Compactification pierre–Čech - Stone–Čech compactification

Dans la discipline mathématique de la topologie générale , la compactification Stone–Čech (ou compactification Čech–Stone ) est une technique permettant de construire une application universelle d'un espace topologique X à un espace de Hausdorff compact βX . La compactification Stone-Čech βX d'un espace topologique X est le plus grand et le plus général espace de Hausdorff compact « généré » par X , dans le sens où toute application continue de X à un espace de Hausdorff compact se factorise par βX (d'une manière unique). Si X est un espace de Tychonoff alors l'application de X à son image dans βX est un homéomorphisme , donc X peut être considéré comme un sous-espace (dense) de βX ; tout autre espace de Hausdorff compact qui contient densément X est un quotient de βX . Pour les espaces topologiques généraux X , l'application de X à βX n'a pas besoin d'être injective.

Une forme de l' axiome du choix est nécessaire pour prouver que chaque espace topologique a une compactification Stone-Čech. Même pour des espaces X assez simples , une description concrète accessible de βX reste souvent insaisissable. En particulier, les preuves que βX  \  X est non vide ne donnent pas de description explicite d'un point particulier de βX  \  X .

La compactification Stone–Čech apparaît implicitement dans un article d' Andrey Nikolayevich Tychonoff  ( 1930 ) et a été explicitement donnée par Marshall Stone  ( 1937 ) et Eduard Čech  ( 1937 ).

Histoire

Andrey Nikolayevich Tikhonov a introduit des espaces complètement réguliers en 1930 afin d'éviter la situation pathologique des espaces de Hausdorff dont les seules fonctions continues à valeur réelle sont des applications constantes.

Dans le même article de 1930 où Tychonoff définissait des espaces complètement réguliers, il a également prouvé que tout espace de Tychonoff (c'est-à-dire espace complètement régulier de Hausdorff ) a une compactification de Hausdorff (dans ce même article, il a également prouvé le théorème de Tychonoff ). En 1937, Čech étendit la technique de Tychonoff et introduisit la notation β X pour cette compactification. Stone a également construit β X dans un article de 1937, bien qu'en utilisant une méthode très différente. Bien que l'article de Tychonoff soit le premier ouvrage sur le sujet de la compactification Stone-Čech et bien que l'article de Tychonoff soit référencé à la fois par Stone et Čech, le nom de Tychonoff est rarement associé à β X .

Propriété universelle et fonctionnalité

La compactification de Stone–Čech de l'espace topologique X est un espace de Hausdorff compact βX avec une application continue i _X  : X → βX qui a la propriété universelle suivante : toute application continue f  : X → K , où K est un espace de Hausdorff compact , s'étend uniquement à une application continue βf  : βX → K , ie ( f ) i _X = f .

Comme d'habitude pour les propriétés universelles, cette propriété universelle caractérise βX jusqu'à l' homéomorphisme .

Comme indiqué dans § Constructions , ci-dessous, on peut prouver (en utilisant l'axiome du choix) qu'une telle compactification Stone–Čech i _X  : X → βX existe pour tout espace topologique X . De plus, l'image i _X ( X ) est dense en βX .

Certains auteurs ajoutent l'hypothèse que l'espace de départ X soit Tychonoff (ou même Hausdorff localement compact ), pour les raisons suivantes :

• L'application de X à son image dans βX est un homéomorphisme si et seulement si X est Tychonoff.
• L'application de X à son image dans βX est un homéomorphisme à un sous-espace ouvert si et seulement si X est Hausdorff localement compact.

La construction Stone-Čech peut être effectuée pour des espaces plus généraux X , mais dans ce cas l'application X → βX n'a pas besoin d'être un homéomorphisme à l'image de X (et n'est parfois même pas injective).

Comme d'habitude pour des constructions universelles comme celle-ci, la propriété d'extension fait de β un foncteur de Top (la catégorie des espaces topologiques ) à CHAus (la catégorie des espaces de Hausdorff compacts). De plus, si l'on laisse U le foncteur d'inclusion de CHAus dans Top , les applications de βX à K (pour K dans CHAus ) correspondent bijectivement aux applications de X à UK (en considérant leur restriction à X et en utilisant la propriété universelle de βX ). c'est à dire

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , UK ),

ce qui signifie que β est adjoint à gauche à U . Cela implique que chaus est une sous - catégorie de réflexion de haut avec réflecteur β .

