Perturbation singulière - Singular perturbation

En mathématiques , un problème de perturbation singulière est un problème contenant un petit paramètre qui ne peut pas être approché en définissant la valeur du paramètre à zéro. Plus précisément, la solution ne peut pas être uniformément approchée par un développement asymptotique

${\displaystyle \varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,}$

comme . Voici le petit paramètre du problème et sont une séquence de fonctions d' ordre croissant, telles que . Ceci contraste avec les problèmes de perturbation réguliers , pour lesquels une approximation uniforme de cette forme peut être obtenue. Les problèmes singulièrement perturbés sont généralement caractérisés par des dynamiques opérant à plusieurs échelles. Plusieurs classes de perturbations singulières sont décrites ci-dessous. ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$

Le terme "perturbation singulière" a été inventé dans les années 1940 par Kurt Otto Friedrichs et Wolfgang R. Wasow .

Méthodes d'analyse

Un problème perturbé dont la solution peut être approchée sur l'ensemble du domaine du problème, que ce soit l'espace ou le temps, par un seul développement asymptotique a une perturbation régulière . Le plus souvent dans les applications, une approximation acceptable d'un problème régulièrement perturbé est trouvée en remplaçant simplement le petit paramètre par zéro partout dans l'énoncé du problème. Cela correspond à ne prendre que le premier terme de l'expansion, ce qui donne une approximation qui converge, peut-être lentement, vers la vraie solution au fur et à mesure que diminue. La solution à un problème singulièrement perturbé ne peut pas être approchée de cette manière : Comme on le voit dans les exemples ci-dessous, une perturbation singulière se produit généralement lorsqu'un petit paramètre d'un problème multiplie son opérateur le plus élevé. Ainsi prendre naïvement le paramètre à zéro change la nature même du problème. Dans le cas des équations différentielles, les conditions aux limites ne peuvent pas être satisfaites ; dans les équations algébriques, le nombre de solutions possibles est diminué. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

La théorie des perturbations singulières est un domaine d'exploration riche et continu pour les mathématiciens, les physiciens et d'autres chercheurs. Les méthodes utilisées pour aborder les problèmes dans ce domaine sont nombreuses. Les plus basiques d'entre eux incluent la méthode des développements asymptotiques assortis et l' approximation WKB pour les problèmes spatiaux, et dans le temps, la méthode de Poincaré-Lindstedt , la méthode des échelles multiples et la moyenne périodique . Les méthodes numériques de résolution de problèmes de perturbations singulières sont également très populaires.

Pour les livres sur la perturbation singulière dans les EDO et les EDP, voir par exemple Holmes, Introduction to Perturbation Methods , Hinch, Perturbation methodes ou Bender et Orszag , Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers .

Exemples de problèmes perturbatifs singuliers

Chacun des exemples décrits ci-dessous montre comment une analyse de perturbation naïve, qui suppose que le problème est régulier au lieu d'être singulier, échouera. Certains montrent comment le problème peut être résolu par des méthodes singulières plus sophistiquées.

Coefficients nuls dans les équations différentielles ordinaires

Les équations différentielles qui contiennent un petit paramètre qui prémultiplie le terme d'ordre le plus élevé présentent généralement des couches limites, de sorte que la solution évolue à deux échelles différentes. Par exemple, considérons le problème de la valeur limite

${\displaystyle {\begin{matrice}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\ u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrice}}}$

Sa solution quand est la courbe en trait plein ci-dessous. Notez que la solution change rapidement près de l'origine. Si nous posions naïvement , nous obtiendrions la solution étiquetée "extérieur" ci-dessous qui ne modélise pas la couche limite, pour laquelle x est proche de zéro. Pour plus de détails qui montrent comment obtenir l'approximation uniformément valide, voir la méthode des développements asymptotiques appariés . ${\displaystyle \varepsilon =0.1}$${\displaystyle \varepsilon =0}$

Exemples dans le temps

Un robot manipulateur à commande électrique peut avoir une dynamique mécanique plus lente et une dynamique électrique plus rapide, présentant ainsi deux échelles de temps. Dans de tels cas, nous pouvons diviser le système en deux sous-systèmes, l'un correspondant à une dynamique plus rapide et l'autre correspondant à une dynamique plus lente, puis concevoir des contrôleurs pour chacun d'eux séparément. Grâce à une technique de perturbation singulière, nous pouvons rendre ces deux sous-systèmes indépendants l'un de l'autre, simplifiant ainsi le problème de contrôle.

