Hilbert . Comme mentionné ci-dessus, les "bases" situées en dehors de l'espace physique de Hilbert sont également utilisées à des fins de calcul. Ceci est illustré par les équations de Schrödinger espace-position et espace - impulsion pour une particule non relativiste et sans spin. L'espace de Hilbert pour une telle particule est l'espace des fonctions carrées complexes intégrables sur l'espace euclidien tridimensionnel, et son hamiltonien est la somme d'un terme d'énergie cinétique quadratique dans l'opérateur de quantité de mouvement et d'un terme d'énergie potentielle :

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+ {\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle \,.}$

En écrivant pour un vecteur de position en trois dimensions et pour un vecteur de quantité de mouvement en trois dimensions, l'équation de Schrödinger dans l'espace de position est ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^ {2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$

La contrepartie impulsion-espace implique les transformées de Fourier de la fonction d'onde et le potentiel :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2} }{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} ' \,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t)\,.}$

Les fonctions et sont dérivées de par ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$${\style d'affichage |\Psi (t)\rangle }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle \,,}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle \,,}$

où et n'appartiennent pas à l'espace de Hilbert lui-même, mais ont des produits internes bien définis avec tous les éléments de cet espace. ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

Lorsqu'elle est restreinte de trois dimensions à une, l'équation position-espace n'est que la première forme de l'équation de Schrödinger donnée ci-dessus . La relation entre la position et la quantité de mouvement en mécanique quantique peut être appréciée dans une seule dimension. En quantification canonique , les variables classiques et sont promues en opérateurs auto-adjoints et qui satisfont à la relation de commutation canonique${\style d'affichage x}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar \,.}$

Cela implique que

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x)\,,}$

donc l'action de l'opérateur de quantité de mouvement dans la représentation de l'espace de position est . Ainsi, devient une dérivée seconde , et en trois dimensions, la dérivée seconde devient la laplacienne . ${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

La relation de commutation canonique implique également que les opérateurs de position et de quantité de mouvement sont des conjugués de Fourier l'un de l'autre. Par conséquent, les fonctions définies à l'origine en termes de dépendance de position peuvent être converties en fonctions de quantité de mouvement en utilisant la transformée de Fourier. En physique du solide , l'équation de Schrödinger est souvent écrite pour des fonctions de quantité de mouvement, car le théorème de Bloch assure les couples potentiels périodiques du réseau cristallin avec pour seuls les vecteurs de réseau réciproques discrets . Cela facilite la résolution de l'équation de Schrödinger impulsion-espace en chaque point de la zone de Brillouin indépendamment des autres points de la zone de Brillouin. ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$${\style d'affichage K}$

Courant de probabilité

L'équation de Schrödinger est cohérente avec la conservation des probabilités locales . En multipliant l'équation de Schrödinger à droite par la fonction d'onde conjuguée complexe, et en multipliant la fonction d'onde à gauche du conjugué complexe de l'équation de Schrödinger, et en soustrayant, on obtient l' équation de continuité pour la probabilité :

${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$

où

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!}$

est la densité de probabilité (probabilité par unité de volume, * désigne un conjugué complexe ), et

${\displaystyle \mathbf {j} ={1 \over 2m}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} } }\Psi ^{*}\right)\,\!}$

est le courant de probabilité (débit par unité de surface).

Séparation des variables

Si l'hamiltonien n'est pas une fonction explicite du temps, l'équation est séparable en un produit de parties spatiales et temporelles. En général, la fonction d'onde prend la forme :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t)\,.}$

où est fonction de toutes les coordonnées spatiales de la ou des particules constituant le système uniquement, et est fonction du temps uniquement. La substitution de cette expression dans l'équation de Schrödinger et la résolution par séparation de variables implique que la solution générale de l'équation dépendante du temps a la forme ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\style d'affichage \tau (t)}$${\style d'affichage \Psi }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}\,.}$

Étant donné que le facteur de phase dépendant du temps est toujours le même, seule la partie spatiale doit être résolue pour les problèmes indépendants du temps. De plus, l'opérateur énergétique Ĥ = iħ ??/∂ tpeut toujours être remplacé par la valeur propre d'énergie E , et donc l'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation aux valeurs propres pour l'opérateur hamiltonien :