Exemples

Si X est un espace de Hausdorff compact, alors il coïncide avec sa compactification Stone-Čech. La plupart des autres compactifications Stone-Čech manquent de descriptions concrètes et sont extrêmement lourdes. Les exceptions incluent :

La compactification Stone-Čech du premier ordinal indénombrable , avec la topologie d'ordre , est l'ordinal . La compactification Stone-Čech de la planche de Tychonoff supprimée est la planche de Tychonoff. ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}+1}$

Bâtiments

Construction utilisant des produits

Une tentative pour construire la compactification Stone-Čech de X est de prendre la fermeture de l'image de X dans

${\displaystyle \prod \nolimits _{f:X\to K}K}$

où le produit est sur toutes les cartes de X aux espaces de Hausdorff compacts K . Par le théorème de Tychonoff ce produit d'espaces compacts est compact, et la fermeture de X dans cet espace est donc aussi compacte. Cela fonctionne intuitivement mais échoue pour la raison technique que la collection de toutes ces cartes est une classe appropriée plutôt qu'un ensemble. Il existe plusieurs façons de modifier cette idée pour la faire fonctionner ; par exemple, on peut restreindre les espaces de Hausdorff compacts K pour avoir l'ensemble sous-jacent P ( P ( X )) (l' ensemble des puissances de l'ensemble des puissances de X ), qui est suffisamment grand pour avoir une cardinalité au moins égale à celle de tout compact Espace Hausdorff auquel X peut être mappé avec une image dense.

Construction utilisant l'intervalle unitaire

Une façon de construire βX est de laisser C l'ensemble de toutes les fonctions continues de X dans [0, 1] et de considérer l'application où ${\displaystyle e:X\to [0,1]^{C}}$

${\displaystyle e(x):f\mapsto f(x)}$

Cela peut être considéré comme une carte continue sur son image, si [0, 1] ^C est donné la topologie du produit . Par le théorème de Tychonoff nous avons que [0, 1] ^C est compact puisque [0, 1] l'est. Par conséquent, la clôture de X dans [0, 1] ^C est une compactification de X .

En fait, cette fermeture est la compactification Stone-Čech. Pour le vérifier, il suffit de vérifier que la fermeture satisfait à la propriété universelle appropriée. Nous le faisons d'abord pour K = [0, 1], où l'extension souhaitée de f  : X → [0, 1] est juste la projection sur la coordonnée f dans [0, 1] ^C . Afin d'obtenir ceci pour le Hausdorff K compact général, nous utilisons ce qui précède pour noter que K peut être intégré dans un cube, étendre chacune des fonctions de coordonnées, puis prendre le produit de ces extensions.

La propriété particulière de l'intervalle unitaire nécessaire pour que cette construction fonctionne est qu'il est un cogénérateur de la catégorie des espaces de Hausdorff compacts : cela signifie que si A et B sont des espaces de Hausdorff compacts, et f et g sont des applications distinctes de A à B , alors il existe une application h  : B → [0, 1] telle que hf et hg sont distincts. Tout autre cogénérateur (ou groupe de cogénération) peut être utilisé dans cette construction.

Construction utilisant des ultrafiltres

Alternativement, si est discret , alors il est possible de construire comme l'ensemble de tous les ultrafiltres sur avec les éléments de correspondant aux ultrafiltres principaux . La topologie sur l'ensemble des ultrafiltres, dite${\style d'affichage X}$${\displaystyle \beta X}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X}$ La topologie en pierre , est générée par des ensembles de la formepourun sous - ensemble de${\style d'affichage \{F:U\in F\}}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X.}$

Encore une fois, nous vérifions la propriété universelle : Car avec Hausdorff compact et un ultrafiltre sur nous avons une base d'ultrafiltre sur la poussée de Ceci a une limite unique car est Hausdorff compact, disons et nous définissons Cela peut être vérifié comme une extension continue de${\displaystyle f:X\to K}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f(F)}$${\style d'affichage K,}$${\style d'affichage F.}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage x,}$${\displaystyle \beta f(F)=x.}$${\style d'affichage f.}$

