Carré - Square

Carré
Polygone régulier 4 annoté.svg
Un quadrilatère régulier
Taper Polygone régulier
Arêtes et sommets 4
Symbole Schläfli {4}
Diagramme de Coxeter Nœud CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Nœud CDel 1.pngCDel 2.pngNœud CDel 1.png
Groupe Symétrie Dièdre (D 4 ), ordre 2×4
Angle interne ( degrés ) 90°
Double polygone Soi
Propriétés Convexe , cyclique , équilatéral , isogonal , isotoxal

Dans la géométrie euclidienne , un carré est régulier quadrilatère , ce qui signifie qu'il a quatre côtés égaux et quatre égaux angles (90- degrés des angles, ou 100- grades dans des angles ou des angles droits ). Il peut également être défini comme un rectangle dans lequel deux côtés adjacents ont la même longueur. Un carré de sommets ABCD serait noté ABCD .

Caractérisations

Un quadrilatère convexe est un carré si et seulement s'il est l'un des suivants :

  • Un rectangle avec deux côtés égaux adjacents
  • Un losange avec un angle au sommet droit
  • Un losange avec tous les angles égaux
  • Un parallélogramme avec un angle au sommet droit et deux côtés égaux adjacents
  • Un quadrilatère à quatre côtés égaux et quatre angles droits
  • Un quadrilatère où les diagonales sont égales et sont les bissectrices perpendiculaires les unes des autres (c'est-à-dire un losange avec des diagonales égales)
  • Un quadrilatère convexe à côtés successifs a , b , c , d dont l'aire est

Propriétés

Un carré est un cas particulier d'un losange (côtés égaux, angles égaux opposés), un cerf - volant (deux paires de côtés égaux adjacents), un trapèze (une paire de côtés opposés parallèles), un parallélogramme (tous côtés opposés parallèles), un quadrilatère ou tétragone (polygone à quatre côtés), et un rectangle (côtés opposés égaux, angles droits), et a donc toutes les propriétés de toutes ces formes, à savoir :

  • Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et se rejoignent à 90°.
  • Les diagonales d'un carré coupent ses angles en leur milieu.
  • Les côtés opposés d'un carré sont à la fois parallèles et de même longueur.
  • Les quatre angles d'un carré sont égaux (chacun étant 360°/4 = 90°, un angle droit).
  • Les quatre côtés d'un carré sont égaux.
  • Les diagonales d'un carré sont égales.
  • Le carré est le cas n=2 des familles de n- hypercubes et n- orthoplexes .
  • Un carré a le symbole Schläfli {4}. Un carré tronqué , t{4}, est un octogone , {8}. Un carré alterné , h{4}, est un digone , {2}.

Périmètre et superficie

L'aire d'un carré est le produit de la longueur de ses côtés.

Le périmètre d'un carré dont les quatre côtés ont une longueur est

et l' aire A est

À l'époque classique , la seconde puissance était décrite en termes d'aire d'un carré, comme dans la formule ci-dessus. Cela a conduit à l'utilisation du terme carré pour signifier élever à la deuxième puissance.

L'aire peut également être calculée à l'aide de la diagonale d selon

En termes de circumradius R , l'aire d'un carré est

puisque l'aire du cercle est le carré remplit environ 0,6366 de son cercle circonscrit .

En termes de rayon de rayonnement r , l'aire du carré est

Parce qu'il s'agit d'un polygone régulier , un carré est le quadrilatère de plus petit périmètre englobant une zone donnée. Doublement, un carré est le quadrilatère contenant la plus grande aire dans un périmètre donné. En effet, si A et P sont l'aire et le périmètre délimités par un quadrilatère, alors l' inégalité isopérimétrique suivante est vérifiée :

avec égalité si et seulement si le quadrilatère est un carré.

Autres faits

  • Les diagonales d'un carré sont (environ 1,414) fois la longueur d'un côté du carré. Cette valeur, connue sous le nom de racine carrée de 2 ou constante de Pythagore, a été le premier nombre à s'avérer irrationnel .
  • Un carré peut également être défini comme un parallélogramme avec des diagonales égales qui coupent les angles.
  • Si une figure est à la fois un rectangle (angles droits) et un losange (longueurs d'arêtes égales), alors c'est un carré.
  • Si un cercle est circonscrit autour d'un carré, l'aire du cercle est (environ 1,5708) fois l'aire du carré.
  • Si un cercle est inscrit dans le carré, l'aire du cercle est (environ 0,7854) fois l'aire du carré.
  • Un carré a une surface plus grande que tout autre quadrilatère de même périmètre.
  • Un pavage carré est l'un des trois pavages réguliers du plan (les autres sont le triangle équilatéral et l' hexagone régulier ).
  • Le carré est en deux familles de polytopes en deux dimensions : l' hypercube et le polytope croisé . Le symbole Schläfli pour le carré est {4}.
  • Le carré est un objet hautement symétrique. Il y a quatre lignes de symétrie de réflexion et il a une symétrie de rotation d'ordre 4 (par 90°, 180° et 270°). Son groupe de symétrie est le groupe dièdre  D 4 .
  • Si le cercle inscrit d'un carré ABCD a des points de tangence E sur AB , F sur BC , G sur CD et H sur DA , alors pour tout point P sur le cercle inscrit,
  • Si est la distance d'un point arbitraire du plan au i -ième sommet d'un carré et est le rayon circonscrit du carré, alors
  • Si et sont les distances entre un point arbitraire du plan et le centroïde du carré et ses quatre sommets respectivement, alors
et
où est le périmètre du carré.