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Ceci est vrai pour n'importe quel nombre de particules dans n'importe quel nombre de dimensions (dans un potentiel indépendant du temps). Ce cas décrit les solutions d' ondes stationnaires de l'équation dépendante du temps, qui sont les états avec une énergie définie (au lieu d'une distribution de probabilité de différentes énergies). En physique, ces ondes stationnaires sont appelées « états stationnaires » ou « états propres d'énergie » ; en chimie on les appelle " orbitales atomiques " ou " orbitales moléculaires ". Les superpositions d'états propres d'énergie changent leurs propriétés en fonction des phases relatives entre les niveaux d'énergie. Les états propres de l'énergie forment une base : toute fonction d'onde peut s'écrire comme une somme sur les états énergétiques discrets ou une intégrale sur des états énergétiques continus, ou plus généralement comme une intégrale sur une mesure. C'est le théorème spectral en mathématiques, et dans un espace d'état fini c'est juste une déclaration de la complétude des vecteurs propres d'une matrice hermitienne .

La séparation des variables peut également être une méthode utile pour l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Par exemple, selon la symétrie du problème, les axes cartésiens peuvent être séparés,

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z)\,,}$

ou les coordonnées radiales et angulaires peuvent être séparées :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi )\,.}$

Exemples

Particule dans une boîte

Boîte d'énergie potentielle à 1 dimension (ou puits de potentiel infini)

La particule dans une boîte d'énergie potentielle unidimensionnelle est l'exemple le plus simple mathématiquement où les contraintes conduisent à la quantification des niveaux d'énergie. La boîte est définie comme ayant une énergie potentielle nulle à l' intérieur d' une certaine région et une énergie potentielle infinie à l' extérieur . Pour le cas unidimensionnel dans la direction, l'équation de Schrödinger indépendante du temps peut être écrite ${\style d'affichage x}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$

Avec l'opérateur différentiel défini par

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$

l'équation précédente évoque l' analogue classique de l'énergie cinétique ,

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$

avec un état dans ce cas ayant une énergie coïncidant avec l'énergie cinétique de la particule. ${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage E}$

Les solutions générales de l'équation de Schrödinger pour la particule dans une boîte sont

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

ou, d'après la formule d' Euler ,

${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$

Les parois potentielles infinies de la boîte déterminent les valeurs de et à et où doit être zéro. Ainsi, à , ${\style d'affichage C,D,}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage x=0}$${\style d'affichage x=L}$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage x=0}$

${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$

et . À , ${\style d'affichage D=0}$${\style d'affichage x=L}$

${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$

dans laquelle ne peut pas être nul car cela serait en conflit avec le postulat de norme 1. Par conséquent, puisque , doit être un multiple entier de , ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage \sin(kL)=0}$${\style d'affichage kL}$${\style d'affichage \pi }$

${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$

Cette contrainte sur implique une contrainte sur les niveaux d'énergie, ce qui donne ${\style d'affichage k}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^ {2}}{8mL^{2}}}.}$

Un puits à potentiel fini est la généralisation du problème des puits à potentiel infini aux puits de potentiel ayant une profondeur finie. Le problème des puits à potentiel fini est mathématiquement plus compliqué que le problème des particules infinies dans une boîte car la fonction d'onde n'est pas fixée à zéro au niveau des parois du puits. Au lieu de cela, la fonction d'onde doit satisfaire des conditions aux limites mathématiques plus compliquées car elle est non nulle dans les régions à l'extérieur du puits. Un autre problème connexe est celui de la barrière de potentiel rectangulaire , qui fournit un modèle pour l' effet tunnel quantique qui joue un rôle important dans les performances des technologies modernes telles que la mémoire flash et la microscopie à effet tunnel .

