Fonction Sinc - Sinc function

En mathématiques , en physique et en ingénierie , la fonction sinc , notée sinc( x ) , a deux formes, normalisée et non normalisée.

La fonction sinc normalisé (bleu) et la fonction sinc non normalisée (rouge) affichées sur la même échelle

En mathématiques, la fonction sinus non normalisée historique est définie pour x ≠ 0 par

${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$

Alternativement, la fonction sinc non normalisée est souvent appelée fonction d'échantillonnage , indiquée par Sa( x ).

Dans le traitement du signal numérique et la théorie de l' information , la fonction sinc normalisée est communément définie pour x 0 par

${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$

Dans les deux cas, la valeur à x = 0 est définie comme étant la valeur limite

${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$pour tout réel a 0 .

La normalisation provoque l' intégrale définie de la fonction sur les nombres réels à être égal à 1 (alors que la même intégrale de la fonction sinc non normalisée a une valeur de π ). Comme autre propriété utile, les zéros de la fonction sinc normalisée sont les valeurs entières non nulles de x .

La fonction sinus normalisée est la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire sans mise à l'échelle. Il est utilisé dans le concept de reconstruction d' un signal continu à bande limitée à partir d' échantillons uniformément espacés de ce signal.

La seule différence entre les deux définitions est la mise à l' échelle de la variable indépendante (le x de l' axe ) d'un facteur π . Dans les deux cas, la valeur de la fonction à la singularité amovible à zéro s'entend comme la valeur limite 1. La fonction sinc est alors analytique partout et donc une fonction entière .

Le terme sinc / s ɪ ŋ k / a été présenté par Philip M. Woodward dans son 1952 article « Théorie de l' information et de la probabilité inverse dans les télécommunications », dans lequel il a dit que la fonction « se produit si souvent dans l' analyse de Fourier et ses applications qu'il semble mériter une notation propre", et son livre de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . La fonction elle-même a d'abord été dérivée mathématiquement sous cette forme par Lord Rayleigh dans son expression ( formule de Rayleigh ) pour la fonction de Bessel sphérique d'ordre zéro du premier type.

Propriétés

Les maxima et minima locaux (petits points blancs) de la fonction sinus rouge non normalisée correspondent à ses intersections avec la fonction cosinus bleu .

La partie réelle du complexe sinc Re(sinc z ) = Re( péché z/z)

La partie imaginaire du complexe sinc Im(sinc z ) = Im(péché z/z)

La valeur absolue | sinc z | = |péché z/z|

Les passages par zéro de la sinc non normalisée sont à des multiples entiers non nuls de π , alors que les passages par zéro de la sinc normalisée se produisent à des entiers non nuls.

Les maxima et minima locaux du sinus non normalisé correspondent à ses intersections avec la fonction cosinus . C'est-à-dire,péché( ξ )/??= cos( ξ ) pour tous les points ξ où la dérivée depéché( x )/Xest nul et donc un extremum local est atteint. Cela découle de la dérivée de la fonction sinc :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$

Les premiers termes de la série infinie pour la coordonnée x du n- ième extremum avec une coordonnée x positive sont

${\displaystyle x_{n}=qq^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{ \frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$

où

${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$

et où n impair conduit à un minimum local, et même n à un maximum local. En raison de la symétrie autour de l' y axe, il existe des extrema avec x coordonnées - x _n . De plus, il existe un maximum absolu à ξ ₀ = (0, 1) .

La fonction sinc normalisée a une représentation simple comme le produit infini :

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}} {n^{2}}}\droit)}$

et est lié à la fonction gamma Γ( x ) par la formule de réflexion d'Euler :

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$

Euler a découvert que

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}} \droit),}$

et en raison de l'identité produit-somme

${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k- 1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right ),\quad \forall k\geq 1,}$

le produit d'Euler peut être refondu comme une somme

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N} \cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$

La transformée de Fourier continue du sinus normalisé (à fréquence ordinaire) est rect ( f ) :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$

où la fonction rectangulaire vaut 1 pour l'argument entre −1/2 et 1/2, et zéro sinon. Cela correspond au fait que le filtre sinc est l'idéal ( -mur de briques , ce qui signifie une réponse en fréquence rectangulaire) filtre passe-bas .

Cette intégrale de Fourier, y compris le cas particulier

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$

est une intégrale impropre (voir intégrale de Dirichlet ) et non une intégrale de Lebesgue convergente , comme

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$

La fonction sinc normalisée a des propriétés qui la rendent idéale par rapport à l' interpolation de fonctions à bande limitée échantillonnées  :

• C'est une fonction d'interpolation, c'est-à-dire sinc(0) = 1 , et sinc( k ) = 0 pour un entier non nul k .
• Les fonctions x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k entier) forment une base orthonormée pour les fonctions à bande limitée dans l' espace des fonctions L ² ( R ) , avec la fréquence angulaire la plus élevée ω _H = π (c'est-à-dire la fréquence de cycle la plus élevée f _H =1/2).