Coordonnées et équations

tracé en coordonnées cartésiennes .

Les coordonnées des sommets d'un carré à côtés verticaux et horizontaux, centrés à l'origine et de côté 2 sont (±1, ±1), tandis que l'intérieur de ce carré est constitué de tous les points ( x i , y i ) avec -1 < x i < 1 et -1 < y i < 1 . L'équation

spécifie la limite de ce carré. Cette équation signifie " x 2 ou y 2 , selon le plus grand, est égal à 1". Le cercle circonscrit de cette place (le rayon d'un cercle qui passe par les sommets des carrés) est la moitié de la place en diagonale, et est égal à Ensuite , le cercle circonscrit a l'équation

Alternativement l'équation

peut également être utilisé pour décrire la limite d'un carré avec des coordonnées centrales ( a , b ) et un rayon horizontal ou vertical de r .

Construction

Les animations suivantes montrent comment construire un carré à l'aide d'un compas et d'une règle . Ceci est possible car 4 = 2 2 , une puissance de deux .

Carré à un cercle circonscrit donné
Carré à une longueur de côté donnée, à
angle droit en utilisant le théorème de Thales
Carré à une diagonale donnée

Symétrie

Les symétries dièdres sont divisés selon qu'ils passent par les sommets ( d de la diagonale) ou des bords ( p pour les perpendiculaires) symétries cycliques dans la colonne centrale sont étiquetés comme g pour les ordres de giration central. La symétrie complète du carré est r8 et aucune symétrie n'est étiquetée a1 .

Le carré a une symétrie Dih 4 , d' ordre 8. Il existe 2 sous-groupes dièdres : Dih 2 , Dih 1 , et 3 sous-groupes cycliques : Z 4 , Z 2 et Z 1 .

Un carré est un cas particulier de nombreux quadrilatères de symétrie inférieure :

  • Un rectangle avec deux côtés égaux adjacents
  • Un quadrilatère à quatre côtés égaux et quatre angles droits
  • Un parallélogramme avec un angle droit et deux côtés égaux adjacents
  • Un losange à angle droit
  • Un losange avec tous les angles égaux
  • Un losange à diagonales égales

Ces 6 symétries expriment 8 symétries distinctes sur un carré. John Conway les étiquette par une lettre et une commande groupée.

Chaque symétrie de sous-groupe autorise un ou plusieurs degrés de liberté pour les quadrilatères irréguliers . r8 est la symétrie complète du carré, et a1 est l'absence de symétrie. d4 est la symétrie d'un rectangle et p4 est la symétrie d'un losange . Ces deux formes sont duales l'une de l'autre et ont la moitié de l'ordre de symétrie du carré. d2 est la symétrie d'un trapèze isocèle , et p2 est la symétrie d'un cerf - volant . g2 définit la géométrie d'un parallélogramme .

Seul le sous-groupe g4 n'a pas de degrés de liberté, mais peut être vu comme un carré avec des bords orientés .

Carrés inscrits dans des triangles

Chaque triangle aigu a trois carrés inscrits (carrés à l'intérieur tels que les quatre sommets d'un carré se trouvent sur un côté du triangle, donc deux d'entre eux se trouvent du même côté et donc un côté du carré coïncide avec une partie d'un côté du triangle). Dans un triangle rectangle, deux des carrés coïncident et ont un sommet à l'angle droit du triangle, donc un triangle rectangle n'a que deux carrés distincts inscrits. Un triangle obtus n'a qu'un seul carré inscrit, avec un côté coïncidant avec une partie du côté le plus long du triangle.

La fraction de l'aire du triangle qui est remplie par le carré n'est pas supérieure à 1/2.

La quadrature du cercle

La quadrature du cercle , proposée par les géomètres antiques , est le problème de construire un carré de même aire qu'un cercle donné , en n'utilisant qu'un nombre fini de pas avec compas et règle .