Oscillateur harmonique

Un oscillateur harmonique en mécanique classique (A–B) et en mécanique quantique (C–H). Dans (A–B), une boule, attachée à un ressort , oscille d'avant en arrière. (C–H) sont six solutions de l'équation de Schrödinger pour cette situation. L'axe horizontal est la position, l'axe vertical est la partie réelle (bleu) ou imaginaire (rouge) de la fonction d'onde . Les états stationnaires , ou états propres d'énergie, qui sont des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, sont indiqués dans C, D, E, F, mais pas G ou H.

L'équation de Schrödinger pour cette situation est

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1} {2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$

où est le déplacement et la fréquence angulaire. Ceci est un exemple d'un système de mécanique quantique dont la fonction d'onde peut être résolue exactement. En outre, il peut être utilisé pour décrire approximativement une grande variété d'autres systèmes, y compris des atomes vibrants, des molécules et des atomes ou des ions dans des réseaux, et se rapprochant d'autres potentiels près des points d'équilibre. C'est aussi la base des méthodes de perturbation en mécanique quantique. ${\style d'affichage x}$${\displaystyle \omega }$

Les solutions dans l'espace des positions sont

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\ pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot {\mathcal {H}}_ {n}\gauche({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\droite),}$

où , et les fonctions sont les polynômes d' ordre d' Hermite . L'ensemble de solutions peut être généré par ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\ omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$

Les valeurs propres sont

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$

Le cas est appelé état fondamental , son énergie est appelée énergie du point zéro et la fonction d'onde est une gaussienne . ${\style d'affichage n=0}$

L'oscillateur harmonique, comme la particule dans une boîte, illustre la caractéristique générique de l'équation de Schrödinger selon laquelle les énergies des états propres liés sont discrétisées.

Atome d'hydrogène

L'équation de Schrödinger pour l' atome d'hydrogène (ou un atome semblable à l'hydrogène) est

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$

où est la charge électronique, est la position de l'électron par rapport au noyau, est l'amplitude de la position relative, le terme potentiel est dû à l' interaction de Coulomb , où est la permittivité de l'espace libre et ${\style d'affichage q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$

est la masse réduite à 2 corps du noyau d' hydrogène (juste un proton ) de masse et de l'électron de masse . Le signe négatif apparaît dans le terme potentiel puisque le proton et l'électron sont chargés de manière opposée. La masse réduite à la place de la masse de l'électron est utilisée car l'électron et le proton orbitent ensemble autour d'un centre de masse commun et constituent un problème à deux corps à résoudre. Le mouvement de l'électron est d'intérêt principal ici, donc le problème équivalent à un corps est le mouvement de l'électron utilisant la masse réduite. ${\style d'affichage m_{p}}$${\style d'affichage m_{q}}$

L'équation de Schrödinger pour un atome d'hydrogène peut être résolue par séparation de variables. Dans ce cas, les coordonnées polaires sphériques sont les plus pratiques. Ainsi,

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\ varphi ),}$

où R sont des fonctions radiales et sont des harmoniques sphériques de degré et d'ordre . C'est le seul atome pour lequel l'équation de Schrödinger a été résolue exactement. Les atomes multi-électrons nécessitent des méthodes approximatives. La famille de solutions est : ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$${\style d'affichage \ell }$${\style d'affichage m}$

${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{ \frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{ 0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

où:

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$est le rayon de Bohr ,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$sont les polynômes de Laguerre généralisés de degré .${\style d'affichage n-\ell -1}$
• ${\style d'affichage n,\ell ,m}$sont respectivement les nombres quantiques principaux , azimutaux et magnétiques , qui prennent les valeurs :

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3,\dots \\\ell &=0,1,2,\dots ,n-1\\m&=-\ell ,\dots ,\ell \\\end{aligné}}}$

Solutions approximatives

Il n'est généralement pas possible de résoudre l'équation de Schrödinger exactement pour des situations d'intérêt physique. En conséquence, des solutions approximatives sont obtenues à l'aide de techniques telles que les méthodes variationnelles et l' approximation WKB . Il est également courant de traiter un problème d'intérêt comme une petite modification d'un problème qui peut être résolu exactement, une méthode connue sous le nom de théorie des perturbations .