De manière équivalente, on peut prendre l' espace de Stone de l' algèbre booléenne complète de tous les sous-ensembles de comme la compactification Stone-Čech. C'est vraiment la même construction, car l'espace de pierre de cette algèbre booléenne est l'ensemble des ultrafiltres (ou de manière équivalente des idéaux premiers , ou des homomorphismes à l'algèbre booléenne à 2 éléments) de l'algèbre booléenne, qui est le même que l'ensemble des ultrafiltres sur${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$

La construction peut être généralisée à des espaces de Tychonoff arbitraires en utilisant des filtres maximaux d' ensembles de zéros au lieu d'ultrafiltres. (Les filtres d'ensembles fermés suffisent si l'espace est normal .)

Construction en C*-algèbres

La compactification Stone–Čech est naturellement homéomorphe au spectre de C _b ( X ). Ici C _b ( X ) désigne la C*-algèbre de toutes les fonctions à valeurs complexes bornées continues sur X avec sup-norm. Notez que C _b ( X ) est canoniquement isomorphe à l' algèbre multiplicatrice de C ₀ ( X ).

La compactification Stone–Čech des nombres naturels

Dans le cas où X est localement compact , par exemple N ou R , l'image de X forme un ouvert de βX , voire de toute compactification, (c'est aussi une condition nécessaire, car un ouvert d'un espace de Hausdorff compact est localement compact). Dans ce cas on étudie souvent le reste de l'espace, βX  \  X . C'est un sous-ensemble fermé de βX , et donc compact. Nous considérons N avec sa topologie discrète et écrivons β N  \  N = N * (mais cela ne semble pas être une notation standard pour X général ).

Comme expliqué ci-dessus, on peut voir β N comme l'ensemble des ultrafiltres sur N , avec la topologie générée par des ensembles de la forme pour U un sous-ensemble de N . L'ensemble N correspond à l'ensemble des ultrafiltres principaux , et l'ensemble N * à l'ensemble des ultrafiltres libres . ${\style d'affichage \{F:U\in F\}}$

L'étude de β N , et en particulier de N *, est un domaine majeur de la topologie ensembliste moderne . Les principaux résultats motivant cela sont les théorèmes de Parovicenko , caractérisant essentiellement son comportement sous l'hypothèse de l'hypothèse du continu .

Ceux-ci indiquent :

• Tout espace de poids de Hausdorff compact au plus (voir nombre Aleph ) est l'image continue de N * (cela n'a pas besoin de l'hypothèse du continu, mais est moins intéressant en son absence).${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Si l'hypothèse du continu est vérifiée , alors N * est l'unique espace de Parovicenko , à isomorphisme près.

Celles-ci ont été prouvées à l'origine en considérant les algèbres booléennes et en appliquant la dualité de pierre .

Jan van Mill a décrit β N comme un "monstre à trois têtes" - les trois têtes étant une tête souriante et amicale (le comportement sous l'hypothèse de l'hypothèse du continu), la tête laide de l'indépendance qui essaie constamment de vous confondre (déterminer ce comportement est possible dans différents modèles de théorie des ensembles), et la troisième tête est la plus petite de toutes (ce que vous pouvez prouver à ce sujet dans ZFC ). Il a été observé récemment que cette caractérisation est pas tout à fait droit , il est en fait une quatrième tête de β N , dans laquelle axiomes forçant et axiomes de type Ramsey donnent des propriétés de β N presque diamétralement opposés à ceux sous l'hypothèse de continuum, ce qui donne très peu de cartes de N * en effet. Des exemples de ces axiomes comprennent la combinaison de l'axiome de Martin et l' axiome coloration ouverte qui, par exemple, prouver que ( N *) ² ≠ N *, alors que l'hypothèse du continuum implique le contraire.