En 1882, la tâche s'est avérée impossible en raison du théorème de Lindemann-Weierstrass , qui prouve que pi ( π ) est un nombre transcendantal plutôt qu'un nombre irrationnel algébrique ; c'est-à-dire qu'il n'est la racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels .

Géométrie non euclidienne

En géométrie non euclidienne, les carrés sont plus généralement des polygones à 4 côtés égaux et angles égaux.

En géométrie sphérique , un carré est un polygone dont les arêtes sont de grands arcs de cercle d'égale distance, qui se rencontrent à angles égaux. Contrairement au carré de la géométrie plane, les angles d'un tel carré sont plus grands qu'un angle droit. Les carrés sphériques plus grands ont des angles plus grands.

En géométrie hyperbolique , les carrés à angles droits n'existent pas. Au contraire, les carrés de la géométrie hyperbolique ont des angles inférieurs aux angles droits. Les carrés hyperboliques plus grands ont des angles plus petits.

Exemples:

Dièdre tétragonal.png
Deux carrés peuvent carreler la sphère avec 2 carrés autour de chaque sommet et des angles internes de 180 degrés . Chaque carré couvre un hémisphère entier et leurs sommets se situent le long d'un grand cercle . C'est ce qu'on appelle un dièdre carré sphérique . Le symbole Schläfli est {4,2}.
Carré sur sphere.svg
Six carrés peuvent carreler la sphère avec 3 carrés autour de chaque sommet et des angles internes de 120 degrés . C'est ce qu'on appelle un cube sphérique. Le symbole Schläfli est {4,3}.
Carré sur plane.svg
Les carrés peuvent carreler le plan euclidien avec 4 autour de chaque sommet, chaque carré ayant un angle interne de 90°. Le symbole Schläfli est {4,4} .
Carré sur plan hyperbolique.png
Les carrés peuvent carreler le plan hyperbolique avec 5 autour de chaque sommet, chaque carré ayant des angles internes de 72 degrés. Le symbole Schläfli est  {4,5} . En fait, pour tout n ≥ 5, il existe un pavage hyperbolique avec n carrés autour de chaque sommet.

Carré croisé

Carré-croisé

Un carré croisé est une facette du carré, un polygone auto-sécant créé en supprimant deux bords opposés d'un carré et en se reconnectant par ses deux diagonales. Il a la moitié de la symétrie du carré, Dih 2 , ordre 4. Il a le même arrangement de sommets que le carré, et est vertex-transitif . Il apparaît comme deux triangles 45-45-90 avec un sommet commun, mais l'intersection géométrique n'est pas considérée comme un sommet.

Un carré croisé est parfois assimilé à un nœud papillon ou à un papillon . le rectangle croisé est lié, en tant que facettage du rectangle, aux deux cas particuliers de quadrilatères croisés .

L'intérieur d'un carré croisé peut avoir une densité de polygones de ± 1 dans chaque triangle, en fonction de l'orientation de l'enroulement dans le sens horaire ou antihoraire.

Un carré et un carré croisé ont en commun les propriétés suivantes :

  • Les côtés opposés sont de longueur égale.
  • Les deux diagonales sont de même longueur.
  • Il a deux axes de symétrie de réflexion et de symétrie de rotation d'ordre 2 (par 180°).

Il existe dans la figure de sommet d'un polyèdre étoilé uniforme , le tétrahémihexaèdre .

Graphiques

3-simple (3D)

Le graphique complet K 4 est souvent dessiné comme un carré avec les 6 arêtes possibles connectées, apparaissant ainsi comme un carré avec les deux diagonales dessinées. Ce graphe représente également une projection orthographique des 4 sommets et 6 arêtes du 3- simple régulier ( tétraèdre ).

Voir également

Les références

Liens externes

Famille Un n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polygone régulier Triangle Carré p-gon Hexagone Pentagone
Polyèdre uniforme Tétraèdre OctaèdreCube demi-cube DodécaèdreIcosaèdre
Polychore uniforme Pentachoron 16 cellulesTesseract Demitesseract 24 cellules 120 cellules600 cellules
Uniforme 5-polytope 5-simplex 5 orthoplexes5 cubes 5-demicube
Uniforme 6-polytope 6-simplex 6-orthoplexe6-cube 6-demicube 1 222 21
Uniforme 7-polytope 7-simplex 7 orthoplexes7 cubes 7-demicube 1 322 313 21
Uniforme 8-polytope 8-simplex 8 orthoplexes8 cubes 8-demicube 1 422 414 21
Uniforme 9-polytope 9-simplex 9-orthoplexe9-cube 9 demi-cube
Uniforme 10-polytope 10-simplex 10 orthoplexes10 cubes 10-demicube
Uniforme n - polytope n - simplexe n - orthoplexen - cube n - demi - cube 1 k22 k1k 21 n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytopepolytope régulierListe des polyèdres réguliers et composés