Limite semi-classique

Une façon simple de comparer classique à la mécanique quantique est de considérer l'évolution temporelle de la attendue position et attendue dynamique, qui peut ensuite être comparée à l'évolution temporelle de la position ordinaire et dynamique en mécanique classique. Les valeurs d'espérance quantique satisfont le théorème d'Ehrenfest . Pour une particule quantique unidimensionnelle se déplaçant dans un potentiel , le théorème d'Ehrenfest dit ${\style d'affichage V}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V '(X)\droit\rangle \,.}$

Bien que la première de ces équations soit cohérente avec le comportement classique, la seconde ne l'est pas : si la paire devait satisfaire la seconde loi de Newton, le membre de droite de la seconde équation devrait être ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$

${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)\,}$

ce qui n'est généralement pas la même chose que . Dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, cependant, il est linéaire et cette distinction disparaît, de sorte que dans ce cas très particulier, la position et la quantité de mouvement attendues suivent exactement les trajectoires classiques. ${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$${\style d'affichage V'}$

Pour les systèmes généraux, le mieux que l'on puisse espérer est que la position et l'élan attendus suivront approximativement les trajectoires classiques. Si la fonction d'onde est fortement concentrée autour d'un point , alors et sera presque la même, puisque les deux seront approximativement égaux à . Dans ce cas, la position et la quantité de mouvement attendues resteront très proches des trajectoires classiques, du moins tant que la fonction d'onde restera très localisée en position. ${\style d'affichage x_{0}}$${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$${\style d'affichage V'(x_{0})}$

L'équation de Schrödinger dans sa forme générale

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf { r} ,t\droit)}$

est étroitement liée à l' équation de Hamilton-Jacobi (HJE)

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\gauche(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i }}},t\droit)}$

où est l' action classique et est la fonction hamiltonienne (pas l'opérateur). Ici, les coordonnées généralisées pour (utilisées dans le contexte du HJE) peuvent être définies sur la position en coordonnées cartésiennes comme . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage H}$ ${\displaystyle q_{i}}$${\style d'affichage i=1,2,3}$${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Substitution

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$

où est la densité de probabilité, dans l'équation de Schrödinger, puis en prenant la limite dans l'équation résultante, on obtient l'équation de Hamilton-Jacobi . ${\style d'affichage \rho }$${\displaystyle \hbar \longrightarrow 0}$

Matrices de densité

Les fonctions d'onde ne sont pas toujours le moyen le plus pratique de décrire les systèmes quantiques et leur comportement. Lorsque la préparation d'un système n'est qu'imparfaitement connue, ou lorsque le système à l'étude fait partie d'un ensemble plus vaste, des matrices de densité peuvent être utilisées à la place. Une matrice de densité est un opérateur semi-défini positif dont la trace est égale à 1. (Le terme « opérateur de densité » est également utilisé, en particulier lorsque l'espace de Hilbert sous-jacent est de dimension infinie.) L'ensemble de toutes les matrices de densité est convexe , et les points extrêmes sont les opérateurs qui se projettent sur des vecteurs dans l'espace de Hilbert. Ce sont les représentations en matrice de densité des fonctions d'onde ; en notation de Dirac, ils s'écrivent

${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |\,.}$

L'analogue de la matrice de densité de l'équation de Schrödinger pour les fonctions d'onde est

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]\,,}$

où les parenthèses désignent un commutateur . Ceci est connu sous le nom d'équation de von Neumann, l'équation de Liouville-von Neumann ou simplement l'équation de Schrödinger pour les matrices de densité. Si l'hamiltonien est indépendant du temps, cette équation peut être facilement résolue pour donner

${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }\,.}$

Plus généralement, si l'opérateur unitaire décrit l'évolution de la fonction d'onde sur un intervalle de temps, alors l'évolution temporelle d'une matrice de densité sur ce même intervalle est donnée par ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }\,.}$

L'évolution unitaire d'une matrice densité conserve son entropie de von Neumann .

Physique quantique relativiste et théorie quantique des champs

La théorie quantique des champs (QFT) est un cadre qui permet de combiner la mécanique quantique avec la relativité restreinte . La forme générale de l'équation de Schrödinger est également valable dans QFT, à la fois dans des situations relativistes et non relativistes.