Considérons une classe de système décrite par l'ensemble d'équations suivant :

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2}, \varepsilon ),\,}$

${\style d'affichage x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,}$

avec . La deuxième équation indique que la dynamique de est beaucoup plus rapide que celle de . Un théorème dû à Tikhonov énonce que, avec les conditions correctes sur le système, il approchera initialement et très rapidement la solution des équations ${\displaystyle 0<\varepsilon <\!\!<1}$${\style d'affichage x_{2}}$${\style d'affichage x_{1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,}$

${\style d'affichage f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,}$

${\style d'affichage x_{1}(0)=a_{1},\,}$

sur un certain intervalle de temps et que, à mesure qu'il diminue vers zéro, le système s'approchera plus étroitement de la solution dans ce même intervalle. ${\displaystyle \varepsilon }$

Exemples dans l'espace

En mécanique des fluides , les propriétés d'un fluide légèrement visqueux sont radicalement différentes à l'extérieur et à l'intérieur d'une couche limite étroite . Ainsi, le fluide présente de multiples échelles spatiales.

Les systèmes de réaction-diffusion dans lesquels un réactif diffuse beaucoup plus lentement qu'un autre peuvent former des motifs spatiaux marqués par des zones où un réactif existe et des zones où il n'existe pas, avec des transitions nettes entre elles. En écologie , les modèles prédateurs-proies tels que

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,}$

${\displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,}$

où est la proie et est le prédateur, ont montré de tels modèles. ${\displaystyle u}$${\style d'affichage v}$

Équations algébriques

Considérons le problème de trouver toutes les racines du polynôme . A la limite , cette cubique dégénère dans le quadratique avec des racines à . Substitution d'une série de perturbations régulière ${\displaystyle p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1}$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\style d'affichage 1-x^{2}}$${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots }$

dans l'équation et égaliser des puissances égales de ne donne que des corrections à ces deux racines: ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .}$

Pour trouver l'autre racine, une analyse de perturbation singulière doit être utilisée. Il faut alors composer avec le fait que l'équation dégénère en un quadratique quand on la laisse tendre vers zéro, dans cette limite une des racines s'échappe à l'infini. Pour éviter que cette racine ne devienne invisible pour l'analyse perturbative, nous devons redimensionner pour suivre cette racine qui s'échappe afin qu'en termes de variables redimensionnées, elle ne s'échappe pas. Nous définissons une variable redimensionnée où l'exposant sera choisi de telle sorte que nous redimensionnions juste assez rapidement pour que la racine soit à une valeur finie dans la limite de zéro, mais telle qu'elle ne s'effondre pas à zéro où les deux autres racines finira. En termes de nous avons ${\displaystyle \varepsilon }$${\style d'affichage x}$${\displaystyle x={\frac {y}{\varepsilon ^{\nu }}}}$${\style d'affichage \nu }$${\style d'affichage y}$${\displaystyle \varepsilon }$${\style d'affichage y}$

${\displaystyle y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.}$

Nous pouvons voir que pour le est dominé par les termes de degré inférieur, tandis qu'à il devient aussi dominant que le terme alors qu'ils dominent tous les deux le terme restant. Ce point où le terme d'ordre le plus élevé ne s'évanouira plus dans la limite à zéro en devenant également dominant à un autre terme, est appelé dégénérescence significative ; cela donne le redimensionnement correct pour rendre la racine restante visible. Ce choix donne ${\style d'affichage \nu <1}$${\displaystyle y^{3}}$${\style d'affichage \nu =1}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.}$

Substitution de la série de perturbations

${\displaystyle y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots }$

rendements

${\displaystyle y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.}$

On s'intéresse alors à la racine en ; la racine double à sont les deux racines que nous avons trouvées ci-dessus qui s'effondrent à zéro dans la limite d'une remise à l'échelle infinie. Le calcul des premiers termes de la série donne alors ${\style d'affichage y_{0}=1}$${\style d'affichage y_{0}=0}$

${\displaystyle x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .}$

Les références