Les autres propriétés des deux fonctions sinc incluent :

• Le sinc non normalisé est la fonction de Bessel sphérique d'ordre zéro du premier type, j ₀ ( x ) . Le sinc normalisé est j ₀ (π x ) .
• où Si( x ) est l' intégrale sinus ,
  $${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$

  
• λ sinc( λx ) (non normalisé) est l'une des deux solutions linéairement indépendantes de l' équation différentielle ordinaire linéaire
  $${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$

  
  L'autre est cos( λx )/X, qui n'est pas borné à x = 0 , contrairement à son homologue de fonction sinc.
• En utilisant sinc normalisé,
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$

  
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac { 3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac { 2\pi }{3}}.}$
• L'intégrale impropre suivante implique la fonction sinc (non normalisée) :
  $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}}) }}.}$$

  

Relation avec la distribution delta de Dirac

La fonction sinc normalisée peut être utilisée comme une fonction delta naissante , ce qui signifie que la limite faible suivante est vérifiée :

${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\ à 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$

Ce n'est pas une limite ordinaire, puisque le côté gauche ne converge pas. Cela signifie plutôt que

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{ a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$

pour chaque fonction de Schwartz , comme le montre le théorème d'inversion de Fourier . Dans l'expression ci-dessus, comme a → 0 , le nombre d'oscillations par unité de longueur de la fonction sinc approche l'infini. Néanmoins, l'expression oscille toujours à l'intérieur d'une enveloppe de ±1/π x, quelle que soit la valeur de a .

Cela complique l'image informelle de δ ( x ) comme étant égal à zéro pour tous x , sauf au point x = 0 , et illustre le problème de la pensée de la fonction delta en fonction plutôt que comme une distribution. Une situation similaire se retrouve dans le phénomène Gibbs .

Addition

Toutes les sommes de cette section se réfèrent à la fonction sinus non normalisée.

La somme des sinc ( n ) au-dessus de nombre entier n de 1 à ∞ égauxπ - 1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3 )+\nom_opérateur {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$

La somme des carrés vaut aussi π - 1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2 }(2)+\nom_opérateur {sinc} ^{2}(3)+\nom_opérateur {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$

Lorsque les signes des additions alternent et commencent par +, la somme est égale à1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc } (2)+\nom_opérateur {sinc} (3)-\nom_opérateur {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$

Les sommes alternées des carrés et des cubes sont également égales 1/2:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2} (1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac { 1}{2}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3} (1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac { 1}{2}}.}$

Extension de série

La série de Taylor de la non normalisée sinc fonction peut être obtenue à partir de celle du sinus:

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n +1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6} }{7!}}+\cdots }$

La série converge pour tout x . La version normalisée suit facilement :

${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$

Euler a comparé cette série à l'expansion de la forme du produit infini pour résoudre le problème de Bâle .

Dimensions supérieures

Le produit des fonctions sinc 1-D fournit facilement une fonction sinc multivariée pour la grille cartésienne carrée ( treillis ) : sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , dont la transformée de Fourier est la fonction indicatrice d'un carré dans l'espace des fréquences (c'est-à-dire le mur de briques défini dans l'espace 2-D). La fonction sinc pour un réseau non cartésien (par exemple, réseau hexagonal ) est une fonction dont la transformée de Fourier est la fonction indicatrice de la zone de Brillouin de ce réseau. Par exemple, la fonction sinc pour le réseau hexagonal est une fonction dont la transformée de Fourier est la fonction indicatrice de l'hexagone unitaire dans l'espace fréquentiel. Pour un réseau non cartésien, cette fonction ne peut pas être obtenue par un simple produit tensoriel. Cependant, la formule explicite pour la fonction sinc de la hexagonale , cubique centré , cubique à faces centrées et d' autres dimensions supérieures treillis peut être explicitement dérivé en utilisant les propriétés géométriques des zones de Brillouin et leur connexion à zonotopes .

Par exemple, un réseau hexagonal peut être généré par l' étendue linéaire (entière) des vecteurs

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix} }\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3} }{2}}\end{bmatrice}}.}$

Désignant

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2} ={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

on peut dériver la fonction sinc pour ce réseau hexagonal comme

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left (\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf { x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\ boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right) \operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi } }_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$

Cette construction peut être utilisée pour concevoir la fenêtre de Lanczos pour les réseaux multidimensionnels généraux.

Voir également

• Filtre anticrénelage
• Filtre Sinc
• Rééchantillonnage de Lanczos
• Formule d'interpolation Whittaker-Shannon
• Ondelette de Shannon
• Projection triple Winkel (cartographie)
• Intégrale trigonométrique
• Fonctions trigonométriques des matrices
• Intégrale de Borwein
• Intégrale de Dirichlet

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Fonction Sinc" . MathWorld .