Équations de Klein-Gordon et Dirac

La mécanique quantique relativiste est obtenue où la mécanique quantique et la relativité restreinte s'appliquent simultanément. En général, on souhaite construire des équations d'onde relativistes à partir de la relation relativiste énergie-impulsion

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,,}$

au lieu des équations énergétiques classiques. L' équation de Klein-Gordon et l' équation de Dirac sont deux de ces équations. L'équation de Klein-Gordon,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi + {\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0\,,}$

a été la première équation de ce type à être obtenue, avant même celle non relativiste, et s'applique aux particules massives sans spin. L'équation de Dirac est née de la prise de la "racine carrée" de l'équation de Klein-Gordon en factorisant l'ensemble de l'opérateur d'onde relativiste en un produit de deux opérateurs - l'un d'eux est l'opérateur de l'ensemble de l'équation de Dirac. Toute l'équation de Dirac :

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right) \psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

La forme générale de l'équation de Schrödinger reste vraie en relativité, mais l'hamiltonien est moins évident. Par exemple, l'hamiltonien de Dirac pour une particule de masse m et la charge électrique q dans un champ électromagnétique (décrit par les potentiels électromagnétiques φ et A ) est:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p } }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right]\,,}$

dans laquelle γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ ) et γ ⁰ sont les matrices gamma de Dirac liées au spin de la particule. L'équation de Dirac est vraie pour toutes les particules de spin 1 ⁄ 2 , et les solutions de l'équation sont des champs de spineurs à 4 composantes avec deux composantes correspondant à la particule et les deux autres à l' antiparticule .

Pour l'équation de Klein-Gordon, la forme générale de l'équation de Schrödinger est peu pratique à utiliser et, en pratique, l'hamiltonien n'est pas exprimé de manière analogue à l'hamiltonien de Dirac. Les équations pour les champs quantiques relativistes peuvent être obtenues par d'autres moyens, comme en partant d'une densité lagrangienne et en utilisant les équations d'Euler-Lagrange pour les champs, ou en utilisant la théorie des représentations du groupe de Lorentz dans laquelle certaines représentations peuvent être utilisées pour fixer l'équation pour une particule libre de spin (et de masse) donnés.

En général, l'hamiltonien à substituer dans l'équation générale de Schrödinger n'est pas seulement fonction des opérateurs de position et de quantité de mouvement (et éventuellement du temps), mais aussi des matrices de spin. De plus, les solutions d'une équation d'onde relativiste, pour une particule massive de spin s , sont des champs spineurs à 2(2 s + 1) -composants à valeurs complexes .

Fock espace

Telle que formulée à l'origine, l'équation de Dirac est une équation pour une seule particule quantique, tout comme l'équation de Schrödinger à une seule particule avec fonction d'onde . Ceci est d'une utilité limitée en mécanique quantique relativiste, où le nombre de particules n'est pas fixe. Heuristiquement, cette complication peut être motivée en notant que l'équivalence masse-énergie implique que des particules matérielles peuvent être créées à partir d'énergie. Une façon courante de résoudre ce problème dans QFT est d'introduire un espace de Hilbert où les états de base sont étiquetés par numéro de particule, un espace dit de Fock . L'équation de Schrödinger peut alors être formulée pour des états quantiques sur cet espace de Hilbert. ${\style d'affichage \Psi (x,t)}$

Histoire

Erwin Schrödinger

Suite à la quantification de la lumière de Max Planck (voir rayonnement du corps noir ), Albert Einstein a interprété les quanta de Planck comme étant des photons , des particules de lumière , et a proposé que l' énergie d'un photon soit proportionnelle à sa fréquence , l'un des premiers signes d' onde. –dualité particulaire . Puisque l'énergie et la quantité de mouvement sont liées de la même manière que la fréquence et le nombre d'onde en relativité restreinte , il s'ensuit que la quantité de mouvement d'un photon est inversement proportionnelle à sa longueur d'onde , ou proportionnelle à son nombre d'onde : ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage k}$

