Pseudotenseur contrainte-énergie-impulsion - Stress–energy–momentum pseudotensor

Dans la théorie de la relativité générale , un pseudotenseur contrainte-énergie-impulsion , tel que le pseudotenseur de Landau-Lifshitz , est une extension du tenseur non-gravitationnel contrainte-énergie qui incorpore l'énergie-impulsion de la gravité. Elle permet de définir l'énergie-impulsion d'un système de matière gravitationnelle. En particulier, il permet au total de la matière plus l'énergie-impulsion gravitante de former un courant conservé dans le cadre de la relativité générale , de sorte que l' énergie-impulsion totale traversant l' hypersurface (limite tridimensionnelle) de tout hypervolume espace-temps compact ( sous-variété à 4 dimensions) disparaît.

Certaines personnes (comme Erwin Schrödinger ) se sont opposées à cette dérivation au motif que les pseudotenseurs sont des objets inappropriés en relativité générale, mais la loi de conservation ne nécessite que l'utilisation de la divergence 4- d'un pseudotenseur qui est, dans ce cas, un tenseur (qui disparaît aussi). De plus, la plupart des pseudotenseurs sont des sections de faisceaux de jets , qui sont maintenant reconnus comme des objets parfaitement valides en relativité générale.

Pseudotenseur de Landau-Lifshitz

L'utilisation du Landau-Lifshitz pseudotensoriel , une énergie impulsion de stress pseudotensoriel pour la matière combinée (y compris les photons et les neutrinos) , plus la gravité, permet aux lois de conservation de la dynamique de l' énergie à étendre en relativité générale . La soustraction du tenseur matière contrainte-énergie-impulsion du pseudotenseur combiné donne le pseudotenseur contrainte gravitationnelle-énergie-impulsion.

Conditions

Landau et Lifshitz ont été guidés par quatre exigences dans leur recherche d'un pseudotenseur de moment d'énergie gravitationnelle : ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$

1. qu'il soit entièrement construit à partir du tenseur métrique , de manière à être d'origine purement géométrique ou gravitationnelle.
2. qu'il soit à indice symétrique, c'est -à- dire , (pour conserver le moment cinétique )${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$
3. que, lorsqu'il est ajouté au tenseur contrainte-énergie de la matière, , sa divergence totale 4- s'annule (ceci est requis de tout courant conservé ) de sorte que nous avons une expression conservée pour le total contrainte-énergie-impulsion.${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. qu'il s'évanouisse localement dans un référentiel inertiel (ce qui nécessite qu'il ne contienne que des dérivées de premier ordre et non de second ou d'ordre supérieur de la métrique). C'est parce que le principe d'équivalence exige que le champ de force gravitationnelle, les symboles de Christoffel , disparaissent localement dans certains cadres. Si l'énergie gravitationnelle est fonction de son champ de force, comme d'habitude pour les autres forces, alors le pseudotenseur gravitationnel associé devrait également disparaître localement.

Définition

Landau & Lifshitz ont montré qu'il existe une construction unique qui satisfait à ces exigences, à savoir

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4 }}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^ {\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

où:

• G ^μν est le tenseur d'Einstein (qui est construit à partir de la métrique)
• g ^μν est l'inverse du tenseur métrique
• g = det( g _μν ) est le déterminant du tenseur métrique. g < 0 , d'où son apparence comme.${\style d'affichage -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$sont des dérivées partielles , et non des dérivées covariantes .
• G est la constante gravitationnelle de Newton .

Vérification

En examinant les 4 conditions requises, nous pouvons voir que les 3 premières sont relativement faciles à démontrer :

1. Puisque le tenseur d'Einstein, , est lui-même construit à partir de la métrique, il en est de même${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Puisque le tenseur d'Einstein, , est symétrique, il en est de même puisque les termes supplémentaires sont symétriques par inspection.${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
3. Le pseudotenseur de Landau-Lifshitz est construit de telle sorte que lorsqu'il est ajouté au tenseur contrainte-énergie de la matière, , sa divergence totale de 4 s'annule : . Ceci résulte de l'annulation du tenseur d'Einstein, , avec le tenseur contrainte-énergie , par les équations de champ d'Einstein ; le terme restant disparaît algébriquement en raison de la commutativité des dérivées partielles appliquées à travers les indices antisymétriques.${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }= 0}$${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. Le pseudotenseur de Landau-Lifshitz semble inclure des termes de dérivée seconde dans la métrique, mais en fait, les termes de dérivée seconde explicite dans le pseudotenseur s'annulent avec les termes de dérivée seconde implicite contenus dans le tenseur d'Einstein , . Ceci est plus évident lorsque le pseudotenseur est directement exprimé en termes de tenseur métrique ou de connexion de Levi-Civita ; seuls les termes dérivés premiers de la métrique survivent et ceux-ci disparaissent lorsque le référentiel est localement inertiel en tout point choisi. En conséquence, l'ensemble du pseudotenseur s'évanouit localement (encore une fois, en tout point choisi) , ce qui démontre la délocalisation de l'énergie gravitationnelle-impulsion.${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$

Constante cosmologique

Lorsque le pseudotenseur de Landau-Lifshitz a été formulé, il était communément admis que la constante cosmologique , , était nulle. De nos jours, nous ne faisons plus cette hypothèse , et l'expression nécessite l'ajout d'un terme, donnant : ${\style d'affichage \Lambda \,}$${\style d'affichage \Lambda \,}$

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{ \mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \ nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

Ceci est nécessaire pour assurer la cohérence avec les équations de champ d'Einstein .

Versions de connexion métrique et affine

Landau & Lifshitz fournissent également deux expressions équivalentes mais plus longues pour le pseudotenseur Landau-Lifshitz :

• Version tenseur métrique :

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8 \pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}} g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\ &{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right) \left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\ sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left( g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt { -g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^ {\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\ \&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sig ma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{ \sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \ bêta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$

• Version de connexion affine :

  ${\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={ \frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^ {\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }- \Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\ &\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _ {\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta } ^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\ gauche(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\ sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$

Cette définition de l'énergie-impulsion est applicable de manière covariante non seulement sous les transformations de Lorentz, mais aussi sous les transformations de coordonnées générales.

Pseudotenseur d'Einstein

Ce pseudotenseur a été développé à l'origine par Albert Einstein .

Paul Dirac a montré que le pseudotenseur mixte d'Einstein

${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{ \alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\ nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \ bêta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma } \right){\sqrt {-g}}\right)}$

satisfait à une loi de conservation

${\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{ ,\nu }=0.}$

Il est clair que ce pseudotenseur pour la contrainte-énergie gravitationnelle est construit exclusivement à partir du tenseur métrique et de ses premières dérivées. Par conséquent, il s'annule de toute façon lorsque le système de coordonnées est choisi pour faire disparaître les dérivées premières de la métrique car chaque terme du pseudotenseur est quadratique aux dérivées premières de la métrique. Cependant, il n'est pas symétrique et ne convient donc pas comme base pour définir le moment cinétique.

Voir également

• Tenseur de Bel-Robinson
• L'hypothèse de localisation de l'énergie de Cooperstock
• Onde gravitationnelle

Remarques

Les références

• Perturbations non linéaires et lois de conservation sur les arrière-plans courbes dans les RG et autres théories métriques par AN Petrov
• lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html