Une application : l'espace dual de l'espace des suites bornées de réels

La compactification Stone–Čech β N peut être utilisée pour caractériser (l' espace de Banach de toutes les suites bornées dans le champ scalaire R ou C , de norme supremum ) et son espace dual . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Étant donné une séquence bornée, il existe une boule fermée B dans le champ scalaire qui contient l'image de a . a est alors une fonction de N dans B . Puisque N est discret et B est compact et Hausdorff, a est continu. D'après la propriété universelle, il existe une unique extension βa  : β N → B . Cette extension ne dépend pas de la boule B considérée. ${\displaystyle a\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Nous avons défini une application d'extension de l'espace des séquences à valeurs scalaires bornées à l'espace des fonctions continues sur β N .

${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )}$

Cette carte est bijective puisque chaque fonction dans C ( β N ) doit être bornée et peut alors être restreinte à une séquence scalaire bornée.

Si nous considérons en outre les deux espaces avec la norme sup, l'application d'extension devient une isométrie. En effet, si dans la construction ci-dessus on prend la plus petite boule possible B , on voit que la norme sup de la séquence étendue ne croît pas (bien que l'image de la fonction étendue puisse être plus grande).

Ainsi, peuvent être identifiés avec C ( β N ). Cela nous permet d'utiliser le théorème de représentation de Riesz et de trouver que l'espace dual de peut être identifié à l'espace des mesures de Borel finies sur β N . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Enfin, il faut remarquer que cette technique se généralise à l' espace L ^∞ d'un espace de mesure arbitraire X . Cependant, au lieu de considérer simplement l'espace βX des ultrafiltres sur X , la bonne façon de généraliser cette construction est de considérer l' espace de Stone Y de l'algèbre de mesure de X : les espaces C ( Y ) et L ^∞ ( X ) sont isomorphes car C*-algèbres tant que X satisfait une condition de finitude raisonnable (que tout ensemble de mesure positive contienne un sous-ensemble de mesure positive finie).

Une opération monoïde sur la compactification Stone–Čech des naturels

Les nombres naturels forment un monoïde par addition . Il s'avère que cette opération peut être étendue (généralement de plusieurs manières, mais uniquement sous une condition supplémentaire) à β N , transformant cet espace également en un monoïde, bien que de manière assez surprenante non commutatif.

Pour tout sous-ensemble, A , de N et un entier positif n dans N , nous définissons

${\displaystyle An=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.}$

Etant donné deux ultrafiltres F et G sur N , on définit leur somme par

${\displaystyle F+G={\Grand \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid An\in F\}\in G{\Grand \}} ;}$

on peut vérifier qu'il s'agit encore d'un ultrafiltre, et que l'opération + est associative (mais non commutative) sur β N et prolonge l'addition sur N ; 0 sert d'élément neutre pour l'opération + sur β N . Le fonctionnement est également continu à droite, en ce sens que pour chaque ultrafiltre F , la carte

${\displaystyle {\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}}$

est continue.

Plus généralement, si S est un semi-groupe avec la topologie discrète, l'opération de S peut être étendue à βS , obtenant une opération associative continue à droite.

Voir également

• Compactification (mathématiques)  - Intégrer un espace topologique dans un espace compact en tant que sous-ensemble dense
• Ensemble couronne d'un espace, le complément de son image dans la compactification Stone-Čech.
• Filtres en topologie  – Utilisation de filtres pour décrire et caractériser toutes les notions et résultats topologiques de base.
• Compactage en un point
• Compactage Wallman

Remarques

Les références

• Čech, Eduard (1937), "On bicompact space", Annals of Mathematics , 38 (4) : 823-844, doi : 10.2307/1968839 , hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwarz, Jacob T. (1988). Opérateurs linéaires partie I : théorie générale (Wiley Classics ed.). John Wiley & Fils. p. 276.
• Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998), Algèbre dans la compactification Stone-Cech. Théorie et applications , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (2e édition révisée et étendue 2012), Berlin : Walter de Gruyter & Co., pp. xiv+485 pp, doi : 10.1515/9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, MR  1642231
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Stone-Čech compactification" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Shields, Allen (1987), "Years ago", Mathematical Intelligencer , 9 (2) : 61–63, doi : 10.1007/BF03025901 , S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), "Applications of the theory of Boolean rings to general topology", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3) : 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544-561, doi : 10.1007/BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

Liens externes

• Compactification Stone-Čech chez Planet Math
• Dror Bar-Natan, ultrafiltres, compacité et compactification Stone-Čech