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$

où est la constante de Planck et est la constante de Planck réduite. Louis de Broglie a émis l'hypothèse que cela est vrai pour toutes les particules, même les particules qui ont une masse comme les électrons. Il a montré que, en supposant que les ondes de matière se propagent avec leurs homologues particulaires, les électrons forment des ondes stationnaires , ce qui signifie que seules certaines fréquences de rotation discrètes autour du noyau d'un atome sont autorisées. Ces orbites quantifiées correspondent à des niveaux d'énergie discrets , et de Broglie a reproduit la formule du modèle de Bohr pour les niveaux d'énergie. Le modèle de Bohr était basé sur la quantification supposée du moment cinétique selon : ${\style d'affichage h}$${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$${\style d'affichage L}$

${\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar .}$

Selon de Broglie, l'électron est décrit par une onde et un nombre entier de longueurs d'onde doit s'adapter le long de la circonférence de l'orbite de l'électron :

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.\,}$

Cette approche confinait essentiellement l'onde électronique dans une dimension, le long d'une orbite circulaire de rayon . ${\style d'affichage r}$

En 1921, avant de Broglie, Arthur C. Lunn de l'Université de Chicago avait utilisé le même argument basé sur l'achèvement du 4 vecteur relativiste énergie-impulsion pour dériver ce que nous appelons maintenant la relation de Broglie. Contrairement à de Broglie, Lunn a ensuite formulé l'équation différentielle maintenant connue sous le nom d'équation de Schrödinger et a résolu ses valeurs propres d'énergie pour l'atome d'hydrogène. Malheureusement, le document a été rejeté par la Physical Review , comme l'a raconté Kamen.

Faisant suite aux idées de de Broglie, le physicien Peter Debye a fait un commentaire désinvolte selon lequel si les particules se comportaient comme des ondes, elles devraient satisfaire une sorte d'équation d'onde. Inspiré par la remarque de Debye, Schrödinger a décidé de trouver une équation d'onde tridimensionnelle appropriée pour l'électron. Il a été guidé par l' analogie de William Rowan Hamilton entre la mécanique et l'optique, codée dans l'observation que la limite de longueur d'onde zéro de l'optique ressemble à un système mécanique - les trajectoires des rayons lumineux deviennent des pistes nettes qui obéissent au principe de Fermat , un analogue du principe de moindre action .

L'équation qu'il a trouvée est :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\ nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t).}$

Cependant, à ce moment-là, Arnold Sommerfeld avait affiné le modèle de Bohr avec des corrections relativistes . Schrödinger a utilisé la relation relativiste énergie-impulsion pour trouver ce qui est maintenant connu sous le nom d' équation de Klein-Gordon dans un potentiel de Coulomb (en unités naturelles ):

${\displaystyle \left(E+{e^{2} \over r}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (X).}$

Il a trouvé les ondes stationnaires de cette équation relativiste, mais les corrections relativistes étaient en désaccord avec la formule de Sommerfeld. Découragé, il range ses calculs et s'isole avec une maîtresse dans une cabane de montagne en décembre 1925.

Alors qu'il était dans la cabine, Schrödinger a décidé que ses premiers calculs non relativistes étaient suffisamment nouveaux pour être publiés, et a décidé de laisser de côté le problème des corrections relativistes pour l'avenir. Malgré les difficultés à résoudre l'équation différentielle de l'hydrogène (il avait demandé l'aide de son ami le mathématicien Hermann Weyl ), Schrödinger montra que sa version non relativiste de l'équation des ondes produisait les énergies spectrales correctes de l'hydrogène dans un article publié en 1926. Schrödinger calcula le hydrogène série spectral par traitement d' un atome d'hydrogène d » électrons sous forme d'onde , se déplaçant dans un puits de potentiel créé par le proton . Ce calcul a reproduit avec précision les niveaux d'énergie du modèle de Bohr . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\style d'affichage V}$

L'équation de Schrödinger détaille le comportement de mais ne dit rien de sa nature . Schrödinger a essayé d'interpréter la partie réelle de comme une densité de charge, puis a révisé cette proposition, affirmant dans son article suivant que le module au carré de est une densité de charge. Cette approche n'a cependant pas été couronnée de succès. En 1926, quelques jours seulement après la publication de cet article, Max Born interprète avec succès l' amplitude de probabilité , dont le module au carré est égal à la densité de probabilité . Plus tard, Schrödinger lui-même a expliqué cette interprétation comme suit : ${\style d'affichage \Psi }$${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$${\style d'affichage \Psi }$${\style d'affichage \Psi }$

La fonction psi déjà mentionnée... est maintenant le moyen de prédire la probabilité des résultats de mesure. En elle est incarnée la somme momentanément atteinte d'attentes futures théoriquement fondées, un peu comme fixées dans un catalogue.

—  Erwin Schrödinger

Interprétation

L'équation de Schrödinger permet de calculer la fonction d'onde d'un système et son évolution dynamique dans le temps. Cependant, l'équation de Schrödinger ne dit pas directement ce qu'est exactement la fonction d'onde. La signification de l'équation de Schrödinger et la relation entre les entités mathématiques et la réalité physique dépendent de l' interprétation de la mécanique quantique que l'on adopte.

Dans les vues souvent regroupées dans l' interprétation de Copenhague , la fonction d'onde d'un système est une collection d'informations statistiques sur ce système. L'équation de Schrödinger relie des informations sur le système à un moment à des informations sur celui-ci à un autre. Alors que le processus d'évolution du temps représenté par l'équation de Schrödinger est continu et déterministe, dans la mesure où la connaissance de la fonction d'onde à un instant donné est en principe suffisante pour la calculer pour tous les temps futurs, les fonctions d'onde peuvent également changer de manière discontinue et stochastique au cours d'une mesure . La fonction d'onde change, selon cette école de pensée, parce que de nouvelles informations sont disponibles. La fonction d'onde post-mesure ne peut généralement pas être connue avant la mesure, mais les probabilités des différentes possibilités peuvent être calculées à l'aide de la règle de Born . D'autres interprétations plus récentes de la mécanique quantique, telles que la mécanique quantique relationnelle et le QBisme , confèrent également à l'équation de Schrödinger un statut de ce genre.

Schrödinger lui-même a suggéré en 1952 que les différents termes d'une superposition évoluant sous l'équation de Schrödinger ne sont « pas des alternatives mais tous se produisent vraiment simultanément ». Cela a été interprété comme une première version de l' interprétation des mondes multiples d'Everett . Cette interprétation, formulée indépendamment en 1956, soutient que toutes les possibilités décrites par la théorie quantique se produisent simultanément dans un multivers composé d'univers parallèles pour la plupart indépendants. Cette interprétation supprime l'axiome de l'effondrement de la fonction d'onde, ne laissant qu'une évolution continue sous l'équation de Schrödinger, et ainsi tous les états possibles du système mesuré et de l'appareil de mesure, ainsi que l'observateur, sont présents dans une véritable superposition quantique physique . Alors que le multivers est déterministe, nous percevons un comportement non déterministe régi par des probabilités, car nous n'observons pas le multivers dans son ensemble, mais un seul univers parallèle à la fois. La manière exacte dont cela est censé fonctionner a fait l'objet de nombreux débats. Pourquoi devrions-nous attribuer des probabilités à des résultats qui sont certains de se produire dans certains mondes, et pourquoi les probabilités devraient-elles être données par la règle de Born ? Plusieurs façons de répondre à ces questions dans le cadre des mondes multiples ont été proposées, mais il n'y a pas de consensus sur leur réussite.

La mécanique bohème reformule la mécanique quantique pour la rendre déterministe, au prix de la rendre explicitement non locale (prix exigé par le théorème de Bell ). Il attribue à chaque système physique non seulement une fonction d'onde mais en plus une position réelle qui évolue de manière déterministe sous une équation guidante non locale. L'évolution d'un système physique est donnée à tout moment par l'équation de Schrödinger avec l'équation directrice.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes

• "Equation de Schrödinger" . Encyclopédie des mathématiques . EMS Appuyez sur . 2001 [1994].
• Quantum Cook Book et PHYS 201: Fundamentals of Physics II par Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
• La révolution moderne en physique - un manuel en ligne.
• Physique quantique I au MIT OpenCourseWare